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1、正比例和反比例内部讲义与练习知识点一:正比例和反比例的意义(1)正比例1、 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,这两个量就是相关联的量。 如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,它们的关系叫做正比例关系。 用字母和表示两种相关联的量,用表示一定的量,那么正比例关系可以写成:例如,总价随着数量的变化而变化,总价和数量的比的比值(单价)是一定的,我们就说,总价和数量是成正比例的量。 工效(一定) 工总和工时是成正比例的量 速度(一定) 所以路程与时间成正比例。(2)反比例 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成
2、反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。 用字母和表示两种相关联的量,用表示一定的量,那么反比例关系可以写成:=(一定)例如,长宽面积(一定) 长和宽是成反比例的量每本的页数装订的本数纸的总页数(一定) 每本的页数和装订的本数是成反比例的量掌握:我们研究的一定是两个量,无论什么公式都至少有三个量,我们前面说过,要研究两个量的关系,一定要固定第三个量,也就是说让它不变,这是本单元的核心所在,如果第三个量不固定,就谈不上什么正比例还是反比例知识点二:正比例和反比例有什么相同点和不同点?(1)相同点:正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系,即一种量变化,另一种量也随着变化。(2)不同点:正比例是两
3、种相关联的量一种量扩大几倍,另一种量就扩大相同的倍数,两个数的比值(商)一定; 反比例是两种相关联的量一个量扩大几倍,另一个量就缩小几倍,两个数的积一定。知识点三:正反比例的图像1、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时各造纸多少吨?1)把下表填写完整。造纸时间/时1234造纸吨数/吨1.5(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。 吨数/吨6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?为什么?(4)根据图像判断, 5小时造纸多少吨?2、(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。时间
4、/分123456 7路程/千米7142128354249(1)图中的点A表示时间为1分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。(2)连接各点,它们在一条直线上吗?(3)根据图像判断,列车运行2分半钟时,行驶的路程是多少千米?行驶30千米大约需要几分钟? 路程/千米42 35 28 21 14 7 A0 1 2 3 4 5 6 7 时间/分知识点四:判断正反比例判断两种量是否成正比例的应用方法: 1、 判断两个是否相关联2、 判断这两个量的比值是否一定,比值一定就成正比例关系;反之不成正比例关系。3、 (简说:用除法,商一定,成正比) 判断两种量是否成反比例的应用方法:1、判断
5、两个是否相关联;2、判断这两个量的积是否一定,积一定就成反比例关系;反之不成反比例关系。2、 (简说:用乘法,积一定,成反比)例:【典型例题】工作总量一定,工效和时间成反比例 工效一定,工作总量和时间成正比例 时间一定,工作总量和工效成正比例 总价一定,单价和数量成反比例单价一定,总价和数量成正比例数量一定,总价和单价成正比例总产量一定,单产量和数量成反比例单产量一定,总产量和数量成正比例数量一定,总产量和单产量成正比例煤的总量一定,每天的烧煤量和烧的天数成反比 长方形面积一定,它的长和宽成反比 树的总棵数一定,每行种的棵数与行数成反比 每天看书页数一定,天数和看书的总页数成正比 分数的值大小
6、一定,这个分数的分子与分成正比 单价一定,数量和总价成正比 正方形的边长和它的面积成正比 工作时间一定,工作效率和工作总量成正比 路程一定,速度和时间成反比 一堆货物一定,运出的和剩下的成反比 煤的总量一定,每天的烧煤量和烧的天数成反比 长方形面积一定,它的长和宽成反比 树的总棵数一定,每行种的棵数与行数成反比 反比例: 1.百米赛跑,路程100米不变,速度和时间是反比例; 2.排队做操,总人数不变,排队的行数和每行的人数是反比例; 3.做纸盒子,总个数一定,每人做的个数和人数成反比例;4.买东西(实际就用文具用品),总钱数一定,它的单价和数量是反比例; 5.长方形的面积一定,长和宽是反比例;
7、 6.长方体的体积一定,底面积和高是反比例。 7.等分一块蛋糕,每人分到的蛋糕与人数成反比例。 8.总价一定,单价与数量成反比例. 9.长方体体积一定,底面积与高成反比例 10.总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例1、总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?为什么?2、和一定,一个加数和另一个加数成反比例。点评:有些相关联的量,虽然也是一种量变化,另一种量也随着变化,但它们不是积一定,也 不是比值一定,它们就不成比例。像这样的还有:人的跳高高度和身高;减数一定,被减数和差等。(1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗?为什么?(2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗?为什么?分别说明大
8、米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,每两种量的比例关系。(1)大米的总千克数一定,每天吃的千克数和天数;(2)每天吃的千克数一定,大米的总千克数和天数;(3)天数一定,大米的总千克数和每天吃的千克数。(1)因为每天吃的千克数 天数 = 大米的总千克数(一定),所以大米的总千克数一定时,每天吃的千克数和天数成反比例。(2)因为 = 每天吃的千克数(一定),所以每天吃的千克数一定时,大米的总千克数和天数成正比例。(3)因为 = 天数(一定),所以天数一定时,大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。 练习: (判断是否成反比例)2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400本。如果要装
9、订500本,每本有X页。题中( )量一定,关系式:( )( )( )(一定),( )和( )成( )比例。3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。题中( )量一定,关系式:( )( )( )(一定),( )和( )成( )比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时,( )与( )成( )比例; 当高一定时,( )与( )成( )比例; 当侧面积一定时,( )与( )成( )比例。5、在被除数、除数、商这三种量中, 当( )一定时,( )与( )成正比例; 当( )一定时,( )与( )成反比例;6、在行程
10、问题中, 当路程一定时,( )与( )成反比例; 当速度一定时,( )与( )成正比例 当时间一定时,( )与( )成正比例6、当 a b c( a、b、c 为三种量,且均不为0)。 ( )一定,( )与( )成( )比例;( )一定,( )与( )成( )比例;( )一定,( )与( )成( )比例;7、判断。(1)、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。( )(2)、图上距离和实际距离成正比例。( )(3)、X和Y表示两种变化的相关联的量,同时5X7Y0,X和Y不成比例。( )(4)、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。 ( )(5)、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例
11、。 ( )(6)、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。 ( )(7)订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( )(8)在400米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。 ( )(9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )(10)正方体的棱长和体积成正比例。 ( )(11)被除数一定,除数和商成反比例。 ( )(12)圆的周长和它的直径成正比例。 ( )(13)路程与时间成正比,时间与速度成反比。 ( ) 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。(1)、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数( )。(2)、正方形的边长和周长( )。(3)、水
12、池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间( )。(4)、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数( )。(5)、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数( )。(6)、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数( )。9、思考:明明三岁时体重12千克,十一岁时体重44千克。于是小张就说:“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗?为什么?10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时各造纸多少吨?(1)把下表填写完整。造纸时间/时1234造纸吨数/吨1.5(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。 吨数/吨6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗?为什么?(4)根据图像判断, 5小时造纸多少吨?题型一:根据图标填写信息例1 :购买面粉的重量和钱数如下表,根据表填空。重量(千克)123456总价(元)1.93.85.77.69.511.4 (1)( )和( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化。 (2)与总价7.6元相对应的重量是( )千克;与6千克相对应的总价是( )元。 (3)总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是( )。(4)