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1、6.1.1 欧拉公式欧拉公式(gngsh)与改进欧拉公式与改进欧拉公式(gngsh)6.1 欧拉方法(fngf)这称为(chn wi)欧拉公式例6.1 以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题第1页/共22页第一页，共23页。后退(hutu)欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。这称为后退(hutu)欧拉公式第2页/共22页第二页，共23页。6.1.2 梯形梯形(txng)公式与改进欧拉公式公式与改进欧拉公式欧拉公式与后退欧拉公式也可采用(ciyng)积分近似的方法推出第3页/共22页第三页，共23页。梯形梯形(txng)公式也是隐式单步法公式公式也是隐式单步法公式第4页/共2
2、2页第四页，共23页。用梯形公式计算(j sun)时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算(j sun)，即采用下式这称为(chn wi)改进欧拉公式第5页/共22页第五页，共23页。例6.2 仍取步长h = 0.1，采用(ciyng)改进欧拉法重新计算例 6.1 的常微分方程初值问题。这时改进(gijn)欧拉公式为计算结果见表6-2（书125页）解解第6页/共22页第六页，共23页。6.2 计算公式的误差(wch)分析 定义(dngy)6.1 若 yi+1 是 yi=y(xi) 从计算得到的近似解，则称y(xi+1) yi+1为所用公式的局部截断误差，简称为截断误差。 定理6.1 若单
3、步法 yi+1 = yi+h (xi , yi , h) 的局部截断误差为 O (h p+1) ，且增量函数 (x , y , h) 关于 y 满足李普希兹条件，即存在常数 L0，使对 成立不等式则其整体截断误差 y(xi) yi=O(hp) 第7页/共22页第七页，共23页。截断误差的估计(基本(jbn)假设： yi = y( xi ) )设 y(x)C 3 x0 , b , 则 （1）对欧拉公式，有因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)（2）对后退欧拉公式，有因此，后退欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)第8页/共22页第八页，共23页。（3）对梯形(txng)公式，注意到其公式可
4、改写为故由式（6-9）和（6-9）得因此(ync)，梯形公式的局部截断误差为 O ( h3 )第9页/共22页第九页，共23页。（4）对改进(gijn)欧拉公式，有而由 ，故有与式（6-7）比较得 y(xi+1) yi+1 = O ( h3 ) 因此，改进欧拉公式(gngsh)的局部截断误差为 O ( h3 ) 第10页/共22页第十页，共23页。 定义6.2 若一种求解(qi ji)常微分方程初值问题的数值计算方法的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或称该方法为 p阶方法。 由此定义(dngy)知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯形法与改进欧拉方法为二阶精度
5、。第11页/共22页第十一页，共23页。6.3 龙格-库塔方法(fngf)由中值(zhn zh)定理，有 因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜率 f( , y( ) 进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其基本思想(sxing)是基于泰勒展式的待定系数法。第12页/共22页第十二页，共23页。6.3.1 二阶二阶R-K公式公式(gngsh)问题：建立(jinl)二阶精度的计算格式形为在 y(xi) = yi 的假设(jish)下，有故解解第13页/共22页第十三页，共23页。而根据格式为二阶精度，即 y(xi+1) yi+1 = O(h
6、3) 比较两式系数得 系数满足(6-13)的形为(6-12)计算格式统称为二阶R-K公式。当令1=1/2时，解得 2=1/2 ，a=b=1，即为改进欧拉公式。若令 1=0，解得 2=1，a=b=1/2，则得另一计算公式变形欧拉公式变形欧拉公式第14页/共22页第十四页，共23页。6.3.2 四阶四阶 R-K 公式公式(gngsh)每一步需计算的 f 值的个数1234567n8精度阶1234456n-2 1965年，Butcher研究发现显式R-K公式的精度与需要组合的斜率(xil)值的个数具有如下关系 可见，超过四阶精度的R-K公式效率并不高，实际计算通常选用如下四阶格式经典经典R-KR-K公
7、式公式第15页/共22页第十五页，共23页。这时经典(jngdin)R-K公式为 例6.3 取步长h = 0.2，采用经典(jngdin)R-K法计算例 6.1 的常微分方程初值问题。 取 h=0.2 计算得到表6-4(书133页）。 与例6.1和例6.2比较(bjio)可见，用经典R-K法计算得到的解比用欧拉法和改进欧拉法所得到的解精确得多。解解第16页/共22页第十六页，共23页。6.3.3 步长的自动步长的自动(zdng)选择选择 对于(duy) p 阶精度的计算格式，当取步长为 h 时，记 为从 y(xi) 计算得到的 y (xi+1) (xi+1= xi+h) 的近似解，则有 为便于
8、进行事后误差估计，实际计算(j sun)时通常采用步长减半算法。第17页/共22页第十七页，共23页。 记 ，则对给定的精度要求 ，可根据 按如下(rxi)方式调整步长： （1）若 ，则把步长逐次减半计算，直至 为止(wizh)，这时最终得到的解即为满足精度要求的近似解。 （2）若 ，则把步长逐次加倍计算，直至 为止，这时取前一次步长计算所得到(d do)的解作为满足精度要求的近似解。第18页/共22页第十八页，共23页。第19页/共22页第十九页，共23页。第20页/共22页第二十页，共23页。第21页/共22页第二十一页，共23页。感谢您的欣赏(xnshng)！第22页/共22页第二十二页，共23页。内容(nirng)总结6.1.1 欧拉公式与改进欧拉公式。后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。梯形公式也是隐式单步法公式。因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)。因此，后退欧拉公式的局部截断误差为 O (h2)。（3）对梯形公式，注意到其公式可改写为。1965年，Butcher研究发现显式R-K公式的精度与需要组合(zh)的斜率值的个数具有如下关系。可见，超过四阶精度的R-K公式效率并不高，实际计算通常选用如下四阶格式第二十三页，共23页。
