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1、几何体的几何体的外接球外接球 南昌高中数学教研室命题工作坊南昌高中数学教研室命题工作坊 几何体外接球问题的是高考的高频考点，重点考查学生的空间想象能力，难点在于准确寻找外接球的 球心。我们要抓住几何体外接球球心的本质特征： （1）外接球球心是任意两条直径的交点； （2）外接球球 心在几何体任意一条棱的中垂面上； （3）外接球的球心在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直 的垂线上。所以如何交出球心是关键，一般是先找几何体某一特征平面的外心，再作经过此外心的作特征 平面的垂线，空间问题转化为平面问题，然后在平面上利用球的几何性质作图交出球心。下面结合实例的 应用进行说明。 1设三棱柱的侧棱垂
2、直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 2 a B 2 7 3 a C 2 11 3 a D 2 5 a 1B【解析】三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心 连线过球心O，且 1 2 ONa，N为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心， 则有 23 33 ANAEa，球半径 2222 7 12 OAANONa，球的表面 积为 22 7 4 3 OAa 【点评】寻找直棱柱的外接球球心，只要找到直棱柱上、下底面的外心，两外心连线即与底面垂直，此线 段中点即为外接球的球心 2三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，2PAPBPC，PAPB，三棱锥PABC
3、的外 接球的表面积为_ 212【解析】三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，2PAPBPC， PABPACPBC PAPB，PAPC，PBPC 以,PA PB PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图： 则长方体的外接球同时也是三棱锥PABC外接球 长方体的对角线长为32222 222 ，球直径为32，半径3， 因此，三棱锥PABC外接球的表面积是12)3(44 22 R 【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直， 补形构造正方体或长方体，通过补形将四点共球转化为八点共球 3已知四面体PABC中，4PAPB，2PC ，2 5AC ，PB 平面PAC，则四面 体PABCD外接球的表面积为 336【解析】
4、由4PA 2PC ，2 5AC ， 222 PAPCAC ， 可得PAPC；又PB 平面PAC，,PA PC平面PAC， PBPA，PBPC，以,PA PB PC为长、宽、高，作长方体如图所示：则该长方体的 外接球就是四面体PABC的外接球，长方体的对角线长为 222 4426 ，长方体 外接球的直径26R ，得3R ；因此，四面体PABC的外接球体积为36V 【点评】若三棱锥的三条侧棱两两垂直，等效于一个“墙角” ，可将“墙角”补形构造正方体或长方体， 通过补形将四点共球转化为八点共球，在长方体中确定直径解决外接问题 4已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形
5、，SC 为球O的直径，且2SC ，则此三棱锥的体积为（ ） A 1 4 B 2 4 C 2 6 D 2 12 4C【解析】根据题意作出图形：设球心为 O，过ABC三点的小圆的圆心为 1 O，则 1 OO 平面ABC，延长 1 CO交球于点D，则SD 平面ABC由 1 233 323 CO ， 1 16 1 33 OO ，得高 1 2 6 2 3 SDOO ，而 ABC是边长为 1 的正三角形，则 3 4 ABC S ，得 1326 343 V 2 6 【点评】外接球球心与几何体任意平面的外心连线垂直于该平面 5.已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互
6、相垂 直，3AB ，3AC ，2 3BCCDBD，则球O的体积为（ ） A 4 3 B 4 3 3 C 32 3 D36 5.C【解析】如图，由条件知ABC是以BC为直径的直角三角形，取BC的中点 1 O，知 1 1 2 rO ABC 3 ，又DBC为等边三角形，ABC所在的小圆面与平面DBC垂直，得 1 O D 平面ABC，即球心 O在 1 O D上，且 1 3O D ，设球半径为R，则 222 (3)( 3)RR，可得2R ，故球O的体积为 3 432 2 33 【点评】如果三棱锥的面是直角三角形，直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，即为外心. 6.已知在梯形ABCD中，CDAB/，
7、ABAD ，2AB，1CDAD， 将梯形ABCD沿对角线AC 折叠成三棱锥ABCD， 当二面角BACD是直二面角时， 三棱锥ABCD的外接球的体积为 . 6. 4 3 【解析】如图，由条件知ABC是以AB为直径的直角三角形，取AB的中点 1 O，知 1 1 1 2 rOCAB，又1CDAD，取AC的中点E，则 12 22 OEBC ， 2 2 DE ，又二面角 BACD是直二面角，知 1 2 O ED ，所以 1 2 21 2 O D ，所以 1 1O D 111 OCO AO B， 即 1 O为三棱锥ABCD的外接球的的球心， 1R ，故三棱锥ABCD的外接球的体积为 3 44 1 33 .
8、 7在四面体SABC中，,2,ABBC ABBC2SASC，6SB ，则该四面体外接球的表 面积是（ ） A8 6 B6 C24 D6 7D【解析】因为,2,ABBC ABBC所以2ACSASB，设AC的中点为D，连接AD， O1 B C D A O O3 O2 O 2 A C B S O O 1 则三角形SAC的外心 1 O为在线段AD上，且 1 13 33 DOSD，又三角形ABC的外心为D，又 ,SDAC BDAC，所以AC 平面SDB，过D垂直于平面ABC的直线与过 1 O垂直于平面SAC的 直线交于点O，则O为四面体外接球的球心，在三角形SDB中，由余弦定理得 3 cos 3 SDB
9、 ，所以 1 3 sinsin()cos 23 ODOSDBSDB ，所以 111 6 tan 6 OOO DODO，设外接圆半 径为R，则 222 11 3 2 RSOOO，所以 2 46SR. 【点评】 外接球球心在与棱AC垂直的的平面SBD中， 然后在平面SBD中可以通过平面SAC的外心 1 O作 垂线与过平面ABC的外心D并垂直平面ABC的垂线DF相交出外接球球心， 也可以通过棱SB的中垂线 与过平面ABC的外心D并垂直平面ABC的垂线DF相交出外接球球心 8已知边长为2 3的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线BD折成二面角ABDC为120的四 面体ABCD，则四面体的外接球的表面积
10、为（ ） A25 B26 C27 D28 8D【解析】如图所示，设两三角形外心分别为 23 ,O O,球心为O， 1 120AOC,故 13 2,3OOOO，球的半径为 2 2 237OC ，故球的表面积为28. 【点评】外接球球心在与棱BD垂直的的平面 1 AOC中，使空间问题平面化 9点S、A、B、C在半径为2的同一球面上，点S到平面ABC的距离为 1 2 ，3ABBCCA， 则点S与ABC中心的距离为（ ） A3 B2 C1 D 1 2 9 B 【解析】 设球心为O,ABC中心为 1 O，ABC外接圆半径 3 31 3 r ， 依题意， 1 OO 平面ABC， 22 1 1OORr 作
11、21 SOOO，垂足为 2 O，则 12 1 2 OO ， 2 O为 1 OO的中点， 1 2SOSOR 【点评】几何体的外接球问题的作图有时可不画出球，直接在原图形上建立几何直观，避免复杂作图 10在四面体SABC中，SA平面ABC， o 120BAC，2SAAC，1AB ，则该四面体的 外接球的表面积为 1040 . .7 .11 . 33 ABCD 10D【解析】如图所示，以 A 为原点建系，则 13 C(2,0,0),B(,0) 22 ， 设球心为(1, ,1)Oy，则OBOCR，即 222 33 11( )()1 22 yy ， 解得 2 3 y ，从而外接球表面积 2 1040 44 33 SR 【点评】外接球球心在几何体任意一条棱的中垂面上。利用坐标法建立空间直角坐标系，得外接球球心两 条棱AC（x轴） 、AS（z轴）的中垂面上，故可设球心坐标(1, ,1)Oy，通过代数计算求解外接球半径， 避免复杂作图与空间想象
