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1、1关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想唐跃志 1华中科技大学经济学院，武汉，430074 摘要：本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。同时指出，如果将效用函数放在非欧空间里考察，则“投票悖论”可以解决。本文给出了效用函数在空间里的一个猜想模型，并证明了这种可能性。以及如何利用模型，求“Edgeworth 盒”的契约曲线及无差异函数。关键词：效用函数，非欧空间，阿罗不可能定理，契约曲线，无差异函数，猜想模型引言1951 年，阿罗(Arrow,K.J) 发表并证明了著名的 “不可能性定理”。阿罗用公理化方法和 5 个著名的公理证明了，经济学上的效用函数(utility function) 是不
2、存在的。这个定理给从那以后的经济学，带来了极大的困难 2。许多人试图否定阿罗的结论，但都没有成功 3。我们总结了前人的经验。并注意到阿罗证明成立的关键，是以下二个原因：第一，是因为公理化方法有如下逻辑：如果“猜想”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。第二，是因为 “投票悖论”的问题。因为，“投票悖论”是由效用函数导出的。而“投票悖论”又与阿罗公理相矛盾。所以，效用函数在阿罗公理条件下不存在 4。1研究领域：统计学，数量经济学，微观经济学；：(027)62589359；E-mail：tangyz_；联系地址：武汉市华中科技大学经
3、济学院；邮政编码：430074。2 甚至产生了对市场机制的歪曲。比如认为，既然市场解决不了市场的问题，所以应该由政府“独裁”，由政府在市场之上搞宏观调控。再如在政治上搞“两党制”。3 Debreu 等人证明了：定义在商品空间 Rl 的非负卦限 Rl+上的偏好关系，如果满足完全性、自反性、传递性、连续性和强单调性，则存在表达这个偏好关系的效用函数 u: Rl R l+。Debreu 本人也因此获得诺贝尔经济学奖。但是传递性会导致 “投票悖论”；所以，我们认为：Debreu 等人的结论，还不能从根本上否定“Arrow 不可能定理”。4 由于阿罗公理与“投票悖论”存在矛盾。许多人选择重新构造公理来论
4、证效用函数的存在性。如Sen(1977,1979,1986,1992,1996)，Gibbard(1973)、Satterthwaite(1975)等人从 “弱化”Arrow “完全理性” 假设的角度，来建立社会选择机制。他们的“弱化”方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；或者是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是这种“弱化”，并没有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生新的“不可能性”问题。“投票悖论”公理化方法“传递性公理” “A 优于 B,
5、B 优于 C,那么 A 必定优于 C” 效用函数不存在!图 0 1 “Arrow 不可能定理”的内在逻辑关系2由此可见，在阿罗的证明中，“投票悖论”是一个非常重要的因素。但“投票悖论”是怎样产生出来的呢？它源自阿罗假设中的“传递性公理”，它的标准假设是“A 优于B,B 优于 C,那么一定 A 优于 C”。因此， “传递性”，是“不可能定理”不可或缺的因素；如果证明在“传递性假设”上出了问题，那么“不可能定理”就不会再成立。经过分析，我们发现，“传递性公理”，其实与一条欧氏定理“AB,BC,那么一定AC” 等价；或者在某种意义上说，阿罗公理其实就是一个欧氏公理；阿罗证明实质上要求，效用的公理必须
6、是欧几里德形的，阿罗证明也只在欧氏条件下才会成立。但问题是，现实的效用体系是否就一定是欧氏几何形的呢？或者说，选择的公理是否就是要求，“如果 A 优于 B,B 优于 C，就一定必须有 A 优于 C!”？如果换成非欧几何， “阿罗定理”在非欧条件“AB,BC,不一定 AC”下还会成立吗？！基于非欧几何的知识，我们知道，答案是否定的。“不可能定理”在欧氏条件下成立，但在非欧条件却可能不成立！而且，现实的空间几何，非欧几何也要比欧氏几何合理。因此，联系到公理化方法的逻辑，我们有一个基本猜测：现实的效用的分析几何，也许应该是非欧几何，而不应是欧几里德几何！在此问题上，阿罗可能把问题的因果关系弄颠倒了，
7、“不可能性定理”并不是经济学的“有效”定理！而且我们还发现，“投票悖论”可以在非欧条件下得到印证。本文的第一部分，是公理化方法的数学准备；第二部分，是阿罗证明的逻辑讨论；第三部分，是我们对效用空间的一个几何猜想；第四部分，从等效角度证明效用的空间是非欧的；第五部分，用变分法证明效用的传递是封闭的，以及我们对“独裁”的解释；第六、七部分，是本文研究的一个延伸，即如何求“Edgeworth 盒”上的契约曲线及无差异函数。1，公理化方法与几何公理1.1，公理化方法所谓的公理化方法，也叫演绎推理方法。它是从一些初始概念（不定义的概念）和一些初始命题（不证明的命题、公理）出发，按一定的逻辑规则，定义出所
8、需要的概念，推导出所需的命题（定理）来。这里的“推导”是一种严格的证明，其依据，只能是初始命题或已由它们证明了的命题，除了逻辑规定外，不得依赖其他任何东西。它是数学上构建严格数理体系的基本方法。该方法的逻辑特点是：如果“猜想命题”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。因此，“猜想”的正确与否，与公理的构成有很大关系。同一“猜想”，在不同的公理条件下，结论会有很大不同。数学上最基础的公理，是数的公理与形的公理。数的公理，有 Peano 数公理、代数公理；形的公理，则有欧氏几何和非欧几何（罗巴切夫斯基几何，黎曼几何）。任何公理，按笛
9、卡尔(R.Descartes)的思想，都可化为数的公理和形的公理 5。联系数、形公理的桥梁，是坐标空间、相函数。由坐标、相函数支撑起来的“相空间”，包含了该公理应具有的一切性质。比如，欧氏几何的“相空间”是“平直的”；非欧几何的“相空间”是“弯曲的”5R.Descartes 的思想，现在被归纳为关系映射反演原则。其思想推动了坐标解析几何的产生与发展。3。阿罗公理作为一个代数公理，应与形的公理同态同构。1.2，几何公理的构成 6按希尔伯特 (D.Hilbert)的划分，几何公理的组成如下：几何公理结构几何公理 欧氏几何 罗氏几何 黎氏几何公理 关联公理 关联公理 关联公理公理 顺序公理 顺序公理
10、 分隔公理公理 合同公理 合同公理 运动合同公理公理 欧氏公设 罗氏公设 黎氏公设公理 连续公理 连续公理 连续公理欧氏几何和罗氏几何的区别，是第公设；而黎氏几何与欧氏、罗氏几何的区别，除了第公设外，还得加上一个在关联基础上的分隔公理。关于第公设，是众所周知的：欧氏第公设：又称平行公理。过直线 L 外一点 A，至多可作一条直线与 L 不相交。它的等价描述是，内角和等于 。罗氏第公设：过直线 L 外一点 A，至少有两条直线与 L 共面而不相交。它是欧氏平行公理的矛盾命题。它的等价描述是，内角和小于 。黎氏第公设：过直线 L 外一点 A 的所有直线，都与 L 相交。它的等价描述是，内角和大于 。对
11、于其它公理，了解它们是必要的。关联公理 7：也叫结合 (从属)公理。过 A,B 两点，有且至多有一直线 L；直线上至少有二点，又至少有三点不在同一直线上；过不在同一直线上的三点 A,B,C，必有且至多有一平面 S；每一平面上至少有三点；如果直线的两点在平面 S 上，则该直线的每一点都在 S上。顺序公理：也称次序公理。若 C 在 A,B 之间，则 A,B,C 三点共线，且 C 在 B,A 之间；对于 A,B 两点，至少存在点 C，使 C 在 A,B 之间；在共线三点中，至多有一点在其余两点之间。6本节的五组公理，其内容与 D.Hibert 原文表示略有不同，但所表达的事实基本一致。本文侧重于其点
12、、线、面的公理表达。7 公理中的“点”应分别理解成“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”为“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”亦为“欧氏面，罗氏面，黎氏面”。并且规定，如果把球面作“黎氏平面”典型面，球面上大圆作“黎氏直线”，“点”在大圆上，且球面上的对径点是一个点，则关联公理就是黎氏关联公理。所以黎氏意义下的直线是封闭的。S SBD图 1 1 顺序公理与分隔公理黎氏分隔公理ACBACBCAACB欧氏/罗氏顺序公理4分隔公理 8：若 A,B,C 为直线上任意三点，存在 D，A,B 点分隔 C,D；若 A,B 分隔C,D，则 B,A 分隔 C,D，C,D 分隔 A,B；共线四点 A,B,C,D，则 A
13、,B 分隔 C,D，A,C 分隔B,D，A,D 分隔 B,C，三种关系恰有一种关系成立；若 A,B 分隔 C,D，A,D 分隔 B,E，A,B则分隔 C,E。合同公理：也叫全合 (全等) 公理。若 A,B 为 L 上的点，A是 L上的点，则在 L上 A的一侧，恰有点 B，使得 AB=AB；若 AB=AB, A”B”=AB，则 AB=A”B”；若 B 在A,C 之间，B 在 A,C之间，并且有 AB=AB,BC=BC，则 AC=AC。 运动合同公理：也叫等效公理。对两个几何体 K、K ，通过运动变换 F，可以由 K得到 K，并且保持 K、K共有的特征性质不变。由合同或者运动合同公理，可导出： 自
14、反性：AB=BA；对称性：若 AB=AB， 则 AB=AB； 传递性：若 AB=AB,AB=A”B”，则 AB=A”B”。 同样，由顺序/分隔公理，可定义出：反对称：AB=-BA； 非对称：AB-BA。以上公理的逻辑关系是：没有关联公理、顺序/分隔公理，就没有合同公理，也就不存在自反性、对称性及传递性；自反性、对称性，以非自反、反/非对称的存在为前提。决定非自反、反/ 非对称的因素，是关联公理和顺序/ 分隔公理。在同一构造空间里，满足非自反性、反/ 非对称性、传递性的几何关系，通常称为序关系 9。三种不同的公理，构造了三种不同的序。三种序关系，分别代表三种不同的几何。开放的序，代表欧氏或者罗氏
15、几何 10；封闭的序，则代表黎氏几何 11。不同的几何，将导致不同的几何定理。比如，在欧氏、罗氏几何条件下，由顺序公理有反对称 AB=-BA，于是如果 CB,AC，则 AB。而在黎氏条件下，由分隔公理，有非对称 AB-BA或者反对称 AB=-BA，如果是反对称 AB=-BA，则 CB,AC，一定有 AB；如果是非对称 AB-BA，则 CB,AC，不一定是 AB，而可能是 BA。关于连续公理，则从略。1.3，数与形的统一8 “直线 ”上每一点都在平面 S 内，都具有相同的“面序”；在“直线” 上诸点的 “面序”都相同的基础上，比较该“直线”上诸点的序关系，是平面上顺序公理与分隔公理成立的前提条件
16、。9满足自反性、对称性、传递性的几何关系，是一种等价关系，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，是一种弱/强序。序有点序、线序、面序之分。10 对于开放的点序，如果其线空间是平直的，则代表欧氏几何；如果其线空间是弯曲的，则代表罗氏几何。11 封闭的序关系，与圆拓扑同构。而圆的内禀几何就是黎氏几何。图 1 2 运动合同过程 KKBA0FA0 B5考虑一个数序对(x, y) ，并引入坐标系0;1,i ；则这个数序对(x , y)，可看成复平面上的一个点 Z(x ,y)；这个点通过坐标关系，可构造一个数 z = x1 + yi；则有点 Z 与数 z 的对应关系Z(x ,y) . z = x1 + yi.同时，Z 的运动 Z(x ,y) Z(x+dx , y+dy)，将构成线段 ZZ，并且有dz2=(dx1+dy
