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1、若在管道两截面之间无流体漏损，根据质量守恒定律，从截面1-1进入的流体质量流量G1应等于从截面2-2流出的流体质量流量G2。,设流体在如图所示的管道中: 作连续稳定流动; 从截面1-1流入，从截面2-2流出,1.3.1 质量守恒,若流体不可压缩，常数，则上式可简化为 Au常数 (1-17),上式称为连续性方程式。,由此可知：在连续稳定的不可压缩流体的流动中，流体流速与管道的截面积成反比。截面积愈大之处流速愈小，反之亦然。,式中d1及d2分别为管道上截面1和截面2处的管内径。上式说明：不可压缩流体在管道中的流速与管道内径的平方成反比。,或,对于圆形管道，有,（1-23）,柏努利方程式是管内流体流
2、动机械能衡算式。,（一）柏努利方程式的推导,1.3.2 、柏努利方程式 (Bernoullisequation),对不可压缩流体，为常数：,(1-19),上式称为柏努利方程式，它适用于不可压缩非粘性的流体。通常把非粘性的流体称为理想流体，故又称上式为理想流体柏努利方程式。,gz为单位质量流体所具有的位能；,由此知，式(1-19)中的每一项都是单位质量流体的能量。位能、静压能及动能均属于机械能，三者之和称为总机械能或总能量。,p/为单位质量流体所具有的静压能；,u2/2为单位质量流体所具有的动能(kinetic energy) 。 因质量为m、速度为u的流体所具有的动能为mu2/2 。,（二）柏
3、努利方程式的物理意义,上式表明： 三种形式的能量可以相互转换； 总能量不会有所增减，即三项之和为一常数； 所以上式称为单位质量流体能量守恒方程式。,柏努利方程式的其他形式,若将式(1-28)各项均除以重力加速度g，则得,上式为单位重量流体能量守恒方程式。,实际流体由于有粘性，管截面上流体质点的速度分布是不均匀的，从而引起能量的损失。,简单实验 观察流体在等直径的直管中流动时的能量损失。,五、实际流体机械能衡算式,两截面处的静压头分别为 p1/g与p2/g； z1z2 ； u22/2gu12/2g ； 1截面处的机械能之和大于2截面处的机械能之和。 两者之差，即为实际流体在这段直管中流动时的能量
4、损失。,因此实际流体在机械能衡算时必须加入能量损失项。,由此方程式可知：只有当1-1截面处总能量大于2-2截面处总能量时，流体才能克服阻力流至2-2截面。,式中 Hf 压头损失，m。,流体机械能衡算式在实际生产中的应用,式(1-31)及(1-32)均为实际流体机械能衡算式，习惯上也称它们为柏努利方程式。,分析和解决流体输送有关的问题；,柏努利方程是流体流动的基本方程式，它的应用范围很广。,调节阀流通能力的计算等。,液体流动过程中流量的测定；,六、柏努利方程式的应用,用泵将贮槽(通大气)中的稀碱液送到蒸发器中进行浓缩，如附图 所示。泵的进口管为893.5mm的钢管，碱液在进口管的流速为1.5m/
5、s，泵的出口管为76 2.5mm的钢管。贮槽中碱液的液面距蒸发器入口处的垂直距离为7m，碱液经管路系统的能量损失为40J/kg，蒸发器内碱液蒸发压力保持在 0.2kgf/cm2（表压），碱液的密度为1100kg/m3。试计算所需的外加能量。,基准,式中，z1=0，z2 =7；p1=0(表压)，p2=0.2kgf/cm29.8104=19600Pa，u10, u2=u0(d0/d2)2=1.5( (89-23.5) /(76-22.5)2=2.0m/s,代入上式， 得W=128.41J/kg,(1)选取截面 连续流体，稳定流动； 两截面均应与流动方向相垂直。,用柏努利方程式解题时的注意事项：,(
6、2)确定基准面 基准面是用以衡量位能大小的基准。,强调：只要在连续稳定的范围内，任意两个截面均可选用。不过，为了计算方便，截面常取在输送系统的起点和终点的相应截面，因为起点和终点的已知条件多。,(3)压力 柏努利方程式中的压力p1与p2只能同时使用表压或绝对压力，不能混合使用。,(4)外加能量 外加能量W在上游一侧为正，能量损失在下游一侧为正。 应用式(1-32)计算所求得的外加能量W是对每kg流体而言的。若要计算的轴功率，需将W乘以质量流量，再除以效率。,从高位槽向塔内加料，高位槽和塔内的压力均为大气压。要求料液在管内以0.5m/s的速度流动。设料液在管内压头损失为1.2m（不包括出口压头损
7、失），试求高位槽的液面应该比塔入口处高出多少米？,解 ：选取高位槽的液面作为1-1截面， 选在管出口处内侧为2-2截面，以0-0截面为基准面，在两截面间列柏努利方程，则有,式中 p1=p2=0（表压）,u1=0（高位槽截面与管截面相差很大，故高位槽截面的流速与管内流速相比，其值很小可以忽略不计）,u2=0.5m/s,hf=1.2m,z1-z2=x,x=1.21m,计算结果表明，动能项数值很小，流体位能主要用于克服管路阻力。,柏努利方程的应用 1）确定流体的流量 例：20的空气在直径为800mm的水平管流过，现于管路中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直径为20m
8、m的喉径处接一细管，其下部插入水槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差计读数R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气的流量为多少m3/h? 当地大气压强为101.33103Pa。,分析：,求流量Vh,已知d,求u,直管,任取一截面,柏努利方程,气体,判断能否应用？,解：取测压处及喉颈分别为截面1-1和截面2-2 截面1-1处压强 ：,截面2-2处压强为 ：,流经截面1-1与2-2的压强变化为：,在截面1-1和2-2之间列柏努利方程式。以管道中心线作基准水平面。 由于两截面无外功加入，We=0。 能量损失可忽略不计hf=0。 柏努利方程式可写为：,式中： Z1=Z2=0 P1=
9、3335Pa（表压） ，P2= - 4905Pa（表压 ）,化简得：,由连续性方程有：,联立(a)、(b)两式,2）确定容器间的相对位置 例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81103Pa，进料量为5m3/h，连接 管直径为382.5mm，料液在连接 管内流动时的能量损失为30J/kg(不包 括出口的能量损失)，试求高位槽内 液面应为比塔内的进料口高出多少？,分析：,解： 取高位槽液面为截面1-1，连接管出口内侧为截面2-2, 并以截面2-2的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努利 方程式：,高位槽、管道出口两截面,u、p已
10、知,求Z,柏努利方程,式中： Z2=0 ；Z1=? P1=0(表压) ； P2=9.81103Pa(表压）,由连续性方程,A1A2,We=0 ，,u1u2,可忽略，u10。,将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：,3）确定输送设备的有效功率 例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来后流入下水道，已知管道内径均为0.1m，流量为84.82m3/h，水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至喷头进入管子的阻力忽略不计)为10J/kg，喷头处的压强较塔内压强高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计，泵的效率为65%，求泵所需的功率。,分析：求Ne,Ne=WeWs/,求We,柏努
11、利方程,P2=?,塔内压强,截面的选取？,解：取塔内水面为截面3-3，下水道截面为截面4-4，取 地平面为基准水平面，在3-3和4-4间列柏努利方程：,将已知数据代入柏努利方程式得：,计算塔前管路，取河水表面为1-1截面，喷头内侧为2-2截 面，在1-1和2-2截面间列柏努利方程。,式中 ：,将已知数据代入柏努利方程式,泵的功率：,4) 管道内流体的内压强及压强计的指示 例1：如图，一管路由两部分组成，一部分管内径为 40mm，另一部分管内径为80mm，流体为水。在管路 中的流量为13.57m3/h，两部分管上均有一测压点，测 压管之间连一个倒U型管 压差计，其间充以一定量 的空气。若两测压点
12、所在 截面间的摩擦损失为 260mm水柱。求倒U型管 压差计中水柱的高度R为多少为mm?,分析：,求R,1、2两点间的压强差,柏努利方程式,解：取两测压点处分别为截面1-1和截面2-2，管道中心 线为基准水平面。在截面1-1和截面2-2间列单位重量流 体的柏努利方程。,式中： z1=0， z2=0,u已知,代入柏努利方程式：,因倒U型管中为空气，若不 计空气质量，P3=P4=P,例2：水在本题附图所示的虹 吸管内作定态流动，管路直径没有 变化，水流经管路的能量损失可以 忽略不计，计算管内截面2-2 ,3-3 , 4-4和5-5处的压强，大气压强为 760mmHg，图中所标注的尺寸均以mm计。,
13、分析：,求P,柏努利方程,理想流体,解：在水槽水面11及管出口内侧截面66间列柏努 利方程式，并以66截面为基准水平面,式中：,P1=P6=0（表压） u10 代入柏努利方程式,u6=4.43m/s u2=u3=u6=4.43m/s,取截面2-2基准水平面 , z1=3m ，P1=760mmHg=101330Pa,对于各截面压强的计算，仍以2-2为基准水平面，Z2=0， Z3=3m ，Z4=3.5m，Z5=3m,（1）截面2-2压强,（2）截面3-3压强,（3）截面4-4 压强,（4）截面5-5 压强,从计算结果可见：P2P3P4 ，而P4P5P6，这是由于流 体在管内流动时，位能和静压能相互转换的结果。,
