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1、第五章 动态电路的时域分析905.6 二阶电路的零输入响应5.6.1 二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压 的极性和流过电感电流 的方CuLi向；第二，电容上的电压总是连续的，即（5-31）)0()(Cu流过电感的电流也总是连续的，即（5-32）)(Li确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。5.6.2 R L C 串联电路的零输入响应如图 5-37 所示为 RLC 串联电路。开关 S 闭合前，电容已经充电，且电容的电压
2、，电感中储存有电场能，且初始电流为 当 时，开关 S 闭合，电容将通过0UuC0It放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通L过 R 转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。 CuiLuSRu0t图 5-37 RLC 串联电路的零输入响应由图 5-37 所示参考方向，据 KVL 可得0LRCu且有 ， ， 。将其代入上式得dtuCidtiRdtuCti202CCtRtuL式（5-33）是 RLC 串联电路放电过程以 为变量的微分方程，为一 个线性常系数二阶微分方程。如果以电流 作为
3、变量，则 RLC 串联电路的微分方程为i第五章 动态电路的时域分析91（5-34）02idtRCtiL在此，仅以 为变量进行分析，令 ，并代入（5-33） ，得到其对应的特征方程CuAeupt012求解上式，得到特征根为（5-35）LCRLP12221因此，电容电压 用两特征根表示如下：Cu（5-36）tptpCeAu21从式（5-35）可以看出，特征根 、 仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储1p2能无关。 、 又称为固有频率，单位为奈培 1每秒 ，它与电路的自然响应函数1p2 ）（ sNP/有关。根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为 ，00UuC）（）（，又因为 ，所以
4、有 。将初始条件和式（5-0)(0Ii dtuCiIdtC36）联立可得（5-37CIpAU021）首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即 且 。有0UI（5-3812021pAU1 奈培是一个无量纲单位，以奈培（John Napier,英格兰数学家）的名字命名。第五章 动态电路的时域分析92）将 、 的表达式代入（5-36）式即可得到 RLC 串联电路的零输入响应，但特征根1A2、 与电路的参数 R、L、C 有关，根据二次方程根的判别式可知 、 只有三种可能p 1p2情况，下面对这三种情况分别讨论1. ，过阻尼情况2在此情况下， 、 为两个不相等的实数，电容电压可表示为1p2（5-
5、39）tptpCeUu21220根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为tptCepdti 2120（5-40）)()(2120tptLU（5-41）tptpL edtiu2120其中利用了 的关系。Cp12由于 ，因此 时， ，且 。所以 时210tetpt21 01212pt一直为正。从（5-40）可以看出，当 时， 也一直为正，但是进一步分析可知，当Cu 0ti时， ，当 时， ，这表明 将出现极值，可以求一阶导数0t0)(it)(i)(t得到，即021tptpe故 12maxlnt其中 为电流达到最大的时刻。 、 、 的波形如图 5-38 所示。maxt CuiL第五章 动态电路的
6、时域分析93t0UoiCuLumaxt2iL,图 5-38 过阻尼放电过程中 、 、 的波形CiL从图 5-38 可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。当 时电感吸收能量，建立磁场； 时，电感释放能量，磁场衰减，mtmt趋向消失。当 时，电感电压过零点。2. ，欠阻尼情况CLR2当 时，特征根 、 是一对共轭复数，即1p2（5-42）jLCRjkpjj22 211其中： 称之为振荡电路的衰减系数；LCR称之为振荡电路的衰减角频率。21称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。LC0显然有 ，令 ，则有 ， ，如图 5-39220arctncos0si
7、n0所示。 0第五章 动态电路的时域分析94图 5-39 之间的关系0，根据欧拉公式（5-43）sincojej可得， jp01 ejp02所以有 ttCeUu212= tjjtjj ej 00=20jeUtjtjt = （544)sin(0tt）根据式（5-40） ， （5-41）可知（5-45）)si(0teLUit（5-46）)nut从上述情况分析可以看出， 、 、 的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种CiLu储能元件相互交换能量，如表 5-2 所示。 、 、 的波形如图 5-40 所示。iLt0UoiCuLuiL,22图 5-40 欠阻尼情况下 、 、 的波形CiLu表 5-2t0
8、t0t第五章 动态电路的时域分析95电容 释放 释放 吸收电感 吸收 释放 释放电阻 消耗 消耗 消耗从欠阻尼情况下 、 、 的表达式还能得到以下结论：cuiL（1） ， 为电流 的过零点，即 的极值点。kt.3,210iCu（2） ， 为电感电压 的过零点，即电流 的极值点。.Li（3） ， 为电容电压 的过零点。kt,C在上述阻尼的情况中，有一种特殊情况， ,此时 、 为一对共轭虚数，0k1p201jp02j代入到（5-44） ， （5-45） ， （5-46）式可得（5-47）)sin(0tUuC（5-48）i00tLi（5-49）)2sin(0tu由此可见， 、 、 各量都是正弦函数，
9、随时推移其振幅并不衰减。其波形如图 5-cuiL41 所示 t00UoCuLiuLC,20U图 5-41 LC 零输入电路无阻尼时 、 、 波形CuiL3. ，临界阻尼情况CLR2在此条件下，特征方程具有重根，即221LRp全微分方程（5-33）的通解为第五章 动态电路的时域分析96tCeAu21)(根据初始条件可得01U2所以，很容易得到（5-50）tCeu)1(0（5-51）tLUdti0（5-52）)(0teitL显然， 、 、 不作振荡变化，随着时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图CuiL5-38 类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将 的过程称为临CLR2界非振荡过
10、程，其电阻也被称之为临界电阻。5.7 二阶电路的零状态响应如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。5.7.1 R L C 串联电路的零状态响应电路如图 5-47 所示，开关 S 闭合前，电容和电感电流均为零。 时，开关 S 闭合。0tSUiCuRu0t L图 5-47 RLC 串联电路的零状态响应以 为电路的变量，根据 VCR 和 KVL，有Cu（5-63sCCUudtRtuL2第五章 动态电路的时域分析97）方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解 ，另一部分为对
11、应齐次方程的通解 ，即 。SCUu ptCAeu Cu方程（5-63）对应的齐次微分方程（5-64）02CCdtRtuL方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。将结论分别表示如下1. ，非振荡充电过程CR2电路响应表示为 StptpSCUeUu)(2121)()(2121tptSLi)2121tptpSeUu其中 、 为特征根，表达式与（5-35）式相同。 、 和 的波形如图 5-48 所示，1p2 LuiCtSUoiCuLumaxt2iuLC,图 5-48 、 和 的波形图LiC其中 ，是电感电压过零点，也是电流 达到最大值的时刻。max122maxln
12、tpt i2. ，振荡充电过程CLR电路响应表示为StCUeu2)1(第五章 动态电路的时域分析98tSeLUi2)1(tutS其中 ，此情况下的充电过程也为非振荡充电。LR25.7.2 RLC 并联电路的零状态响应二阶 RLC 并联电路如图 5-49 所示， ， 。 时，开关 S 断开。0)(Cu)(Li0t根据 KCL 有SLRCiiRuS0t LiCuSiii图 5-49 RLC 并联电路的零状态响应如果以 为待求变量，则有Li（5-65）SLLidtiRtiC2方程以（5-65）是二阶线性非齐次常微分方程，与（5-63）式的求解过程相同，其通解由特解 和对应齐次微分方程通解 两部分组成
13、。如果 为直流激励或正弦激励，则取稳态Li Lisi解 为特解而通解 与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。Li5.8 二阶电路的全响应在前两节中所讨论的二阶电路中，要么只有初始储能，要么只有外施激励。分别得到二阶微分方程求解的方法非常相似。如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用，一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。例 电路如图 5-51 所示，已知 ， ， 时开关 S 闭合，求0)(CuAiL5.)(0t开关闭合后电感中的电流 。)(tiL第五章 动态电路的时域分析99LiCuS0t F
14、1H25RV10图 5-51 例 5-12 图解：开关 S 闭合前，电感中的电流 ，具有初始储能；开关 S 闭合后，直AiL5.)(流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。（1）列出开关闭合后的电路微分方程，列结点 KVL 方程有210dtiLCiRdt即 102LittL将参数代入得2512LLRidtiti设电路全响应为 LLiti)(（2）根据强制分量计算出特解为)(2510AiL（3）为确定通解，首先列出特征方程为2p特征根为：7.01j.2p特征根 ， 是一对共轭复根，所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质，即p12)7.0sin(1.tAeitL（4）全响应为LLiti)(= )7.0sn(21. tet第五章 动态电路的时域分析100又因为初始条件为)(5.0)(0AiiL|dutC所以有 0sin1.co7.0)(si2A求解得 5A9.26所以电流 的全响应为iL（ ）)9.2617.0sin(5.1)(. tetitL A
