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1、编 号：审定成绩： 重庆邮电大学矩阵分析小论文学 院 名 称 ：通信与信息工程学院学 生 姓 名 ：胡晓玲专 业 ：信息与通信工程专业学 号 ：S160101047教 师 ：安世全时间：2016 年 12 月矩阵在MIMO信道和保密通信上的应用矩阵广泛应用于通信的各个环节，例如：奇异矩阵，酉矩阵等MIMO上的应用；可逆矩阵在保密通信上的应用；生成矩阵，监督矩阵在信道编码上的应用；Toeplitz和Hankel矩阵在通信信号处理中的应用等。本文主要讨论矩阵在MIMO信道和保密通信上的应用。一、 矩阵应用于MIMO信道我们知道MIMO信道在不增加频谱资源和天线发射功率的情况下能显著提升系统容量，同
2、时提高信道的可靠性，降低误码率。是4G和未来5G中的一个非常重要的技术，因此对MIMO的信道进行建模研究具有巨大的指导意义。本文首先建立了MIMO信道模型，利用矩阵理论得出MIMO信道简化模型，再结合信息论计算出信道容量，并得出结论。首先建立一个MIMO信道模型，发射端通过空时映射将要发送的信号映射到多根天线上发送出去，接收端将各根天线接收到的信号进行空时译码从而恢复出发射端发送的数据信号。信宿当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的， 这样，MIMO系统的信道用一个n*m的复数矩阵H描述。H的子元素aij表示从第xi(i=1,2,n)根发射天线到第yj(j=1,2,.m)根
3、接收天线之间的空间信道衰落系数。发送信号可以用一个n*1的列向量X=(x1,x2.xn)表示，其中xi表示 在第i个天线上发送的数据。用一个m*1的列向量Y=(y1,y2ym)表示，其中yi表示在第i个天线上接收的数据。信道中的噪声为高斯白噪声n。通过这样一个模型，在t时刻接收信号可以表示为：发送信号的协方差：Rxx=EXXH发送信号的功率：P=tr(Rxx)噪声的协方差：Rnn=EnnH接收信号的协方差：因为x与噪声n不相关，所以MIMO信道容量做一般性推导下面根据信息论知识，我们对MIMO信道容量做一般性推导。在下面的推导过程中我们假设信道 矩阵H在接收端已经完全已知，但是它是随机的，因此
4、我们可以得到瞬时信道容量为：Ixy是在已知信道H的情况下输入x与输出y之间的互信息量有：Hy是y的信息熵（微分熵），由于发送信号与噪声之间是独立的，因此有所以上式可以重新写为：由于噪声概率密度函数确定，所以Hn为定值，当信道为加性高斯信道时，信源x服从高斯分布时此时接收信号y也服从高斯分布，根据信息论理论，此时(,)Ixy取最大，即为信道容量。此时y和n的信息熵分别为：所以我们可以得到信道瞬时交互信Ixy，也即信息容量为：工程中一般定义信道容量为单位时间内的平均互信息，故定义MIMO的信道容量：其中T为一个符号周期，根据采样定理，(1/T)=2B，其中B为信号带宽，取(1/T)=2B=，代入得
5、：这即是MIMO的信道容量一般公式。信道是极其复杂的。因此原始的信道矩阵也就显得复杂，不便于分析，而且一般矩阵不经过处理计算行列式很困难。这就自然想到在信源端对发射信号做某种预处理，使得经过预处理的信号经过的信道变得简单易分析，而且具体实现也变得简单。对于信道矩阵来说，对角矩阵是最简单的，所以自然就想到把信道矩阵分解，利用矩阵理论中的奇异值分解可以达到这种目的。下面就矩阵的奇异值分解来计算MIMO的信道容量。奇异值分解信道矩阵为：H=UDVHD是n*m的对角阵，其对角非零元素模值为H的正奇异值，U、V分别为n*n和m*m的酉矩阵，则接收信号可表示为：yt=UDVHxt+nt 两边同时左乘酉矩阵
6、UH,则若矩阵H的非零特征值的个数为r个，每个子信道的增益等于矩阵H的一个奇异值。用i表示矩阵H的奇异值，将i代入公式可得：接收元素yi(i=r+1m)并不依赖于发射信号，即信道增益为零。另一方面,接收元素yi(i=1,2.,r)=仅仅取决于发射元素xi。因此得到的等效MIMO 信道是由个去耦平行子信道组成的,信道可等价为r个不相交的并行子信道，因此MIMO信道模型可简化为：利用此简化模型结合信息论中信道容量的计算方法得到MIMO信道容量为：令在信道衰落为平坦衰落，且接收端可准确估计信道衰落的条件下由该公式可知，MIMO链路的信道容量很大程度上取决于H的秩r。矩阵的秩越大，容量也越大。所以，M
7、IMO正是利用无线信道的多径效应使相距超过半个波长的天线尽量不相关，从而使信道矩阵秩越大，进而在不增加带宽和发射功率的情况下增加系统容量。二、矩阵在保密通信中的应用保密通信是信息时代的一个非常重要的课题, 基于加密技术的保密通信模型是最基本的。基于加密技术的保密通信模型如下：加密模型:密钥明文串密文串加密盒解密模型：密钥明文串解密盒盒密文串逆矩阵所传递的明文消息进行加密(即密文消息)，然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。若A代表可逆的加密密钥矩阵，B代表明文，C代表密文，则采用C=BA对信息进行加密，在接收端利用B=CA-1对密文进行解密。对于加密密钥的选择，可以通过对单位矩阵连续实施一系列所选择的初等变换得到加密矩阵。对于解密秘钥的生成，只需要再次利用生成加密秘钥时的变换矩阵对初等矩阵作一系列的初等逆变换即可。通过这次小论文，我发现矩阵分析在通信的很多方面都有重要应用。应用矩阵的相关知识，将保密通信、信息论、信道编码、MIMO链路中的许多繁杂的计算简化，并使其易于计算机实现。在应用矩阵理论的相关知识解决通信中的问题时，首先应该搞清楚问题的背景，通过分析提出面临的问题，根据问题建立模型，然后对比选择合适的模型进行研究，并给出解决方案，算法的计算，仿真，总结。
