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1、特殊四边形-作辅助线添加辅助线解特殊四边形特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.知识点一：平行四边形有关的辅助线作法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，
2、构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1 、 如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结 证明：连结,设交于点O四边形为平行四边形 即四边形为平行四边形 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2、如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，那么的取值范围是（ ）A B C D 解：将线段沿方向
3、平移，使得,则有四边形为平行四边形,在中, ,，即 解得 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3、已知：如图3，四边形为平行四边形求证：证明：过分别作于点，的延长线于点F 则四边形为平行四边形 且, 第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：证明：延长交的延长线于点， 四边形为正方形 且, 又, ,则 第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5、如图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形
4、。解：延长与的延长线相交于，则有, 第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6、已知：如图6，在平行四边形中，,交于，求解：连结交于点,连结四边形为平行四边形 且 综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。知识点二：和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例7 、如图7，在ABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点
5、F，求证：四边形CDEF是菱形.分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有两种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE. 求AD平分CE.证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得ACE是等腰三角形，因为AO平分CAE，所以AOCE，且OC=OE，因为EF/CD，所以1=2， 又因为EOF=COD，所以DOC可以看成由FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形. 图7 图8例8、 如图8，四边
6、形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.证明：连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DFDE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长.综上所述，菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高
7、；（2）连结菱形的对角线.知识点三：与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例9、如图9，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.因为四边形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2
8、，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3. 图9 图10说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.知识点四：与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例10、如图10，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC
9、，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB.分析：由BE/AC，CF/AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AHBE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=AC，可算出E=ACF=30，BCF=15.证明：连接BD交AC于O，作AHBE交BE于H.在正方形ABCD中，ACBD，AO=BO，又BE/AC，AHBE，所以BOAC， 所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=AC，因为AE=AC，所以AEH=30，因为BE/AC，AE/CF，所以ACFE是菱形，所以AEF=ACF=30，因为AC是正方形的对角线，所以ACB=45，所以BCF=15，所以BCF
10、=AEB. 说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决题.知识点五：与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例11 、已知如图11，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.分析：要证明CO=CD，可证明C
11、OD=CDO，由于已知BAC=90，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形的性质解决问题.证明：过点A、D分别作AEBC，DFBC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AEBC，BAC=90，所以AE=BE=CE=BC，ACB=45，所以AE=DF=，又DFBC，所以在RtDFB中，DBC=30，又BD=BC，所以BDC=BCD=，所以DOC=DBC+ACB=30+45=75.所以BDC=DOC，所以C0=CD. 图11 图12说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.例12
12、、如图12，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.解：过点D作DF/AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB， BD=FD，因为DEBC，所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD) =10=5.因为AC/DF,BDAC,所以BDDF,因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的长为5.说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构
13、造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.知识点六：和中位线有关辅助线的作法例13、 如图13，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题. 证明：取AD中点P，连结PE，PF.因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE/BD，且PE=BD，PF/AC，且PF=AC，所以PEF=PFE，又PEF=OGH，PFE=OHG，所以OGH=OHG，所以OG=OH. 图13说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题. 矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度- 7 -
