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1、 第 1 页 共 31 页 3D 几何画板使用教程 3D 几何画板使用教程 作者：欧阳耀斌 （修订：唐家军） 目目 录录 1 工具整体介绍 2 1.1 前言 2 1.2 安装工具的方法 . 3 1.3 工具原理 . 3 2 基本工具 . 5 2.1 建立坐标系 5 2.2 三棱锥和三棱柱 . 7 2.3 长方体 . 9 2.4 正交视图定点 .10 2.5 xyz 坐标定点 . 11 2.6 点的匹配 11 2.7 线段上定点 .12 2.8 中点 .12 2.9 定比分点 12 2.10 点在正交视图投影.13 2.11 公垂线 13 2.12 平行线 14 2.13 平面的单位法向量.14
2、 2.14 匹配点的技巧14 2.15 线面交点 面面交线 .15 2.16 获取点的坐标15 2.17 距离工具.15 2.18 垂线工具.16 2.19 夹角工具.16 2.20 向量工具.16 2.21 面积体积工具16 3 旋转 .17 3.1 介绍 .17 3.2 定轴转动 17 3.3 定点转动 19 4 着色工具 20 4.1 介绍 .20 4.1.1 线段着色 .20 4.1.2 线段虚实 .21 4.2 材质灯光控制 .24 第 2 页 共 31 页 2 板友间，心无间津津乐道！ 4.3 面的着色 26 4.4 函数发生器 .27 4.4.1 函数发生器 1 用法 .27 4
3、.4.2 函数发生器 2 的用法 .28 5 修订者后记.30 1 工具整体介绍 1.1 前言 这是一个几何画板软件的自定义工具。 几何画板是一个数学平台，能解决平面几何、平面解析几何的大多数问题。但是，遇到立体几何 问题就无能为力了。可喜的是，几何画板提供了创建自定义工具的功能，正是利用这个功能，我做成了 这个立体几何平台3D几何画板。 在这套工具问世之前，网上已经出现的一些由几何画板衍生的立体几何工具。其中有美国保罗的 3d工具和霍焰老师制作的立体几何平台，还有Infinte网友的3d平台。保罗的工具有中心投影和正投 影两种显示方式， 但是测量功能欠缺； 霍焰老师的工具测量功能齐全， 但是
4、只能提供正投影的显示方式， 立体感稍稍不足；Infinte网友的工具界面友好，另外具备表面的材质编辑功能和灯光功能，但是测量 功能较少。这些工具各有所长，用法各异，都是通过几何画板本身的自定义工具功能，通过计算用平 面图象表现立体效果。 本着这样的思路，我决定自己制作一套几何画板工具，综合它们的优点，并力求为高中立体几何 的学习服务。我的这套工具集成了较多的测量与作图功能，如直接测量面与面的夹角，作公垂线等。 另外，相比前面提及的工具，我还增加了空间旋转等功能，以满足立体几何教学的需要。这套工具一共 分成3个部分： 一是基本工具。主要是实现立体图形的构造、测量功能。利用这个工具基本可以解决高中
5、立体几 何题了。 二是旋转工具。主要是实现空间点绕轴的旋转。利用这套工具可以制作立体图形的展开动画。 三是着色工具。这套工具包含线段虚实工具 （即将被平面遮挡的线段自动调至较浅颜色） ，平面着 色工具以及二元函数的绘制工具。 利用这三个部分的工具，可以解决高中立体几何的大多数问题了。 讲讲我制作这套工具的经过吧。我在2007年初有了制作这套工具的想法，解决了3d核心的计算问 题后，于1月初制成最初版本。当时只能通过参数坐标值绘出点。后来参考霍焰老师的工具， 解决了反 求空间点的难题。 并据此制作出这套工具的第一版， 发上了人民教育出版社的论坛。 到了大概10月份， 我有了重写这套工具的想法，于
6、是把先前的工具全部重新制作，改进了3d核心的算法，并增加了许多 工具。以后的两个多月时间里，我利用空余的时间又陆续增添的一些工具，终于达到现在的规模。 最后，希望我的工具能给更多的人带来方便！ 2008-2-5 第 3 页 共 31 页 3D 几何画板使用教程 1.2 安装工具的方法安装工具的方法 确保几何画板指定的工具文件夹中含有如图序号为41到43的工具文件。几何画板5.05安装时，将 这几个工具放在了默认路径下的tool folder下，通过“选择工具文件夹”将自定义工具文件夹指向这 几个工具所在的文件夹，几何画板启动时，3d工具自动加载。 1.3 工具原理工具原理 现在讲讲工具的核心算
7、法3d换算。 这套工具利用中心投影的算法。如图蓝色的点代表摄像机（即观察者在空间的实际位置） ，屏幕代 表平面，只要在空间点与摄像机间作一连线，求出此线与平面交点，并求出交点在平面的坐标系（较 小的坐标轴代表这个坐标系的xy轴）上的坐标值，按此值显示平移center点即可。为了方便后边的讲 解，请记住红绿蓝分别代表xyz轴。 第 4 页 共 31 页 4 板友间，心无间津津乐道！ 这就是全套工具。 第 5 页 共 31 页 3D 几何画板使用教程 下面就该讲讲这套工具的用法了 2 基本工具基本工具 2.1 建立坐标系建立坐标系 坐标系是这套工具的基础，它提供了对视角、缩放比例、点的空间位置的控
8、制。因此，每次使用 这套工具，第一步必须新建坐标系。 点击自定义工具， “3D基本工具” - “建立三维坐标系” ， 在绘图区域中点击一下即可建立坐标系。 建立坐标系之后，必须初始化。为此，点击“初始化”按钮。 这时可以见到如图情况。 第 6 页 共 31 页 6 板友间，心无间津津乐道！ 下面对界面进行说明。 左上方提供对视角及缩放比例的控制， 右方的坐标格是正交视图。 右上方显示空间点在xoy平面的 投影（实际上是图形沿着z轴正方向的仰视图） ，右下方显示空间点在yoz上的投影（实际上是图形沿着 x轴负方向的侧视图） 。利用“正交视图定点”工具（后面讲述） ，可以方便地在这两个图控制空间点
9、的 位置。 先看左上方。 第一个滑杆控制坐标值的缩放比例（对应k值） ，拖动它，发现坐标轴端点的数值变了，这说明单 位长度的坐标值变了。 第二个滑杆是控制立体图形的扭曲程度 （对应Lens值） ， 实际上对应原理图中摄像机离原点的距离。 这个值越大，图形越接近正投影的效果（同斜二测画法的结果相似） 。 之后是两个扇形的滑杆，拖动扇形弧的端点，可以发现空间坐标发生旋转边的扇形。左边的控制 水平旋转，拖动点在下方；右边的控制竖直旋转，拖动点在上方。下图是水平旋转的效果。 还有几个按钮， 大家一看就知道什么意思了。“正视图” 是沿着红轴方向看， 只看到蓝轴和绿轴 （同 于右边网格下图） 。 “俯视图
10、” 是沿着蓝轴向下看， 只看到绿轴和红轴 （方向与右边网格上图相反） 。 “侧 视图”是沿着绿轴方向看，只看到蓝轴和红轴。 切换到俯视图（正视图、侧视图后） ，只需点“初始化” ，即可重新切换到立体图（透视图） 。 注意：新建坐标系后，图中的参数名称（Lens，alpha，beta，k） ，以及点的名称（center）绝对 不能改，其他参数的名称也不能修改，否则后面的工具无法调用同名称参数。 在后边的具体工具讲述中，都是直接讲述工具的使用，而且默认已经在绘图区域中建立了三维坐 标系，而且，图中的参数名称没有被手动改变。 在立体几何中，许多线都是用线段形式表示的，不是直线，请自行了解。 第 7
11、页 共 31 页 3D 几何画板使用教程 2.2 三棱锥和三棱柱三棱锥和三棱柱 三棱锥和三棱柱是立体几何的常见图形，这个工具提供了新建它们的快捷方法。 三棱柱用法：选定“基本工具”“三棱柱” ，先在右上方的仰视图绘制出一个三角形，再在右下 方的侧视图确定高。 此工具只需要绘制4个点就可以，前3个在仰视图中绘制三角形，作为棱柱的底面，第4个绘制在侧 视图中，确定棱柱的高。 效果如图，旋转坐标系立体效果更加明显。 第 8 页 共 31 页 8 板友间，心无间津津乐道！ 三棱锥用法： “基本工具”“三棱锥” ，然后在仰视图绘制出底面三角形， 并确定另外一点的位 置，再在侧视图确定高。 此工具需要在坐
12、标系中绘制5个点， 前4个点在仰视图中，其中3个是三棱锥的底面三角形顶点，第 4个是点是三棱椎的高点。第5个点绘制在侧视图中，确定三棱锥的高。 绘制后效果如图。 大家可能已经发现立体图中的点都附带上一条线段，这是后面的工具要用的， 千万不能删除！ （除 非你不需要再用工具） 第 9 页 共 31 页 3D 几何画板使用教程 2.3 长方体长方体 长方体是立体几何最常见的图形，下面讲述新建方法。 用法：先新建三个参数分别代表长宽高，再点击“基本工具”“长方体” ，顺次点击这三个参数 即可，改变参数值即可改变长宽高。 参数有无单位都可以，长在红轴（x）方向，宽在绿轴（y）方向，高在蓝轴（z）方向。
13、效果如 图。 有时由于长宽高过大，会出现这样的情况。 第 10 页 共 31 页 10 板友间，心无间津津乐道！ 这时只需调节k值（通过拖动对应的滑杆） ，即可缩小图形。如图形太小，用同样方法也可解决。 2.4 正交视图定点正交视图定点 这是很重要的一个工具，利用它可以直接在右侧正交视图（仰视图和侧视图）中确定点的位置， 工具自动计算出点在中央立体图的位置 用法：点击“基本工具”“正交视图定点” ，先在右上方确定点在仰视图的位置，再在右下方确 定点的高度。效果如图。 可以利用右方灰色的栅格，定出特殊坐标（例如：坐标值是整数的点） ，如图。但事前要算出每格 代表多少坐标值。 也可以在正交视图新建
14、几何图形 （例如： 圆） ， 把点定在图形上， 这样空间点就被约束在图形上了。 利用这种方法，以及几何画板自身的轨迹功能，可以画出空间曲线。 在仰视图中绘制圆，将动点合并到圆上。选中动点和三维坐标系中的点， “构造”-“轨迹”即可 构造出空间曲线。如图。 第 11 页 共 31 页 3D 几何画板使用教程 2.5 xyz 坐标定点坐标定点 用法：新建三个参数（有无单位均可）作为xyz值，再选“基本工具”“xyz坐标定点” ，顺次点 击参数即可在三维坐标系中确定点。 2.6 点的匹配点的匹配 在继续之后的学习前，必须讲讲如何匹配点。这一节非常重要，希望大家注意。 基本工具中剩下的工具，都是通过直
15、接匹配立体图中的点（而不是它在正交视图的投影） ，通过计 算出空间点的坐标，再完成其余的操作（如：计算点与点的距离） 。 但是，只知道点在立体图中的相对位置，是无法计算出点的空间坐标的（因为不同位置的两个空 间点在某些角度看上去是完全可以重叠的， 这样就无法判断看到的是哪个点） 。 怎么办呢？在这个问题 上，我运用了霍焰老师的方法（在此感谢霍焰老师想出了这么好的方法！ ）画出空间点时，令它附带一 根线段（就像刚才大家看到的那样） ，线段的倾斜程度代表点的z坐标，而线段的中点就是那个空间点。 这样， 我们反求空间点的坐标时， 只需确定它附带的线段， 再度量它的斜率， 然后作出线段的中点 （这 个
16、点与空间点重合，作出中点可以省去匹配空间点的一步） ， 通过计算中点在屏幕的位置（实际上是得 出它相对于屏幕坐标平面的坐标值） ，结合通过斜率得出的z值，即可计算出它的空间坐标。 讲了这么多，也许大家并不知道我讲什么。但没关系，我想告诉大家的是当以后的工具提到匹配 某个点时，不是匹配（点击）这个点本身，而是匹配（点击）它附带的线段。 鼠标靠近那条线段时，线段会变成蓝色，当使用工具需要匹配点时，线段会变红。如图： 第 12 页 共 31 页 12 板友间，心无间津津乐道！ 这时只需点击一下，就算匹配了这个点。 匹配点的方法：点击它附带的小线段。 2.7 线段上定线段上定点点 这个工具可以直接在立体图作出线段上的一点，可以在立体图移动它的位置，工具自动计算出点 的三维坐标。 用法：匹配（如果不知道匹配是什么意思，请看上一节）线段的两个端点即可。生成
