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1、密 级公开学 号081629毕 业 设 计（论 文） e值的计算院（系部）：数理系姓 名：谢鹏燕年 级：2008级2班专 业：信息与计算科学指导教师：刘伟明教师职称：副教授 2012年 5 月 31日北京摘 要是数学中最重要的数学符号之一，称为自然常数，是自然对数的底数。它最先由瑞士数学家欧拉在1727 年使用。18世纪以来，数学家们在值的计算上不断取得成果。从最初的利用极限的定义计算，到级数、连分数，再到其它各种方法，计算得到的的近似值精度越来越高。本文在阅读了相关文献的基础上，选择了七种前人研究的经典而又有代表性的方法来介绍值的计算，理论上计算了近似值与真实值的误差和收敛速度，比较了各种方
2、法的精度，分析了各种方法的优缺点，并利用MATLAB软件将各种方法编程，近似计算值，比较结果。在定义的基础上，结合极限的思想，对极限的定义算法进行了改进。通过各种方法，可以了解一定的值计算的历史，掌握计算值的方法和技巧。值的计算是一项伟大的数学工程，随着数学科学的快速发展，值的计算的方法越来越多。值的计算的理论研究很大程度的促进了数学和其它学科的发展。关键词：自然常数， 值的计算，近似计算AbstractThe number e is one of the most important symbols in mathematics. It is called Natural Constant.
3、 It is natural logarithm base. It was first used in 1727 by Euler who was a Swiss mathematician. Since the 18th century, mathematicians obtained lots of achievements in the calculation of e. It is calculated from the initial definition of limit to series, fractions and other methods. The accuracy of
4、 the approximation of e was getting higher and higher. Having read the relevant paper, I select seven kinds of methods which are classical and representative to introduce the calculation of the number e. The paper calculates the deviation between e and its approximation and the convergence rate. It
5、also compares the accuracy of these methods. And it analyzes the advantages and disadvantages of these methods. Also, the paper uses MATLAB to write programs for these methods which will calculate different approximation of e and compares the results. Based on the definition and the thought of limit
6、, it improves the algorithm of the limit of definition. When reading the methods of the calculation of e, we can learn about some history of the research on e more or less and master some methods and skills.The calculation of e is a great mathematical project. With the rapid development of mathemati
7、cs, the methods of the calculation of e are developing more and more. The theoretical research of the calculation of e promotes much to the development of mathematics and other disciplines.Key words：Natural Constant, the calculation of e, the calculation of approximation目 录第一章 前言11.1 值计算的意义11.2 值计算的
8、历史背景11.3现有的值计算方法31.4研究的基本内容，拟解决的主要问题3第二章 的综合知识52.1极限定义52.2 的无理性和超越性82.3 的发展、应用11第三章 计算值的方法123.1 概述123.2 七种计算值的方法12第四章 结论与展望30参考文献31致 谢32附 录33IIIe值的计算第一章 前 言1.1 值计算的意义是数学中最重要的数学符号之一，称为自然常数，是自然对数的底数。的研究对时代的数学水平有一定的衡量作用，同时，在研究计算值方法的同时，数学家们可以引发新的概念、方法和思想以及新的算法，从而产生新的问题，促进其他领域学科的发展。至今为止，的大部分研究成果，已经应用到实际中
9、了，比如金融、股票等行业，当然它应用的形式是利用数学模型进行计算以达到预测、分析等的目的。正因为的作用越来越大，越来越明显，因此，值的计算的研究显得尤为重要，具有实际意义，能促进数学和其它学科甚至社会生产的发展。在阅读了大量的相关文献之后，发现国内见诸于报刊的关于值的计算的专业论文很少，多数文献提到值的计算时只有定义和级数，最多能提到连分数，少数文献提到计算方法时也是一笔带过，并无解析过程，难求一篇详尽的关于值的计算的文章。基于此，本文欲总结前人的研究成果，对值计算的一些方法进行综述，对各种方法的精度进行理论分析，比较结果，分析各种方法的优缺点，并试图对定义的极限算法进行改进。1.2 值计算的
10、历史背景1.2.1 总述自然常数最先是由瑞士数学家欧拉在1727 年使用的。它是Euler名字的第一个字母，后来人们确定用作为自然对数的底，以此来纪念欧拉。同时人们猜测，用作为自然对数的底的另一个原因是指数的英文拼写为exponential，其首字母是。是个无理数，其值为。自然常数使用之日起，历经的每个时代都有无数科学家致力于对它的研究。从最初得到的数列的极限作为其定义，欧拉自己还研究出了它的连分数表示法，到利用泰勒展开得到级数进行计算，无不是数学家们的努力成果，再到后现代的研究中， 1980年发现的一种连乘的计算方法，都体现了值的计算方法的发展。1.2.2 值计算的研究历史自然常数发现以来，
11、对于它的研究从未停止过。欧拉在研究极限时，发现这个极限值是存在的，并且不是一个有理数，为了表示这个极限，就将它记作。的使用最早见于1736年欧拉的力学著作中。在随后的研究中，欧拉又发现一些连分数可以表示，由于极限计算的收敛速度都相对较慢，欧拉发现连分数计算的收敛速度要快得多。随着指数函数的发现，数学家们迫不及待的利用泰勒级数展开将展成级数的形式，从而得到的级数计算公式，而级数计算的收敛速度较之极限也快得多。17世纪中期，欧拉首先证明是一个无理数。19世纪末，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼又证明是一个超越数。19世纪以来，关于的研究不断深入，从原来的对数理论拓展应用到其他理论。数学家们发现
12、，在素数理论，虚数理论，分形理论，级数理论，微积分，数值计算，概率论方面的研究都有很大的作用，甚至在某些尚未证明的猜想上也都有所联系。在分析学中，比较常用的计算的方法主要有两种，其一是利用极限另一种方法是利用级数当值取得足够大时，可以使得到的近似值与的误差足够小。在后续的研究中比较典型有1980年发现的pippengger，是一种幂递减的连乘算法，算法简单且高效，收敛速度较快。在其它领域的作用越来越多，越来越重要，随着数学的发展，计算的方法将越来越多，并且借助于高级计算机，可以得到的的精确度也越来越高。1.2.3 近代研究1854 年，英国数学家桑克斯首次给出的很多位数的小数值，但格莱歇尔指出
13、了在桑克斯的数值中前137 位是正确的，而后面出现了错误，他在纠正了错误之后给出了 的205 位小数值。1884 年，布尔曼算出了 的346 位小数值，并且发现他的计算与桑克斯的前187 位是相同的，而后面却不同。1887 年，阿拉姆算出了以10 为底的的对数的272 位小数值。到了20 世纪60 年代初，已经有人用计算机把算到万位了。1.3现有的值计算方法最早计算值的方法是使用定义计算的，对式而言，整个式子的增加速度随着的增大而减小。此方法计算简单但计算量大，由于收敛速度过慢，导致在开始的阶段计算得到的值精度不够高，后来数学家发现可以使用泰勒级数的迈克劳林展开计算，级数计算值的方法简单高效，
14、只要计算十多个数字之和即可得到相对于极限计算的几千万甚至几亿的精度，因此级数计算值的方法使得值的精度大大的提高。近代研究时计算其值就是使用泰勒级数展开不断增加和式的项数而得到的。欧拉在以后的研究中也逐渐发现一些新的公式，他发现很多连分数可以表示成与有关的代数式，另外还有一些极限也可以逼近，1980年，数学家还发现一个连乘公式可以计算。在后续的研究中，对极限的定义进行了改进，使得原来只有一阶收敛的极限算法提高到了二阶收敛，在改进中受到启发，继续对改进进行理论研究。1.4研究的基本内容，拟解决的主要问题1.4.1 研究的基本内容1）介绍的极限定义、由来、历史和性质。2）搜集文献，整理值计算研究的成
15、果，将前人研究的方法比如极限、级数等的计算方法作讨论，分析。并且对各种方法进行比较。3）对各种方法进行编程，借以分析各种方法的精度。4）对定义的极限算法进行改进，对其收敛的速度作讨论，改进收敛的速度。1.4.2 解决的主要问题1）对选择的方法进行误差、精度分析，对可以计算收敛速度的作收敛分析，对不能计算收敛速度（比如连分数）的作数据列表，比较收敛速度，比较各种算法的优缺点。2）定义的极限算法收敛速度太低，改进其收敛速度，对改进的算法进行理论研究。3）给出各种算法的MATLAB程序。第二章 的综合知识2.1极限定义2.1.1的出现1614年，英国数学家纳皮尔是历史上第一位公布对数表的人，瑞士钟表制造者比尔吉于1620年也公布了对数表。他们从出发，凭借天才般的直觉，选择了非常接近1的数作为底数 。比尔吉取，纳皮尔取。在比尔吉的对数中，对应于两个相邻指数和的真数的值分别为其中对有比吉尔利用此关系构造了对数表，只要计算出对应于的的值之后，即可在此基础上加上而得到对应于的真数的值。若取或得此时对数的底数为这个数已经很接近2.7
