《应用函数单调性证明不等式(魏立国)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用函数单调性证明不等式(魏立国)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 应用函数单调性证明不等式 魏立国 内容摘要：应用函数单调性证明不等式。一、利用函数单调性的性质证明不等式性质：若函数f(x)在区间D上是增函数（减函数），则对任意xiD，（i=1,2,n），恒有。二、利用函数单调性证明不等式。 不等式的证明，一直是中学数学的难点，基本上每年高考和竞赛的压轴题都与不等式有关，而人们常常关注比较法、分析法、综合法、数学归纳法、放缩法等，很少人关注用函数的单调性证题，其实有些不等式的证明，如果使用函数的单调性，很容易证得，现举例如下。一、利用函数单调性的性质证明不等式性质：若函数f(x)在区间D上是增函数（减函数），则对任意xiD，（i=1,2,n），恒有仅证增函
2、数情况，若f(x)在区间D上是增函数，则对任意，恒有即对任意xiD，（i=1,2,n），恒有也就是 减函数情况同理可证。例1，设a、b、cR+，求证：（第2届友谊杯国际数学邀请赛试题）。分析：左边=可构造函数，利用性质即证证明：构造函数，其中s=a+b+c,x(0,s)由，所以f(x)在x(0,s)上是增函数，由性质可知，例2，设a、b、c为正实数，且abc=1求证：（第36届IMO）。分析：由abc=1，原不等式可化为，由例1可知，又，显然即证。说明：其实例1第二届友谊杯国际数学邀请赛试题与例2第36届IMO试题本质上一样，例1更具有一般性。例3，若aiR+,i=1,2,n, n、k均为大于
3、1的自然数，则证明：设即f(x)在R+是增函数，由性质可知，重复放缩即得。即证。二、利用函数单调性证明不等式例4，求证：分析：左边常数，只有看右边最小值是否是，若令，如能证明递增，证明：右边则递增数列，例5，设函数y=f(x)定义域为R，当x0时，有f(x)1，且对任意x、yR，有f(x+y)=f(x)f(y),解不等式。分析：本题是一个抽象函数，显然根据，求不等式解集，必然与单调性有关。 又当即又f(x)在R上是增函数，2x+10 ，即得不等式解集为说明：例4、例5通过作差判断单调性来解题例6，求证：证明： 又例7，设x、y、z是正实数，且xyz=1,证明证明：设由则当t0时，严格递增，假设则本文发表于中学数学研究2007年第五期
