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1、山西师范大学现代文理学院（数计系）毕业论文论文题目：二次曲线方程的化简与应用学生姓名： 刘彦雪 学 号： 1290110415 专 业： 数学与应用数学 班 级： 1204 班 指导教师： 范青龙 二零一四年十一月四号0目 录摘 要 .2（一） 、二次曲线的相关定义 .2（二） 、平面直角坐标变换 .32.1 二次曲线方程的化简与分类 .32.2 利用系数的影响规律化简方程 .4（三） 、应用举例 .7（四） 、结束语 .10参考文献 .111二次曲线方程的化简与应用刘彦雪摘要二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。文献给出
2、了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数 t 的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换 （一） 、相关定义1.1.在平面上，由二元二次方程所表示的曲线,叫做二22111323, 0Fxyaxyaxay次曲线.1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次
3、曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换.1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,它2的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量.1.5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径。（二）、平面直角坐标变换二次曲线 F（x,y）=0 经过仿射变换 ， 的仿2211cybxa021ba射对应的图形仍为同类型的二次曲线，并且二次曲线的中心在仿射变换下还是二次曲线的中心。在平面
4、直角坐标系中，利用坐标变换，是二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式，然后进行二次分类。2、1 二次曲线方程的化简与分类在一般情况下，由旧坐标系变为新坐标系需要分两步来完成，则二次曲线方程（*）在移轴公式为 ,其中 表示平面内一点 的旧坐0yx(,)yP标, 表示 点的新坐标, 表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐(,)xyP(,)x标，则二次曲线方程(*)在转轴公式为 ,其中, 为坐标轴 cosinixyy的旋转角.在转轴 下，二次曲线的新方程为 F（ ）0yx 00,yx 0)(2)(2)()(2)( 03130200101 ayayayaa3，这里 。因此，在转轴 为 1122300130
5、212230,(,)(,)aaxyFxyaF 0yx下，二次曲线方程系数的变化规律为：1）二次项系数不变；2）一次项系数变为 , ；)(20113yxFa),(203yxFa3) 常数项变为 ,03因为当（ ）为二次曲线的中心时有，所以，当二次曲线有中心时，0,yx做移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那么在新坐标下二次曲线的新方程中一次项消失。则，新方程为 ，02233211 ayayxa这里. 3 23123 21212122 121 cossiniccsiosin)(sincoaaaa因此，由此可知系数变化规律为：1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；2）一次项系数的变化仅
6、与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无一次项时，转轴后也无一次项；43）常数项不变.2.2 利用系数的影响规律化简方程当 时，二次曲线 为中心二次曲线，其中心 满足02I*0(,)xy2302012 11),(ayxayxFo根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取 为坐标原点，则二0(,)x次曲线方程可化简为： 23211 ayxa其中 ),(,03221 Fa由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.当 时，即（*）为非中心二次曲线 ,如果 时，取转角 满足02I 12a， 使得12cota0)sin(cocsin)( 22112 a从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心
7、二次曲线的化简一般是先转轴后移轴. 注意：利用坐标变化化简二次曲线的方程，如果曲线有中心，那么为了计算方便，往往先移轴再转轴。定理 1：适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个:(I) ;0,21321 ayax5(II) ;0,2132132 axya(III) .,232证明：我们根据二次曲线是中心曲线，无心曲线，线心曲线三种情况来讨论（1）对于中心二次曲线,我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系，设二次曲线在这样坐标系下的方程是22111323, 0Fxyaxyaxay因为这时原点就是曲线的中心，根据定理的推论推知 ，其次，二231次曲线的
8、两条主直径（即坐标轴）的方向为 1:0 与 0:1，他们相互共轭，因此有 ，所以曲线方程为（I)012a 0,21321 ayax（2）对于无心二次曲线,取它的唯一主直径为 x 轴,而过顶点(即主直径与曲线的交点)且与非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直与主直径的直线)为 y 轴建立坐标系.这时的曲线方程，因为这时主直径的共22111323, 0Fxaxyaxay轭方向 X:Y=0:1，所以主直径的方程为 ， 它就是 x 轴，即与直 2321线y=0 重合，所以有 ，又因为顶点与坐标原点重合，所以0,2231a（0,0）满足曲线方程，从而又有 ，其次由于二次曲线是无心曲线，所以3而 所以有
9、，因而曲线方程为23112a,0,2120,131a（II） ,132132axy（3）当已知为线心二次曲线,我们取它的中心直线(即曲线的唯一直径也是6主直径)为 x 轴,任意垂直它的直线为 y 轴建立坐标系. ,因为线心二次曲线的22111323, 0Fyaxyaxa方程是方程 中的任何一个，第二个方程表0232113121y与示x 轴的条件为 ，而第一个方程在 的条件下，不可能再表,2231a012a示x 轴，所以它必然是恒等式，因而有 所以线心二次曲线的方程为13（III） 定理证毕。0,232aya现在我们可以根据二次曲线三种简化方程的系数的各种不同情况，写出二次曲线的各种标准方程，从
10、而得出二次曲线的分类。定理 2 并且通过适当的选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式： )(12椭 圆byax )(2虚 椭 圆 )(12双 曲 线byax )(02 共 轭 虚 直 线点 或 称 两 相 交 于 实 点 的 )(2两 相 交 直 线byax （抛物线）p )(2两 平 行 直 线ay7 （两平行共轭虚直线）2ay （两直线重合）0（三） 、应用举例例 1：化简二次曲线方程 ，并画出它的图形。0422yxyx解：因为 ，所以曲线为中心二次曲线，解方程3412I组 0212yxf得中心的坐标为 x=0,y=2,取（0,2）为新原点，做移轴 原方程变2xy为
11、 ，在转轴消去 得 cot2 =0,从而可取 ，故 0422yxyx4转轴公式为 经转轴后，曲线化为最简形式为（标准形式） )(21yxy382x这是一个椭圆。上面介绍的通过转轴和移轴来化简二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置，如果是中心曲线，坐标的原点与曲线的中心重合；如果是无-3 -2 -1 1 2 3y xxoy43218心曲线，坐标的曲线与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合，因此，二次曲线方程的化简，只要先求出曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴，座坐标变换即可。例 2 化简 ,并做出草图.220xyxy解 因
12、为 1231,2II所以曲线为线心曲线.故有唯一的直径即中心线，其方程为 10xy取它为新坐标系的 轴，再取任意垂直于此中心线的直线 为新坐标x系的 轴，作坐标变换，这时的变换公式为y21xy解 得,xy 221xyy代入已知方程，经过整理得 .即 或 .23062y图形如下94 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 y x xo y 显然用坐标变换法化简二次曲线的方程，计算量大，但能做出几何图形.例 3 求曲线 的简化方程并做出草图.0126522 yxxy解 因为 ,即二次曲线为中心二次曲线.3102II，由 得中心坐标为01530yx170yx由 知，取 ，则12cot2ar42cos,sin又 故 .48135I 3164823I又因为 即由定理 1 知 而 又是特征方程.012a21,的两根，所以 .62821，所以曲线方程在坐标变换 1726yxy下可化简以为1003822 yx图形如下o4y xyxo（四） 、结束语我们研究了二次曲线在平面直角坐标系下的化简，展开了对二次曲线的一般情形的讨论，讨论了一般二次曲线的特殊化简，以及在转轴下，二次曲线系数的规律，以及旋转角的问题，特别的，我们利用了二次曲线主直径的方
