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1、双曲线题型总结题型一双曲线定义的应用1、如图所示，在ABC中，已知|AB|=4，且三内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(2,0)、B(2 , 0 )由正弦定理得sinA = ，sinB =，sinC =.2sinA+sinC=2sinB，2a+c=2b，即ba=.从而有|CA| |CB|=|AB|=2)【反思感悟】使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即|PF1|PF2|=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支2、P是双曲线1上一点，F1、F2是双曲
2、线的两个焦点，且|PF1|9，求|PF2|的值解在双曲线1中，a4，b2.故c6.由P是双曲线上一点，得|PF1|PF2|8.|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|ca2，得|PF2|17.3、已知定点A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点的轨迹方程解设F(x，y)为轨迹上任意一点，A、B两点在以C，F为焦点的椭圆上|FA|CA|FB|CB|，|FA|FB|CB|CA|2F的轨迹方程为：y21 (y1)题型二由方程研究几何性质4、求双曲线9y216x2144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程解把方程9y216x2144化为标准
3、方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.【反思感悟】求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式1 (或1)，再根据它确定a，b的值，进而求出c.5若方程1表示双曲线，则实数k的取值范围是()Ak2，或2k5 B2k5 Ck5 D2k5解析由题意知：(|k|2)(5k)5，或2k0，b0)，由题意知c236279，c3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有解得所以双曲线的标准方程为1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，3)所以2a|4，即a2，b2c2a2945，所
4、以双曲线的标准方程为1.方法三若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为1(270，b0)的一条渐近线为ykx (k0)，离心率ek，则双曲线方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析双曲线的渐近线方程可表示为yx，由已知可得k.又离心率ek，所以k.即，故a2b.答案C10、已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_解析双曲线顶点为(a,0)，渐近线为xy0，1，a2.又，b，双曲线方程为y21.题型四双曲线的实际应用11、A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B的北偏西30相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌
5、炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角解以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(3,0)，A(3,0)，C(5,2)|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上kBC，BC中点D(4，)直线PD：y(x4)又|PB|PA|4，P在以A、B为焦点的双曲线右支上设P(x，y)则双曲线方程为1(x0)联立、式得x8，y5，P(8,5)，因此kPA.故炮击的方位角为北偏东30.12、已知A、B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/
6、s，求炮弹爆炸点的轨迹方程解如图所示，建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|PB|=3402=680，即2a=680，a=340.又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2a2=44 400.因为|PA|PB|=3402=6800，所以x0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为 （x0.）知识点五求双曲线的离心率13、(1)已知双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_；(2)设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_
7、解析(1)当焦点在x轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，e21， e；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，e21， e.(2)直线l的方程为1，即bxayab0.于是有c，即abc2.两边平方得16a2b23c4，16a2(c2a2)3c4.即3c416a2c216a40，3e416e2160.解得e24，或e2，ba0，1，e212，故e24，e2.答案(1)或(2)214、(全国高考)设a1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(，2) B(，)C(2,5) D(2，)解析双曲线方程为1，c.e.又a1，01.112.124.e0,b0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其
8、顶点为(a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点P(x,y)的横坐标均满足|x|a.2.双曲线的离心率e = 的取值范围是(1,+),其中c2=a2+b2,且=,离心率e越大,双曲线的开口越大.3.双曲线 (a0,b0)的渐近线方程为y=x,也可记为;与双曲线具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 (0).知识点六直线与双曲线15、直线l在双曲线1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.解设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由韦达定理，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y2
9、2x2m，y1y22(x1x2)，|AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24(m22)|AB|4，m26(m22)16.3m270，m.直线l在y轴上的截距为.知识点一直线与双曲线的位置关系16、已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，试讨论实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点解由消去y，得(1k2)x22k2xk240(*)(1)当1k20，即k1，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点(2
10、)当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点即k时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点即k或k时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点综上所述，当k1或1k1或1k时，直线与双曲线有两个公共点当k1或k时，直线与双曲线有且只有一个公共点当k或k时，直线与双曲线没有公共点【反思感悟】讨论直线和双曲线的公共点的个数问题，常常归结为讨论含参数的一元二次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题，但要注意转化的等价性17、过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A
11、、B两点，若|AB|4，这样的直线有()A1条B2条 C3条 D4条解析右焦点坐标为(，0)，把x代入双曲线方程得：y2，即当直线过右焦点垂直于x轴时，l与双曲线交的弦长|AB|4，当l与x轴重合时，|AB|2.由数形结合知，还存在两条直线，使得|AB|4，故选C.知识点七、焦点三角形问题18、F1、F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF290，则F1PF2的面积是()A2 B4 C8 D16解析方程变形为y21，由题意由式两边平方得：202|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|84.19椭圆y21(m1)与双曲线y21(n0)有公共焦点F1、F2，P是它们的一个交点，求F1PF2的面积解根据椭圆与
