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1、1,第十六章 非惯性系中的质点动力学,理论力学,2,牛顿第一定律和牛顿第二定律只适用于惯性参考系，对于非惯性参考系是不适用的。本章将建立非惯性系中的质点动力学基本方程及动能定理。但这里的时间、质量及空间尺度的度量都是绝对的，速度也远小于光速，研究对象仍为宏观物体的机械运动，因此仍属于古典力学（或称经典力学）范畴。,3,161 非惯性系中质点动力学的基本方程 162 非惯性系中质点动力学的动能定理,第十六章 非惯性系中的质点动力学,4,在非惯性系中，质点动力的基本方程不同于惯性系,如图,设质点M相对Oxyz运动,选取一惯性参考系Oxyz作为定参考系.则有,16-1 非惯性系中质点动力学的基本方程
2、,5,上式称为非惯性系中的质点动力学基本方程, 或称为质点相对运动动力学基本方程. 其中FIe 称为牵连惯性力,FIC 称为科氏惯性力, 可以理解为非惯性参考系中对于牛顿第二定律的修正项. 它们具有力的量纲, 且与质量有关, 因而称之为惯性力.,在动参考系中,上式可以写成微分方程形式,即,上式称为非惯性系中的质点运动微分方程，或称为质点相对运动微分方程。应用该方程时，一般取适当的投影形式。,6,小盘上胶带的变形分析,7,小盘上胶带的变形分析,8,小盘上胶带的变形分析,9,10,在北半球的南北向河流冲刷河岸分析,11,12,图片,13,14,15,16,17,*几种特殊情况,（1）当动参考系相对
3、定参考系做平动，aC=0,FIC=0,则,（2）当动参考系相对定参考系做匀速直线运动，FIe=FIC=0,则,上式表明，对这样的参考系，牛顿定律也适用。故所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。另外可以看出，参考系作惯性运动时，质点的相对运动不受牵连运动的影响。也即发生在惯性参考系中的任何力学现象，都无助于发觉该参考系本身的运动情况，以上称为相对性原理。,18,（3）当质点相对动参考系静止时，有ar=0,vr=0,又FIC=0,则,（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有ar=0，则,上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的
4、力与质点的牵连惯性力相互平衡。,上式称为质点的相对平衡方程。可见在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不同的。,19,例1,图示一测振仪。仪器的机架内有一质量为m的振子，当机架随着外界运动时，振子相对与机架产生相对运动，振子上的笔将在机架的滚筒上记录下振子的相对运动。令振子上的弹簧刚度为k，粘性阻尼系数为c。,当机架在作简谐振动 时，建立振子的相对运动方程。,20,解,惯性系,非惯性系：机架,C牵连加速度,机架在作简谐振动,C牵连惯性力,O为振子的平衡位置,振子的重力与弹簧力平衡,21,受力分析,重力,弹簧力,粘性阻尼力,质心相对运动定理,振子的重力与弹簧力平衡,质心相
5、对运动方程,单自由度强迫振动方程,22,例2,变摆长的摆套在环上，摆绳原长为l0，以匀速v向下拉，小球视为质点，质量为m。建立此摆的的动力学方程。,解,惯性系,以小球为对象,非惯性系,x 轴与摆绳重合,摆长,23,小球C牵连加速度,方向已知,方向已知,方向已知,方向已知,其中,小球C牵连惯性力,其中,24,小球C科氏加速度,科氏惯性力,方向已知,小球相对非惯性系的运动已知,25,摆的的动力学方程,约束力,26,如图所示单摆，摆长为l，小球质量为m，其悬挂点O以加速度a0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。,例3,27,28,在悬挂点O上固结一平动参考系Oxy，小球相对于此动参考系的运动相当于悬
6、挂固定的单摆振动。,分析小球受力：重力 ，绳子张力F，此外，还应加入牵连惯性力 。因动参考系作平动。所以科氏惯性力 。,解：,建立相对运动动力学基本方程,29,将上式投影到切向轴et上，得,当摆作微振动时 ， 角很小，有 ，且 ，上式成为,30,令： ，则上式可写为自由振动微分方程的标准式,其解的形式为 ，而振动周期为,31,一直杆AO，长l=0.5 m，可绕过端点O的z轴在水平面内作匀速转动，如图所示。其转动角速度=2 rad,在杆AO上有一质量为m=0.1 kg的套筒B。设开始运动时套筒在杆的中心点处于相对静止。忽略摩擦，求套筒运动到端点A所需要的时间及此时对杆的水平压力。,例4,32,3
7、3,研究套筒B相对于杆AO的运动。选取和杆AO一起转动的坐标系Oxyz为动参考系。,根据质点相对运动动力学理论，建立相对运动微分方程,将上式投影到x轴上得,令 ，上式消去m为,解：,34,得,注意 ，上式分离变量并积分，即,或,上式再分离变量并积分，即,35,求得套筒到达端点A的时间t为,将 代入上式，解出,将 式投影到y轴上得,36,当套筒到达A时 ，由式,可得,代入式 ，得,对于惯性参考系，套筒运动的基本方程为,37,设车厢以均加速度a沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶 M0 处自由落下的质点 M 的相对运动。,例4,38,39,解:,取动坐标系 O1x1y1z1 固连车厢。,因为动坐标
8、系作直线平动,有,mar = P + FIe (1),FIe= mae,方向与车厢加速度 a 相反,把式(1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程,即,根据所选坐标系,质点运动的初始条件写成,当 t = 0 时,40,将式(2)积分,并利用初始条件(3)确定积分变量,求得质点的相对运动规律为,消去时间t后,得到相对轨迹方程,这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线 。,41,。,例5质点M可在管子AB内运动，此管于A、B两点铰接在长各为r的曲柄OA和O1B上，OAO1B。已知曲柄以匀角速度w在铅垂平面内转动，质点对管壁的滑动摩擦系数为f，初瞬时质点M位于管的A端且处于相对静止状态，求曲柄转过1/4
9、转时，点M沿管子的位移值s，设 f=0.2， 。,42,FS,FN,ae,P,ar,FIe,x,y,解: 运动分析和受力分析如图所示，由非惯性系中的质点动力学基本方程,即有,43,或,初始条件为,对（a) 式积分两次并考虑上面的初始条件得,讨论：1. 本题如果 f =0 ，s=?,44,16-2 非惯性系中质点的动能定理,与惯性参考系中推导动能定理不同，在非惯性系中，由于质点的运动微分方程中含有惯性力，因此需重新推导该定理,质点的相对运动动力学基本方程为,式中：,为牵连惯性力,为科氏惯性力,45,有,上式称为质点相对运动动能定理的微分形式，即：质点在非惯性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的
10、力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。,46,积分上式 ，有,上式表明：质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。这一规律称为质点相对运动动能定理的积分形式。值得注意的是科氏惯性力始终垂直与相对速度，所以在相对运动中不作功。,47,一平板与水平面成角，板面上有一质量为m的小球，如图所示。若不计摩擦等阻力，问平板以多大加速度向右平动时，小球能保持相对静止？若平板又以两倍这个加速度向右平动时，小球应沿板向上运动。问小球沿板走了l距离后，小球的相对速度是多少？,例6,48,解：1. 在平板上固结一动参考系Oxyz。,从中解出,得,m,ae,O,
11、x,y,小球受的有重力mg，平板的支承力FN。小球的牵连惯性力的大小为FIe= mae，方向与平板向右作平动的加速度ae相反，如图所示。,因动系作平动，所以没有科氏惯性力，小球相对静止方程为,49,解得,整理后得,2. 当加速度 时，牵连惯性力 ，应用相对运动动能定理，有,50,半径为R 的环形管，绕铅垂轴z以匀角速度w 转动，如图所示。管内有一质量为m的小球，原在最低处平衡。小球受微小扰动时可能会沿圆管上升。忽略管壁摩擦，求小球能达到的最大偏角j max。,例7,51,52,以环形管为动参考系，小球在任一角度j 时，其牵连惯性力大小为 ，方向如图。,小球在最低处和最高处的相对速度都等于零。列
12、出此二位置间的相对运动的动能定理，得,经过微小角度d j 时，此惯性力作功为,解：,53,由积分可得,或,解出,因 上式变为,54,其中一解为对应于小球在最低处的情况，即,另一解为,得,可以看出，上述结果只在2R g 时才有意义，此时有cos j max 1；而当 2R g 时，小球不会沿圆管上升，而在最低点处才是稳定的。,55,例8 如图所示一细长管子AB在水平面内绕铅垂轴O作匀速转动，角速度为w ,q =30, AB = l。管子中一质量为m 的小球M在初始时相对管子静止且位于管端A，如果不考虑摩擦，求小球M到达管端B时相对管子的速度。,解： 以管子AB为动参考系，如图所示，小球在任一角度j 时，牵连惯性力的大小为,方向如图,牵连惯性力的元功为,A,B,q,q,O,w,M,j,FIe,O,x,ae,56,小球从A运动到B，牵连惯性力在相对路径上所做的功为,由非惯性力系中的质点动能定理,又vAr= 0 ，解得,57,第十六章结束,
