空间图形基本关系的认识及公理123

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1、4空间图形的基本关系与公理 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(公理1、2、3),1.空间中点、线、面的位置关系 (1)点与直线的位置关系 点A在直线l上：_. 点B不在直线l上：_. (2)点与平面的位置关系 点A在平面内：_. 点B不在平面内：_.,Al,Bl,A,B,2.空间图形的公理 (1)公理1 文字语言： 条件：过_的三点. 结论：_一个平面(即可以确定一个平面). 符号语言：若A，B，C三点不共线，则_一个平面，使A，B，C.,不在一条直线上,有且只有,有且只有,推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图(1). 推论2：经过两条相交直线，有且

2、只有一个平面(图(2). 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面(图(3).,(2)公理2 文字语言： 条件：一条直线上的_在一个平面内. 结论：该直线上_都在这个平面内(即直线_). 符号语言：若Al，Bl，A，B，则_.,两点,所有的点,在平面内,l,(3)公理3 文字语言： 条件：两个不重合的平面_. 结论：两个平面_一条通过该点的公共直线. 符号语言：若A，A，且与不重合，则=l且Al.,有一个公共点,有且只有,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)两两相交的三条直线确定一个平面.( ) (2)经过一条直线和一个点确定一个平面.( ) (3)如果平面与平面相交，那么它们只

3、有有限个公共点.( ),【解析】(1)错误.两两相交的三条直线交于一点，可能确定三个平面，故错误. (2)错误.若点在直线上，则无法确定一个平面. (3)错误.平面与平面相交有无数个公共点. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)点M在直线l上，用符号可表示为_. (2)直线m在平面内，用符号可表示为_. (3)若平面与平面相交且交线为l，用符号可表示为_.,【解析】(1)点M在直线l上，则用符号可表示为Ml. 答案：Ml (2)直线m在平面内，用符号可表示为m . 答案：m (3)平面与平面相交，且交线为l，可记为=l. 答案：=l,【要点探究】 知识点

4、1 空间中点、直线、平面之间的关系 1.相交平面的画法 (1)画两条相交的直线，表示两个平面的平行四边形相交的两条边，如图中的EF，MN. (2)画两个相交平面的交线， 如图中的AB.,(3)通过端点E，F，M，N分别画出与AB平行且相等的线段EC，FD，MP，NQ，连接CD和PQ，可以得到表示平面的平行四边形EFDC和MNQP，如图. (4)把被平面遮住的部分画成虚线(或者不画)，如图.,2.点、直线、平面之间关系的表示 (1)基本原则：通常借助集合中的符号语言来表示.点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于将图形视为点集. (2)表示方法：点与直线之间的关系，点与

5、平面之间的关系用符号，表示，直线与平面之间的关系用 ， 表示.,(3)注意事项：注意个别地方的用法与集合符号略有不同.例如，直线a与平面相交于点A，记作a=A，而不记作a=A.这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合.,【知识拓展】对点、直线、平面位置关系的符号语言的理解与应用 (1)点、直线、平面的表示：一般来说，用大写字母(A，B，C，)表示空间中的点，用小写字母(a，b，c，)表示直线，用希腊字母(，)表示平面.,(2)点、线、面间的关系通常借助集合中的符号语言来表示， 点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符 号规定都是源于将图形视为点集.点与直线之间的关系

6、用符号 ，表示，直线与平面之间的关系用 ， 表示，要注意体 会，并区别记忆.,【微思考】 点P既在直线AB上，又在平面内，则直线AB一定也在平面内吗？ 提示：不一定，若直线AB与平面相交，交点为P点，则直线AB不在平面内.,【即时练】 1.若点M在直线a上，a在平面内，则M，a，间的关系可记为_. 2.根据图中的几何图形填入相应的符号： A_平面ABC，A_平面BCD， BD_平面ABC，平面ABC平面ACD =_.,【解析】1.点M在直线a上可表示为Ma，a在平面内，可表 示为a ， 所以M，a，间的关系可记为Ma . 答案：Ma 2.点A平面ABC，A平面BCD，BD 平面ABC， 平面A

7、BC平面ACD=AC. 答案： AC,知识点2 空间图形的三个公理(公理1，公理2，公理3) 1.三个公理的意义和作用 (1)公理1是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.,(2)公理2说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内的方法，又是检验平面的方法.,(3)公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.可从以下

8、三个方面解释： 如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线； 如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线； 如果两个平面相交，那么两平面的交点必在这两个平面的交线上.,2.对公理1的两点说明 (1)“不在同一条直线上的三点”的含义 经过一点，两点和在同一条直线上的三点可能有无数个平面； 任意给定不在同一条直线上的四个点，不一定有一个平面同时过这四个点. (2)“有且只有一个”的含义 这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，公理1强调的是存在和唯一两个方面.,【微思考】 (1)四边形一定能确定一个平面吗？ 提示：不一定，如空间四边形不能确定平面. (2)两个平面有

9、三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示：不一定，当三点在同一直线上时，不能判定两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面可知两平面重合.,【即时练】 (2014南昌高一检测)下列说法： 空间不同的三点可以确定一个平面； 如果线段AB在平面内，那么直线AB一定在平面内； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 其中错误的说法是_(填序号).,【解析】错误.若三点在同一直线上，则不能确定一个平面. 正确.由公理2可知，若一条直线上的两点在一个平面内，那么该直线上的所有点都在这个平面内，即该直线在此平面内. 空间四边形的两组对边也可相等，故错. 答案：,【题型示范】 类型一

10、点、线共面问题 【典例1】 (1)若A平面，B平面，C直线AB，则( ) A.AB=C B.AB C.C D.C (2)已知如图，直线ab，直线la=A，直线lb=B，求证：直线a，b，l共面.,【解题探究】1.题(1)中A平面，B平面，说明什么 问题？ 2.题(2)中，由ab可得到什么结论？怎样才能说明a，b，l 共面？ 【探究提示】1.A平面，B平面，说明AB 平面. 2.由ab可以确定一个平面，然后说明l也在a，b确定的平 面中.,【自主解答】(1)选C.因为A平面，B平面，所以AB 平面，又C直线AB，所以C. (2)因为ab，由平行线的定义知，a，b共面，设a，b所在的 平面为，因为

11、al=A，所以点A在平面内，即A.同理 可得B.由公理2知AB在平面内，即l在平面内，所以 a，b，l共面.,【延伸探究】若将题(2)改为“若三条直线两两相交且不交于一点，则这三条直线共面”试证明. 【解题指南】利用公理1和2证明.,【解析】已知，如图，设ab=C，bc=B，ac=A，求证： a，b，c共面. 证明：因为三条直线两两相交且不交于一点， 所以A，B，C三点不共线(否则与已知矛盾)， 所以可设A，B，C三点确定一个平面， 因为A，B. 所以AB ，即c 同理b ，c ， 所以a，b，c共面.,【方法技巧】 1.确定平面的方法和意义 (1)确定平面的方法 不共线的三点，可以确定一个平

12、面(即公理1)； 直线和直线外一点，可以确定一个平面； 两条相交直线，可以确定一个平面； 两条平行直线，可以确定一个平面. (2)确定平面的意义 实现空间问题向平面问题的转化.,2.解决点线共面问题的基本方法,【变式训练】空间中，下列说法：圆心和圆上两点可以确定 一个平面；四条平行线不能确定五个平面；不共线的五 点，可以确定五个平面，必有三点共线.不正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选A.若圆上两点为圆直径的两个端点，则圆心和圆 上两点不能确定一个平面，不正确；四条平行线只能确定一 个，四个或六个平面，正确，显然正确，故选A.,【补偿训练】已知a，b，c，d是两两相交

13、且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面.,【证明】(1)无三线共点情况，如图. 设ad=M，bd=N，cd=P，ab=Q， ac=R，bc=S. 因为ad=M，所以a，d可确定一个平面. 因为Nd，Qa，所以N，Q， 所以NQ ，即b . 同理c ，所以a，b，c，d共面.,(2)有三线共点的情况，如图. 设b，c，d三线相交于点K， 与a分别交于N，P，M，且Ka. 因为Ka，所以K和a确定一个平面，设为. 因为Na，a ，所以N，所以NK ，即b . 同理c ，d ，所以a，b，c，d共面. 由(1)(2)知a，b，c，d共面.,类型二 线共点、点共线问题 【典例2】 (1)(201

14、4吉安高一检测)若直线l与平面相交于点O，A， Bl，C，D且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是 _. (2)已知四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分 别是BC，CD上的点，且 求证：直线EG，FH，AC 相交于同一点.,【解题探究】1.题(1)中ACBD的作用是什么？O点是直线l与平面的交点，有何特点？ 2.题(2)中四边形EFHG有何特点？怎样说明EG，FH，AC相交于同一点？ 【探究提示】1.由ACBD可以确定A，B，C，D共面，O为两个平面的交点且在两平面的交线上. 2.四边形EFHG为梯形且EFGH，可先说明EG与FH相交于一点，然后说明AC也经过该点.,【

15、自主解答】(1)由题意得如图， 因为ACBD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面， 则=直线CD， 因为l=O，所以O， 又因为OAB，AB ，所以O. 所以O直线CD，即O，C，D共线. 答案：共线,(2)因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD且EF= BD. 又因为 所以GHBD且GH= BD，所以EFGH且EFGH， 所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交， 设两腰EG，FH的延长线相交于一点P， 因为EG 平面ABC，FH 平面ACD， 所以P平面ABC，P平面ACD， 又因为平面ABC平面ACD=AC，所以PAC， 故直线EG，FH，AC相交于同一点.,【方法技巧】 1.证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面，然后