【2017年整理】概率论与数理统计

《【2017年整理】概率论与数理统计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2017年整理】概率论与数理统计（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第五章 大数定律及中心极限定理概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛，本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。5.1切比雪夫 Chebyshev 不等式一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。定理 51（切比雪夫不等式）设随机变量 X 的期望 E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数 0，有:或：例 5-1设 X 是抛掷一枚骰子所出

2、现的点数，若给定 =2,2.5，实际计算 P|X-E（X）|，并验证切比雪夫不等式成立。【答疑编号：10050101 针对该题提问】解 X 的分布律为所以当 =2 时，当 =2.5 时，可见，切比雪夫不等式成立。例 5-2设电站供电网有 10 000 盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在 6 8007 200 的概率。【答疑编号：10050102 针对该题提问】解：设 X 表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数 n=10 000,p=0.7的二项分布。于是有E（X）=np=10 0000.7=7 000,D（X

3、）=npq=10 0000.70.3=2100,P6 8001,X1,X2,Xn是相互独立的。此时，若所有的 Xi又具有相同的分布，则称 X1,X2,Xn,是独立同分布随机变量序列。定理 5-3设 X1,X2,Xn,是独立同分布随机变量序列 E（X i）=,D（Xi）= 2 （i=1,2）均存在，则对于任意 0 有 （不证）这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。5.3 中心极限定理5.3.1 独立同分布序列的中心极限定理

4、定理 5-4 设 X1,X2,Xn,是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差 E（Xi）=，D（Xi）=2（i=1,2,）。记随机变量的分布函数为 Fn（x），则对于任意实数 x，有（不证）其中 （x）为标准正态分布函数。由这一定理知道下列结论：（1）当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（n，n 2）。我们知道，n 个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。不论 X1,X2,Xn,独立同服从什么分布，当 n 充分大时，其和 Zn近似服从正态分布。（2）考虑 X1,X2,Xn,的平均值，有它的标准化随机变量为 ，即为上述 Yn

5、。因此的分布函数即是上述的Fn（x），因而有由此可见，当 n 充分大时，独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正态分布例 5-3对敌人的防御地段进行 100 次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为 2，均方差为 1.5，求在 100 次射击中有 180 颗到 220 颗炮弹命中目标的概率。【答疑编号：10050104 针对该题提问】解 设 Xi为第 i 次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,100），则为 100次射击中命中目标的炮弹总数，而且 X1，X 2，X 100同分布且相互独立。由定理 5-4 可知，随机变量 近似服从标准正态分布，故有例 5-4某种电器元件的

6、寿命服从均值为 100（单位：小时）的指数分布。现随机抽出 16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和大于 1 920 小时的概率。【答疑编号：10050105 针对该题提问】解 设第 i 只电器元件的寿命为 Xi=（i=1,2,16）,E（X i）=100，D（X i）=100 2=10 000，则 是这 16 只元件的寿命的总和。E（Y）=10016=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：5.3.2 棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理 5-4 的特殊情况。定理 5-5（棣莫弗拉普拉

7、斯中心极限定理）设随机变量 Zn是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 发生的概率，则对于任意实数 x其中 q=1-p,（x）为标准正态分布函数。由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：（1）在贝努利试验中，若事件 A 发生的概率为 p。又设 Zn为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的频数，则当 n 充分大时，Z n近似服从正态分布N（np,npq）。（2）在贝努利试验中，若事件中 A 发生的概率为 p， 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的频率，则当 n 充分大时， 近似服从正态分布【例 5-5】用中心极限定理得到求解 5.1 例 5-2 的概率。【答疑编号：

8、10050106 针对该题提问】解 设同时开着的灯数为 X，则X-B（1000，0.7），np=10000.7=7000,【例 5-6】设某单位内部有 1000 台电话分机，每台分机有 5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以 95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？【答疑编号：10050107 针对该题提问】解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设 X 为 1000 台分机中同时使用外线的分机数，则XB（1000，0.05），np=10000.05=50,根据题意，设 N 为满足条件的最小正

9、整数由于 （-7.255）0，故有查标准正态分布表得 （1.65）=0.9505，故有由此N61.37即该单位总机至少需要 62 条外线，才能以 95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。小结本章考核要求（一）知道切比雪夫不等式或并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX| 或|X-EX|x 2（n）= 的 x 2（n）是自由度为 n 的开方分布的 分位数。分位数 x 2（n）可以从附表 4 中查到。例如 n=10，=0.05，那么从附表 4 中查得x2(10)=18.307p(x) 2x20.05(10)=px218.307=0.05注：请读者注意 x2x 2（n）时，n 是自由度，不

10、是容量。2.F 分布定义 6-7 设 x1x 2(m)，x 2x 2(n)X1与 X2独立，则称的分布是自由度为 m 与 n 的 F 分布，记为 FF（m，n），其中 m 称为分子自由度，n 称为分母自由度。自由度为 m 与 n 的 F 分布的密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布（见图 6-5）。当随机变量 FF（m，n）时，对给定的 （0F （m,n）= 的数 F （m,n）是自由度为 m 与 n 的 F 分布的 分位数。当 FF（m，n）时，有下面性质（不证），这说明（6.3.8）对小的 ，分位为 F （m,n）可以从附表 5 中查到，而分位数 F1- （m,n）则可通过（6.3.8）

11、式得到。【例 6-8】若取 m=10,则 n=5,=0.05，那么从附表 5 上（m=n 1,n=n2）查得F 0.05（10,5）=4.74利用（6.3.8 ）式可得到【答疑编号：10060202 针对该题提问】3.t 分布定义 6-8 设随机变量与 X1与 X2独立且 X1N（0，1），X2X 2（n），则称 的分布为自由度为 n 的 t 的分布，记为 tt（n）.t 分布密度函数的图像是一个关于纵轴对称的分布（图 6-6），与标准正态分布的密度函数形态类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。图 6-6 t 分布与 N（0,1）的密度函数当随机变量 tt（n）时

12、，称满足 Ptt （n）= 的 t （n）是自由度为 n 的 t 分布的 分位数，分位数 t （n）可以从附表 3 中查到，例如当n=10, =0.05 时，从附表 3 上查得t 0.05（10）=1.8125由于 t 分布的密度函数关于 0 对称，故其分位数有如下关系：t 1- （n）=- t （n）例如，t 0.95（10）=-t 0.05（10）=-1.8125当 n 很大时，（n30）,t 分布可以用 N（0，1）近似P（t-t ）=1-,p（tt 1- ）=1-，t 1- =-t4.一些重要结论来自一般正态总体的样本均值 和样本方差 S2的抽样分布是应用最广的抽样分布，下面我们加以介

13、绍。定理 6-4 设 X1,X2,Xn是来自正态总体 N（,2）的样本，其样本均值和样本方差分别为：则有（1） 与 s2相互独立；（2）特别，若 （不证）推论：设， 21= 22= 2并记则（不证）本章小结本章的基本要求是（一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念（二）知道统计量 和 s2的下列性质。E（s 2）= 2（三）若 x 的分布函数为 F（x），分布函数为 f（x），则样本（x 1,x2,xn）的联合分布函数为 F（x 1）F（x 2）F（x n）样本（x 1,x2,xn）的联合分布密度为 f（x 1） f（x 2）f（x n），样本（x 1,x2,xn）的概率函数，p（x 1,x

14、 2 ,xn）=p（X=x 1）p（X=x 2）p（X=x n）因而顺序统计量 x（1） ，x （n） 中X （1） 的分布函数为 1-（1-F（x） nX （n） 的分布函数为F（x） n（四）掌握正态总体的抽样分布若 XN（， 2）则有（1）（2）（3）（4）若=当 时， 。（五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念本章作业教材 142 页，习题 6.31.3.5.6.7.8.9.10.11自测题 6一,1.2.3.4.5.6第七章 参数估计从本章开始我们介绍统计推断，所谓统计推断就是由样本推断总体，统计推断包括参数估计和假设检验两部分，它们是统计推断最基本而且是互相有联系的两部分，本章介绍统

15、计推断的第一部分参数估计。参数通常指总体分布中的特征值 和 和各种分布中的参数，例如二点分布B（1，P）中的 p，泊松分布 P（ ）中的 ，正态分布 N（ 、）的 、 等，习惯用 表示参数，通常参数 是未知的。参数估计的形式有两类，设 x1,x2,xn是来自总体的样本。我们用一个统计量的取值作为参数 的估计值，则 称为 的点估计（量），就是参数 的点估计，如果对参数的估计需要对估计作出可靠性判断，就需要对这一可靠性给出可靠性区间或置信区间，叫区间估计。下面首先介绍点估计7.1点估计的几种方法直接用来估计未知参数 的统计量 称为参数 的点估计量，简称为点估计，人们可以运用各种方法构造出很多的估计，本节介绍两种最常用的点估计方法。它们是：矩法和极大似然法。7.1.1替换原理和矩法估计用下面公式表示 的方法叫矩法例 71对某型号的 20 辆汽车记录每 5L 汽油的行驶里程（km），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9这是一个容量为 20 的样本观测值，对应总体是该型号汽车每 5L 汽油的行驶里程，其分布形式尚不清楚，可用矩法估计其均值，方差，本例中经计算有28.695，