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1、?年第?期 救学长学 忍 一? 判别正方体表面展开图的方法一 “平移 法 , ? ? ?江苏省大丰市第七中学 卢定波 ?个全等的正方形相连组成的平面图形 , 经 过折叠后能否围成一个正方体的问题 , 即是否是 正方体的表面展开 图 , 在近几年的中考中出现的 频率比较高 ? 学生解这类题目通常所用的方法 是实际动手折叠 , 这样不仅慢而且浪费时间 ? 现介绍一种 “平移法”, 它是笔者根据正方体 的表面展开图的特点总结出来的 ? 此法不仅快 而且准 ? 在介绍 “平移澎, 之前 , 首先我们先看看 正方体的表面展开 图的特点 ? 正方体的表面展 开图共有?种 ? 对它们进行归纳总结分类?按每
2、个横行中正方体的个数?如下 ? 第一类 “ ? , 型 , 如图? ? 此种类型是最好理解的 , 中间四个正方形将 围成正方体的侧面 , 上下各一个正方形为上 、 下 底 ? 这样此种类型有?种情况 ? 第二类 “? ? , 型 , 如图? ? ? ?电电 图? 如图? , 如果把 “? ? ? 型中的一个 ?用阴影部 分表示?向上平移?格可以得到 “? ?” 型 ? 脚护协 婉中中 图 ? ? ?气弓 图? 第三类 “? ?, 型 , 如图? ? 如图? ? , 可以看作是把 “? ? , 型图?中 的两个?用 阴影部分表示?分别向上 、 向下平移? 格 , 可以得到 “? ? ? ” 型
3、? ? ? ? 尹 一 ? ?一? , 故 ? ? ? ? ?一? ? ? ? ?一? ? ?一? ? ? ? , ?一,? ? ?一? ? 一? 亡 ? ,? 二 护 ,? ?二 ? ?一? ?一? ? ? 云 ? ? ? 又 ?护? ,。、 二 ? 尹 ? , 所以数列 ? 耐 司 是以? ? 击 为首喇比为 蠢 的等比数列 , 于是 ? ? ?。 ? ,一一,二 ? ? 一? ? ? ? ?八? ?一? 戈 ? 不万夕又 亏 ? 一 ? ”? 击?蠢 ? ? 由 ? ?。 存在可知 , ? ? ? ? ?, ? 一? ?且? 尹? , ? ?。 ? ?一 ? ? , ? 所以 ? ?由?
4、 ? ? ? ? ? 一 ? ?及 ?。 ? ?一? ?夕?。? ? ?得 ?。 ? ? 一 ? ?。? ?, 所以? 。? ? ? ?。 ? ? 下面用数学归纳法证明结论伽? ? ? ? ? ? 当? ?时 , 由于 ,? ?幻为?上的增 函数 , ? ? , ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? ? , ? ? ? ? , ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 即 ? ? ? ? 结论成立 ? ? ?设。? ?时结论成立 , 即? 、? ? ? , 由于? ?为增函数 , ? ? ?叭? ? 了? ? , 而? 。? ? ? ?。?, ? ?、? ? ? ?
5、 ? ?, 从而有? ? ? ? ?。? , ? , 亦即 ? , 这表明当? ? ? ?时结论仍成立 ? 由? 、 ?可知 , 对任意的? 任? ?, ?。? ?。 二 ,? 忍 一匆 获学救李 ? ?年第?期 飞、 ? 分析 ? 如图? , ? ? 、 ? ? 、 ? ? ?都是 “? ? , 型 , ? ? 中阴影正方形是不能通过沿水平或竖直方 向平移一格且中间无正方形阻挡而得到 “? ? ? 型 ? 故应选? ? 图 ? 第四类 “?, 型 , 如图? ? 叫五 解? ?乙熬 图? 此种是一个特例 , 只要记住这个例外也可 以看作是将 “?, 中的 “?, 合并到 “?, 的右侧 ?
6、由此可见 , 如果一个由?个全等的正方形相 连组成的平面图形 , 能通过平移一个或两个正方 形 ?每个正方形只能沿水平或竖直方向平移一 格 , 且经过的路途中无正方形? , 而得到 “? ?” 型 , 或 “? ? 型 , 就可以围成一个正方体 ? 现就以? ? 年部分地区的中考题为例谈谈如何应用 ? 例? ?年呼和浩特市中考题?下列各图 中 , 可以是一个正方体的平面展开图的是 二 ? ? ? ? ? 图? 例? ? ?年常德市中考题?下面图形中是 正方体平面展开图的是 ? ? 、 摆 鹅、 事 挽 召与 ? 分析 ? ? ? 、 ? ? ? 、 ( D )中两个阴影正方形中 的任一个是不能
7、通过沿水平或竖直方 向平移一 格且中间无正方形阻挡而得到 “ 1 4 1 ” 型 . (C)中 阴影正方形是可以通过沿水平方向平移一格且 中间无正方形阻挡而得到 “ 1 4 1 ”型 (即原图形是 属于第三类 “ 2 2 2 ” 型).故应选(C ) . (A)(B)(C)(D) 分析:如图6 , ( A ) 、 ( B )中两个阴影正方形中 的一个是不能通过沿水平或竖直方向平移一格 且中间无正方形阻挡而得到 “ 1 4 1 ”型. (C)中阴 影正方形也不能通过沿水平或竖直方向平移一 格且中间无正方形阻挡而得到 “ 1 4 1 ” 型 . (D)是 符合 “ 1 41 ”型. 故应选(D)
8、. , 弓 气, 申 曲 建年 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 图8 你一定掌握此法了 , 请快快动手试试看 . 1.(2 0 0 7 年常州市中考题)下面各个图形是 由6个大小相同的正方形组成的 , 其中能沿正方 形的边折叠成一个正方体的是 () (A)(B) (C) (D) 图6 例2(20 0 7年云南省中考题)在下面的图形 中 , 不是正方体表面展开图的是 ( ) 吼 五巳 中罗 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2 . ( 2 0 0 7年泉州市中考题)观察下列图形 , 其 中不是正方体的展开图的为 ( ) 解勺益长 牛 ! 五尸 中 甲 ( A )(
9、B ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) ( C ) ( D ) ( 下转第2一4 5页) 年第 2期 救学救学 忍林5 金 1 2 6两打成 , 求每只金杯的重量 . 小说里面兰芬这样解答:此是 “差 分法 ” . 当 用九个加一个十个 , 九与十相乘 , 共是九十个 , 折 半四十五个 , 作四十五分算.用 “四 归五除 ” , 除 一百二十六两 , 得二两八钱.此为第九小杯 , 其重 如此 . 于是从丫环带的小算袋内取出二 、 八两筹 摆下 , 用笔开 出 , 大杯重二十五两二钱 、 次重二 十二两四钱 、 三重十九两六钱 、 四重十六两八 钱 、 五重十四两 、 六重十一
10、两二钱 、 七重八两四 钱 、 八重五两六钱. 用现代数学术语来说 , 她的解法就是利用等 差数列解答.这里项数 n = 9, 1 二 n (n 一l)= (9 + l) X ,十 2 = 艺 设最小的第九只金杯重量为a , 45 . 并设其他各 杯重 量顺次为Za , 3 a , 4 a , , g a , 总重量为 一 一 s 一4 5 S=1 26两 , 所以第九只金杯的重量是a= 126 45 = 2.8 (两) , 进而求出其他各杯的重量. 无独有偶 , 九章算术中有与例4极其相似 的两道题目 . 教师可以出示作为学生的补充练 习(见练习2). 接着 , 教师可以通过有关教育贷款的问
11、题 , 让学生体会等差数列在生 活中广泛的应用 ,“使 学生理解数列模型的作用 , 培养学生从实际问题 中抽象出数列模型的能力, , l 3】 . 3 . 练习 练习 1 “九儿 问甲 , 问题l :一个公公九个 儿 , 若间生年总不知;自长排来差三岁 , 其年二 百七岁期;借问长儿多少岁 , 各儿岁数要详推. 练习2(约公元1世纪 , 九章算术均输章 , 第1 8 题) :今有五人分五钱, 令上二人所得与下三 个等 , 间各得几何. 练习3 (同练习2 , 第1 9 题) :今有竹九节, 下 三节容四升 , 上四节容三升.问中间二节欲均容 , 各 多少? 此题为 “竹节容米” 问题 , 与张
12、邱建算经卷 上 第1 8 问 “依等分金” 题也相似.另有一题 “竹筒 容米 ” 与之类似:家有九节竹一茎 , 为因盛米不均 平;下头三节三升九 , 上梢四节贮三升;惟有中间 二节竹 , 要将米数次第盛;若是先生能算法 , 也教 算得到天明 . 古代的数学问题经常与人们生活紧密联系 起来 , 其中不乏道德的讽喻与劝诫 . 比如: 练习4 “八子 分绵 ” 问题I :九百九十六 斤 绵 , 赠分八子做盘缠;次第每人多十七 , 要将第 八数来言;务要分明依次第 , 孝和休惹外人传. 练习5 “五兄欠钱” 问题l :甲乙丙丁 戊 , 酒 钱欠千五;甲兄告乙弟 , 四百我还与;转差是几 文 , 各人出
13、怎取. 4.设计说明 本节课的设计意图是展示如何充分利用数 学知识进行中学数学课堂教学 , 其中例子不一定 要全部采用 . 受教学时间的限制 , 教师可以有选 择地使用 . 在本设计中 , 充分考虑到数学知识在 数学史中的发展历程 , 中外等差数列在不同历史 时期的发展状况以及比较 , 有助于学生全面了解 相关知识 , 并对学生的数学史观产生影响.数 学史料的灵活运用 , 应以激发学生的学习兴趣为 主 , 对古代名题中的文言文问题 , 教师应该做出 解释 , 不应成为学生的负担.教学文学作品中的 数学题有助于提高学 生学习数学的兴趣 .教学中 教师应有意识培养学生 的数学建模能力 , 以及将 实际问题转化为数学间题的能力 . 参考文献 【 l 汪晓勤 、 韩祥 临.中学数学中的数学史. 科学出版社.2002 . I z 1 张莫宙 、 张广祥 . 中学代数研究 . 高等教 育出版社.2006 . l s 普通高中数学课程 标准 ( 实 验) .人 民教育 出版社. 20 0 3 . l 潘有发.趣味古算题.上海科学普及 出版 社.2001. (上接第2 一2 0 页) 3 . (20 0 7年大连市中 考题) 下列图形 能折成 正方体的是 () 匡田 恶召开用 峭 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 参考答案:1.(C) . 2.(D ) . 3.(D).
