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1、用导数研究三次函数1、 知识点解析1、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”。定义2、三次函数的导函数为二次函数:，我们把,叫做三次函数导函数的判别式。2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性 一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。yf(x)图象的对称中心在导函数y的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题（1）当时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为
2、函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。此时：若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、 极值点问题 若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)f(x) (或f(x0)f(x)，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当时，三次函数在上的极值点要么有两个。当时，三次函数在上不存在极值点。5、最值问题。 函数若，且，则：；。6
3、、过三次函数上一点的切线问题设点P为三次函数图象上任一点，则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。7、过三次函数外一点的切线问题设点为三次函数图象外，则过点一定有直线与图象相切。可能有一条、两条或三条。（具体情况分析不作要求）8、类似于二次函数的图像和性质表：图像根的个数三实根两实根一实根一实根与x轴的交点三交点两交点一交点一交点单调性在和上为增函数.，在上为减函数在R上为增函数极值有两个极值，一个极大值，一个极小值无极值2、 经典题型一、考查函数的奇偶性和单调性例1 已知函数f(x)
4、=x3+px+q(xR)是奇函数，且在R上是增函数，则（ ）A、p=0,q=0 B、pR,q=0 C、p0,q=0 D、p0,q=0解析 由奇函数以及增函数的定义易知选D二、考查函数图象的对称性例2 函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于（ ）对称A、直线x=1 B、直线y=x C、点(1,-2) D、原点解析 由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象关于成中心对称知选C 例3、（2013课标全国，16）若函数的图像关于直线x=-2对称，则的最大值为_.解析：函数的图象关于直线x=-2对称，则解得a=8，b=5，所以可以解得的最大值为16。y三、运用函数的性质和数形结合思想解题
5、 例4 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ） A、b(-,0) B、b(0,1) xC、b(1,2) D、b(2,+ ) 解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a0，又 f(x)= ax3-3ax2+2ax比较系数可知b=-3a0,b0,d=0） 例5（2013课标全国卷，10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）（A）xR,f(x)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若x是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-,x）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则 解析：由三次函数值域为R知f
6、(x)=0有解，A正确；由性质可知B正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,则f(x)在（-,x1)上为增函数，在上为减函数，在（x2，,)上为增函数，故C错。D正确。选C。四、考查单调区间、极值、最值的问题 例6（2010年全国卷文）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。（）设a=2，求f（x）的单调区间；（）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。 解析： （2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出a的取值范围。五、考查交点个数问题 例7 （2009陕西文20）已知函数（I）求的单调区间；（II
7、）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解：（1）当时，对，有所以的单调增区间为当时，由解得或，由解得，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得.由（1）中的单调性可知，在处取得极大值1，在处取得极小值-3.因为直线与函数的图象有三个不同的交点，所以的取值范围是.点评：（1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对
8、函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 六、考查曲线的切线问题 例8（2007全国II理22）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）的导数曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况：0g(x)00g(x) 增函数极大值减函数极小值增函数由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上所述，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即点评：
9、（1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.七、含参数的恒成立问题例9（2008年安徽文）设函数为实数。（）已知函数在处取得极值，求的值； （）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。解析：（），由于函数在时取得极值，所以 即 对于问题（）有两种方法： 方法一 转化为关于的函数 由题设知：对任意都成立即对任意都成立设 , 则对任意，为单调递增函数所以对任
10、意，恒成立的充分必要条件是即 ，于是的取值范围是方法二 恒成立问题，转化为不等式的最值问题 由题设知：对任意都成立即对任意都成立于是对任意都成立，即 于是的取值范围是3、 高考试题检测1(2011广东，12)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析f(x)3x26x0得x0或x2.当x(，0)(2，)时f(x)0，f(x)为增函数当x(0，2)时，f(x)0，f(x)为减函数f(x)在x2处取得极小值答案22、(2014辽宁，11)当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B.C6，2 D4，3解析当x(0，1时，得a34，令t，则t1，)，a3t3
11、4t2t，令g(t)3t34t2t，t1，)，则g(t)9t28t1(t1)(9t1)，显然在1，)上，g(t)0，即4a24a10，a.a的取值范围是.5(2015江苏，19)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)，求c的值解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20(x0)，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0时，x(，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0，从而或又bca，所以当a 0时，a3ac0或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个
