圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围).doc

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1、圆锥曲线专题圆锥曲线专题 求离心率的值求离心率的值 师生互动环节师生互动环节 讲课内容：讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca、 的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中；双曲线中.ca、 2 2 1 a b a c e 2 2 1 a b a c e 所以只要求出值即可求离心率. a b 例 1.（20102010 年全国卷年全国卷 2 2）己知斜率为 1 的直线 与双曲线： 22 22 100 xy ab ab ，相交于l

2、C 两点，且的中点为，求曲线的离心率.DB、BD)3 , 1 (MC 解析：解析：如图，设，则),(),( 2211 yxDyxB、 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 b y a x -整理得0 )()( 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 又因为为的中点，则，且，代入得)3 , 1 (MBD6, 2 2121 yyxx 21 xx ，解得，所以.1 3 2 2 21 21 a b xx yy kBD3 2 2 a b 2311 2 2 a b e 方法点拨：方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与的关系，解得的值，从而整体代入求出 a

3、 b 2 2 a b 离心率 .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得，e),( 21 baxx 或者，从而解出的值，最后求得离心率.2),(ba),( 21 bayy6),(ba 2 2 a b 【同类题型强化训练同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，x032 yx 则双曲线的离心率为（ ）. 3 13 . A 2 13 .B 3 15 .C 2 10 .D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与圆交于x 222 ) 1()2(ryx 两点，恰是该圆的直径，且直线的斜率，求椭圆的离心率.BA、ABAB 2

4、 1 k 3.（母题）已知双曲线，双曲线上一动点到两条渐近线的距离乘积为)0( 1: 2 2 my m x CP ，求曲线的离心率. 2 1 C 【强化训练答案强化训练答案】 1.答案：答案：由双曲线焦点在上，则渐近线方程，又题设条件中的渐近线方程为x0aybx ，比较可得，则.032 yx 3 2 a b 3 13 9 4 11 2 2 a b e 2.答案：答案：设椭圆方程为，则)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ),(),( 2211 yxByxA 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 1 2 2 2 2 2 2 b y a x -整理得0 )()( 2 2121 2

5、 2121 b yyyy a xxxx 因为恰是该圆的直径，故的中点为圆心，且ABAB) 1 , 2( 21 xx 则，代入式整理得2, 4 2121 yyxx 2 2 21 21 2 a b xx yy k 直线的斜率，所以，解得AB 2 1 k 2 12 2 2 a b k 4 1 2 2 a b 所以离心率. 2 3 4 1 11 2 2 a b a c e 3.答案：答案：曲线的渐近线方程分别为和，设，则C0: 1 ymxl0: 2 ymxl),( 00 yxP 点到直线 的距离，),( 00 yxP 1 l m ymx d 1 00 1 点到直线的距离，),( 00 yxP 2 l

6、m ymx d 1 00 2 m myx m ymxymx dd 11 2 0 2 0 0000 21 因为在曲线上，所以，故，解得),( 00 yxPCmmyx 2 0 2 0 2 1 1 21 m m dd1m 所以.2e 策略二：构造策略二：构造的关系式求离心率的关系式求离心率ca, 根据题设条件，借助之间的关系，沟通的关系（特别是齐次式） ，进而得到cba,ca、 关于 的一元方程，从而解方程得出离心率 .ee 例 2.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形 21,F F)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 21F F ，若边的中点在双曲线上，求双曲线的离心率.

7、21F MF 1 MFP 解析：解析：如图 1，的中点为，则点的横坐标为. 1 MFPP 2 c 由，cFFPF 211 2 1 焦半径公式aexPF p 1 有，a c a c c) 2 ( 即022 22 acac 有022 2 ee 解得，或（舍去）.31e31e 方法点拨：方法点拨：此题根据条件构造关于的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义整理成ca, a c e 关于 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的e 结果：.), 1 (),1 , 0( 双曲线椭圆 ee 【同类题型强化训练同类题型强化训练】 1.（2011 新课标）已知直线 过双曲线的一

8、个焦点，且与的对称轴垂直， 与交于、lCClCA 两点，为的实轴长的 2 倍，则的离心率为（ ）B|ABCC 2 3. A2.B3.C.D 2.（2008 浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的1 2 2 2 2 b y a x 离心率是（ ） 3 5 . A.B.C3.D5 【同类题型强化训练答案同类题型强化训练答案】 1.答案：答案：依据题意，解得.a a ac AB2 22 22 2e 2.答案：答案：依据题意，整理得，所以.2:3)( : )( 22 c a c c a c 22 3ac 3 a c e 策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）策略

9、三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义） 由圆锥曲线的第二定义，知离心率 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适e 用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即.e d MF 例 3.（2010 年辽宁卷）设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab FF 相交于两点，直线 的倾斜角为,求椭圆的离心率.CBA,l602AFFB C 解法一：解法一：作椭圆的左准线,过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为BAABA A BB B .过作的垂线，垂足为.如图 2. B BA A M 由图，由椭圆的第二定义，则 ，e AA AF e AF AAe BB BF e

10、BF BB 1 2 : e BF e AF BBAABBAA2 且,所以是的中点AABMMA A 又因为直线 的倾斜角为，即，l6060AFxBAM 所以在中，,故.BAMRtAAAMAB 2 3 2 3 2 AB AB AA AF e 解法二：解法二：设，由题意知，. 1122 ( ,), (,)A x yB xy 1 0y 2 0y 直线 的方程为 ，其中.l3()yxc 22 cab 联立得 22 22 3(), 1 yxc xy ab 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因为，所以.

11、2AFFB 12 2yy 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得离心率 . 2 3 c e a 方法点拨：方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义 要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对 计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。 【同类题型强化训练同类题型强化训练】 1.（2010 全国卷二）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，过右焦点F且斜率为 (0)k k的直线与C相交于AB、两点若3AFFB ，则（

12、 ）k 1 2 3 2. A.B.C.D 2.已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且FCBBFCD ，则的离心率为 .FDBF2C 【强化训练答案强化训练答案】 1. 答案：答案：设直线 为椭圆的右准线， 为离心率，过分别作,垂直于 ，leBA、A A B B l 为垂足，过作垂直于与，如图 3 所示，BA 、 BBEA A M 由椭圆第二定义，则 ,，由,得 e AF AA e BF BBFBAF3 e BF AA 3 所以， 3 3 2 1 4 2 cos eBFe BF AB AE BAE ，所以.故选.21 cos 1 tan 2 BAE BAE2kB 2.答案

13、：方法一：答案：方法一：如图 4，, 22 |BFbca 作轴于点,则由，得,所以, 1 DDy D FDBF2 |2 |3 OFBF DDBD 33 | 22 DDOFc 即,由椭圆的第二定义得 3 2 D c x 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由,得,整理得.| 2|BFFD 2 3 2 c ca a 22 320caac 两边都除以,得,解得. 2 a 2 320ee 1()e 舍去，或 2 3 e 方法二：方法二：设椭圆方程为：第一标准形式，分线段所成的比为 2，FBD ，带入 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb x

14、xxc yy ，. 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 课时课时 2 2、离心率的取值范围、离心率的取值范围 一、师生互动环节一、师生互动环节 讲课内容：讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围策略一：利用曲线中变量的范围求离心率的范围 用曲线中变量的范围，在椭圆中，；在双曲线中 22 22 10 xy ab ab （）axa 中，或. 22 22 10,0 xy ab ab （）axax 例 1.设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点， 22 22 10 xy ab ab （）FF 12 、P 使，求离心率 的取值范围. 12 90FPFe 解析：解析：设，又知，则),(yxP 12 0(0)FcFc(，) ， ，),( 1 ycxPF),( 2 ycxPF 因为，则，即 12 90FPFPFPF 21 0)( 2 21 ycxcxPFPF 所以 222 cyx 联立方程，消，解得