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1、第 1页（共 9页） 绝对值绝对值难点突破难点突破 1|x+1|+|x2|+|x3|的值为 2阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道， |m|= 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数 式，如化简代数式|m+1|+|m2|时，可令 m+1=0 和 m2=0，分别求得 m=1， m=2（称1，2 分别为|m+1|与|m2|的零点值） 在实数范围内，零点值 m= 1 和 m=2 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况： （1）m1； （2）1m2； （3）m2从而化简代数式|m+1|+|m2|可 分以下 3 种情况： （1）当 m1 时，原式=（m+1）（m2）=2m+1； （2）
2、当1m2 时，原式=m+1（m2）=3； （3）当 m2 时，原式=m+1+m2=2m1 综上讨论，原式= 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出|x5|和|x4|的零点值； （2）化简代数式|x5|+|x4|； （3）求代数式|x5|+|x4|的最小值 第 2页（共 9页） 3当式子|x+1|+|x3|+|x4|+|x+6|取最小值时，求相应 x 的取值范围，并求 出最小值 4同学们都知道：|5（2）|表示 5 与2 之差的绝对值，实际上也可理解 为 5与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离 请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示 5 与2 两点之间的距离是， （2）数轴上
3、表示 x 与 2 的两点之间的距离可以表示为 （3）如果|x2|=5，则 x= （4） 同理|x+3|+|x1|表示数轴上有理数 x 所对应的点到3 和 1 所对应的点的 距离之和，请你找出所有符合条件的整数 x，使得|x+3|+|x1|=4，这样的整数 是 （5） 由以上探索猜想对于任何有理数 x， |x3|+|x6|是否有最小值？如果有， 直接写出最小值；如果没有，说明理由 5认真阅读下面的材料，完成有关问题 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|53|表示 5、3 在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5（3）|，所以|5+3|表示 5、3 在数轴上对应的两点之间
4、的距离；|5|=|50|，所以|5|表示 5 在数轴上对应的 点到原点的距离一般地，点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，那么 A、B 之间的距离可表示为|ab| （1）点 A、B、C 在数轴上分别表示有理数 x、2、1，那么 A 到 B 的距离与 A 到 C 的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示） （2）利用数轴探究：找出满足|x3|+|x+1|=6 的 x 的所有值是，设 第 3页（共 9页） |x3|+|x+1|=p，当 x 的值取在不小于1 且不大于 3 的范围时，p 的值是不变 的， 而且是 p 的最小值， 这个最小值是； 当 x 的值取在的范围时， |x|+|x2|取得最
5、小值，这个最小值是 （3）求|x3|+|x2|+|x+1|的最小值为，此时 x 的值为 （4）求|x3|+|x2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时 x 的取值范围 6如果 a、b、c 是非零有理数，且 a+b+c=0，那么+的所有 可能的值为 7已知|a|=5，|b|=6，且|a+b|=a+b，求 ab 的值 8 阅读材料： 我们知道， 若点 A、 B 在数轴上分别表示 有理数 a、 b （如图所示） ， A、B 两点间的距离表示为 AB，则 AB=|ab|所以式子|x2|的几何意义是数 轴上表示 x 的点与表示 2 的点之间的距离根据上述材料，解答下列问题： （1）若点 A 表示2，
6、点 B 表示 1，则 AB=； （2）若点 A 表示2，AC=4，则点 C 表示的数是； （3）若|x3|=4，求 x 的值 第 4页（共 9页） 9同学们都发现|5（2）|它的意义是：数轴上表示 5 的点与表示2 的点 之间的距离，试探索： （1）求|5（2）|=； （2）|5+3|表示的意义是； （3）|x1|=5，则 x 在数轴上表示的点对应的有理数是 10已知 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c| （1）比较 a，a，b，b，c，c 的大小关系 （2）化简|a+b|ab|+|b+（c）|+|a+c| 第 5页（共 9页） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1 【分析
7、】根据 x 的取值范围结合绝对值的意义分情况进行计算 【解答】解：当 x1 时，|x+1|+|x2|+|x3|=x1x+2x+3=3x+4； 当1x2 时，|x+1|+|x2|+|x3|=x+1x+2x+3=x+6； 当 2x3 时，|x+1|+|x2|+|x3|=x+1+x2x+3=x+2； 当 x3 时，|x+1|+|x2|+|x3|=x+1+x2+x3=3x4 综上所述，|x+1|+|x2|+|x3|的值为 故答案为： 2 【分析】 （1）令 x5=0，x4=0，解得 x 的值即可； （2）分为 x4、4x5、x5 三种情况化简即可； （3）根据（2）中的化简结果判断即可 【解答】 （1
8、）令 x5=0，x4=0， 解得：x=5 和 x=4， 故|x5|和|x4|的零点值分别为 5 和 4； （2）当 x4 时，原式=5x+4x=92x； 当 4x5 时，原式=5x+x4=1； 当 x5 时，原式=x5+x4=2x9 综上讨论，原式= （3）当 x4 时，原式=92x1； 当 4x5 时，原式=1； 当 x5 时，原式=2x91 故代数式的最小值是 1 3 【分析】根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案 第 6页（共 9页） 【解答】解：当式子|x+1|+|x3|+|x4|+|x+6|取最小值时，相应 x 的取值范 围是1x3，最小值是 14 4 【分析】 （1）根据距
9、离公式即可解答； （2）利用距离公式求解即可； （3）利用绝对值求解即可； （4）利用绝对值及数轴求解即可； （5）根据数轴及绝对值，即可解答 【解答】解： （1）数轴上表示 5 与2 两点之间的距离是|5（2）|=|5+2|=7， 故答案为：7； （2）数轴上表示 x 与 2 的两点之间的距离可以表示为|x2|，故答案为：|x 2|； （3）|x2|=5， x2=5 或 x2=5， 解得：x=7 或 x=3， 故答案为：7 或3； （4） |x+3|+|x1|表示数轴上有理数 x 所对应的点到3 和 1 所对应的点的距 离之和，|x+3|+|x1|=4， 这样的整数有3、2、1、0、1， 故
10、答案为：3、2、1、0、1； （5）有最小值是 3 5 【分析】 （1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值； （3） ：|x3|+|x2|+|x+1|=（|x3|+|x+1|）+|x2|，根据问题（2）中的探 究可知，要使|x3|+|x+1|的值最小，x 的值只要取1 到 3 之间（包括1、 3）的任意一个数，要使|x2|的值最小，x 应取 2，显然当 x=2 时能同时满足要 求，把 x=2 代入原式计算即可； （4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案 【解答】解： （1）A 到 B 的距离与 A 到 C 的距离之和可表示为|x+2|+
11、|x1|； （2）满足|x3|+|x+1|=6 的 x 的所有值是2、4， 第 7页（共 9页） 这个最小值是 4；当 x 的值取在不小于 0 且不大于 2 的范围时，|x|+|x2|取 得最小值，这个最小值是 2； （3）由分析可知， 当 x=2 时能同时满足要求，把 x=2 代入原式=1+0+3=4； （4）|x3|+|x2|+|x+1|+|x+2|=（|x3|+|x+2|）+（|x2|+|x+1|） 要使|x3|+|x+2|的值最小，x 的值取2 到 3 之间（包括2、3）的任意一个 数，要使|x2|+|x+1|的值最小，x 取1 到 2 之间（包括1、2）的任意一个 数，显然当 x 取
12、1 到 2 之间（包括1、2）的任意一个数能同时满足要求，不 妨取 x=0 代入原式，得|x3|+|x2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8； 方法二：当 x 取在1 到 2 之间（包括1、2）时，|x3|+|x2|+|x+1|+|x+2|= （x3）（x2）+（x+1）+（x+2）=x+3x+2+x+1+x+2=8 故答案为：|x+2|+|x1|；2，4；4；不小于 0 且不大于 2；2；4，2 6 【分析】根据题意确定出 a，b，c 中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义 化简，计算即可得到结果 【解答】解：a、b、c 为非零有理数，且 a+b+c=0a、b、c 只能为两正一负或
13、 一正两负 当 a、b、c 为两正一负时，设 a、b 为正，c 为负， 原式=1+1+（1）+（1）=0， 当 a、b、c 为一正两负时，设 a 为正，b、c 为负 原式 1+（1）+（1）+1=0， 综上，的值为 0， 故答案为：0 7 【分析】根据绝对值的概念可得 a=5，b=6，然后分类讨论，就可求出符 合条件“|a+b|=a+b”时的 ab 的值 【解答】解：|a|=5，|b|=6， a=5，b=6 当 a=5，b=6 时，a+b=11， 满足|a+b|=a+b， 此时 ab=56=1； 第 8页（共 9页） 当 a=5，b=6 时，a+b=1， 不满足|a+b|=a+b，故舍去； 当
14、 a=5，b=6 时，a+b=1， 满足|a+b|=a+b， 此时 ab=56=11； 当 a=5，b=6 时，a+b=11， 不满足|a+b|=a+b，故舍去 综上所述：ab 的值为1 或11 8 【分析】 （1）根据题中的方法确定出 AB 的长即可； （2）根据 A 表示的数字，以及 AC 的长，确定出 C 表示的数即可； （3）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出 x 的值 【解答】解： （1）根据题意得：AB=|21|=3； （2）根据题意得：|x（2）|=4，即|x+2|=4， 可得 x+2=4 或 x+2=4， 解得：x=2 或6； （3）|x3|=4， x3=4 或 x3=4，
15、解得：x=7 或1 故答案为： （1）3； （2）2 或6 9 【分析】 （1） 根据 5 与2 两数在数轴上所对的两点之间的距离为 7 得到答案； （2）把|5+3|变形为|5（3）|，而|5（3）|表示 5 与3 之差的绝对值； （3）根据绝对值的性质可求 x 在数轴上表示的点对应的有理数 【解答】解： （1）|5（2）|=|7|=7 （2）|5+3|表示的意义是点 5 与3 的点之间的距离 （3）|x1|=5， x1=5，x1=5， 解得 x=4 或 x=6 则 x 在数轴上表示的点对应的有理数是4 或 x=6 故答案为：7；点 5 与3 的点之间的距离；4 或 6 第 9页（共 9页） 10 【分析】根据互为相反数的两数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的 两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等在数轴上找出a，b， c 的对应点，依据 a，b，c，a，b，c 在数轴上的位置比较大小在此基础 上化简给出的式子 【解答】解： （1）
