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1、第六章 伯努利方程及其应用,在第五章，我们建立了流体力学微分形式的基本方程组，并通过引入了无粘流假设，完全气体假设，建立了理想流体（或理想气体）的动力学基本方程组，这一方程组虽解决了封闭性问题，并使未知数数量及方程的复杂程度得到了很大简化，但由于方程组仍是非线性的，以至于还是无法得到一般形式的解，或精确积分求解的一般方法。 在第四章，我们通过对一段流管的能量方程进行分析，在引入五项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上，通过对上一章中的欧拉方程进行积分，同样可以得到著名的伯努利方程，不过在积分过程中同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的发展产生了重要的影响，使得这一方程在以
2、后的一百多年里，直到今天，都是流体力学中应用最广（不论在计算还是在理论分析上）的方程，本章将对其理论和应用进行介绍。,第一节 伯努利定理,在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。,一、压力函数分析,在流体静力学中，对于密度仅是压力的函数的正压流体，引入了压力函数：,我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：,联立以上两式
3、消去l，即可将表示为p的函数，注意，此时并不要求流场是正压流场。,代入压力函数定义式：,可知L在曲线上，压力函数沿l的变化率为：,一般情况下，曲线L上的函数关系 是未知的，但是当流场是正压流场时，这时仅是p的函数（根据定义），与所取曲线就无关了。所以只要已知 ，压力函数就可以积分。,常见的正压场有： 1、不可压缩流场： 2、完全气体等温流场： 3、完全气体的绝热等熵流场 ：,在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到，也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又可以视为绝热流场。,二、沿流线和涡线成立
4、的伯努利积分,由兰姆方程(引入理想流体假设1)：,假设流动为定常(2) ，质量力有势(3) ，兰姆方程为：,左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方,向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线(切线)上投影，有：,注意压力函数的微分关系 ，代入上式有：,这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线上任意点的切线方向与向量 垂直，因而有： （沿流线或涡线假设4）,于是：,积分：,这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分，他表明：,在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流
5、体的动能、压力能和势能之和是一个常数。,注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同的流线或涡线会有不同的值，C(L)会构成等值面。这个等值面是由相交的流线或涡线决定的。 如果流场是正压流场，则压力函数与所取的曲线无关，上式为：,三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分,1、当质量力为重力时，质量力势为： 2、当流体不可压时，压力函数为： 3、代入伯努利积分，有： 或者：,这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。,四、伯努利积分与所取曲线无关的情况,在正压流场中，如果恒有 。则以上伯努利积分与所取曲线无关。
6、或者说在全流场中的积分为同一常数C，等式两边的1点和2点可以不必在同一流线或涡线上。,的情况有三种： 1、 流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。 2、 流动无旋。 3、 通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。,由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就是说，此时我们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流线或涡线上。面对流场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。,五、总结,1、伯努利方程的形式,I、 物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势
7、能。,II、 物理意义：单位质量流体的能量守恒。（焓表示）,III、 物理意义：总水头高度的守恒。（水头表示） 其中第I、II式多用于气体流动，III式多用于液体流动分析。,2、应用条件,理想流体，定常流动，不可压缩流体（正压流体），质量力为重力（质量力有势），沿流线或涡线成立。如为无旋流动，则全场成立。,3、应用拓展,柏努利方程由理想流体流动分析得出，说明流动过程中的机械能守恒。如果流体不是理想流体，则流动必有旋（粘性产生旋涡），这时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应，旋涡流动将把一部分机械能耗散为热能（不可逆），这时沿流线的能量守恒应该是机械能+耗散能的守恒。,机械能的损失不会体
8、现在动能上，因为速度的关系还要服从连续方程的规定；一般也不会体现在势能上，因为势能的关系由位置确定。所以更多的是体现在压力（静压头）上。,其中， 、 、 ，分别代表流体从点流到点时，损失的总压力、总焓和总水头。 很显然，上面三个方程不是独立的。,4、关于不可压缩流体的判断 液体肯定是不可压缩的，气体从物性上来讲是可压缩的，但是，如果在流动过程中，忽略位置水头的变化（一般所占比重小），并将过程看作是等温的， ，密度的变化量取决于压力的变化量，考虑一个绕流问题，流场中速度变化量最大的两点：滞止点和远前方，有,设：,此时压力的相对变化量： ，故密度的相对变化量：,我们知道音速：,因而：,说明当 0.
9、3 时，流速的变化导至密度的变化量小于5%，流体可看作不可压缩的流体。有的定为M0.25，M0.2，要求更严。而在地面工程中，绝大多数情况M都小于0.3，喷管流例外，当M大于0.2或0.3以后，我们就不能直接应用以上方程计算气体流动了。,第二节 伯努利方程的应用,在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即公式中的的、位置，选取的一般原则：、包含未知数的截面；、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联立，以求解两个未知数。,一、容器小孔出流问题,密闭容器，Dd，即小孔足够小，设流体为理想流体，求小孔的出流速
10、度。有流线如图，知柏努利方程沿流线总焓不变，而每一根流线的起始点机械能相等，即可得结论，柏努利方程积分全场为同一个常数，亦可得出流动是无旋的，为此，设液面为1，出口为2，写出方程：,又：如容器不密封而与大气相通，有p0=pa 上式,（托里拆利公式 ）,如容器内为气体，则2gh为一般是小量，可忽略：,注意此时计算结果中V最大不能超过100m/s，否则压缩性不能忽略。,如图，求点的压力，由连续方程：,即P低于Pa，当Z=0时 P=Pa,上式也说明，B点的高度不能无限制的升高。如果B点的高度过高导致 时，在B点就会出现负的绝对压力，对于流体这是不可能的。实际上，当B点压力小于该点流体在该温度下的饱和
11、压力时，流体就会在该点发生汽化(亦称空化)。,理想流体柏努利方程的几何意义 柏努利方程第三式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图： ：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头。 ：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的液柱高度，称压强水头。 ：称测压管水头。 ：表示研究点处速度大小的高度， 称速度水头。 ：称总水头。 那么，例题中所示情况怎样标出他的各 种水头呢？,例题中所示情况的各种水头大小的变化如图所示：,二、溢水道问题,今有理想不可压重力流体流过一垂直墙，墙顶水层的厚度较水库水深为无穷小量，试确定流体自由表面处的速度。,假定水库的容积足够大，故可以认为远离溢水
12、口处的水面高度是不变的，并且流动是定常的。流体自由表面上的压力等于大气压力pa，溢口处水层厚度较水库深度为小量，故远离溢口处的流速近似为V=0，自由表面是流线。可写出沿流线的伯努利方程:,可得自由表面上z处的流速关系:,上式在形式上与小孔出流公式一样。由上式可见，随着z的减小或落差h的增大，速度V增大，由连续方程知其流管宽度应减小。同时，由于在溢口B处流速VB已不能忽略，故此时的液面已低于远处的z1，也就是说，水库水面的高度在靠近溢口处时就已开始降低了。,三、汽油机化油器的流动,1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设B截面的速度分布均匀，空气密度为air，并已知通风流量Q
13、，求B点的压力pB。 设A点远离进口，则VA=0，pA=pa B点的流速为： 写出A、B两点间的柏努力方程：,所以：,2、化油器的流动。化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空气流量。设空气与汽油的密度分别为：,欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有一定的真空度，其最小真空度所对应的油柱高度应为h。即：,截面C处的真空度又与流过该截面的空气流量有关。写出B与C截面的伯努利方程：,连续方程：,(a),(b),(c),由 (a)：,由 (b)：,另外，由,(d),(e),令(d)式与(e)式相等，可得：,最终得：,同样的问题，可用
14、于喷雾器流量的计算。,四、皮托管,柏努利定理告诉我们，沿流线流体的机械能是守恒的，动能、势能和压力能可以相互转换。考虑在流场中，放置一如图,的圆柱体，其头部为光滑过渡面，如半球面，放置方向与来流一致，则可得如图的流场。前面讲过，迎风的前缘上是一滞止点，该点的流速为零。到管壁侧面，离头部足够远，流速又恢复到了接近远前方的流速(因为柱体足够小)，即V2=V。写出 、2两点的伯努利方程：,再写出1、2两点的伯努利方程，设g(z2-z1)很小，并有V1=0：,滞止点与滞止参数：根据柏努利方程，如果忽略位置高度的影响，当流体质点沿着流线运动时，随着速度的降低其压力会增高，而当 V=0 时，其压力会达到可
15、能的最大值。我们将此时流体质点所处的状态叫,做滞止状态，对应的空间点叫做滞止点。如图由点到1点的这条流线，写出该两点的柏努力方程，并假设z =z1，有：,也就是说，在1点全部动能都转换成了压力能。我们将此压力称为滞止压力，或者总压，记为p0或者p*。其实，滞止压力沿流线是不变的。,定义 为总压，有,利用这一原理，可以做出最常用的测速仪表皮托管，皮托管的结构如上图。其总静压差可以用U型管测量：,当g(z2-z1)很小时：,五、文丘利管,文丘利管由一渐缩+喉道+渐扩的管道组成，也叫文氏管。一般用来进行流量测量，其结构如图，测量原理同样是柏努利定理。在1、2截面写出柏努利方程，忽略高度变化，有：,由
16、连续方程：,代入柏努力方程：,由此可以求得喉部平均速度：,由此可以求得喉部平均速度：,流量：,用文丘利管也能测量管内液体的流量。如图所示，特别是当文氏管非水平放置时，测得直管段与喉部的测压管水头，就能求得流量。有关公式请自己推导。,六、无旋自由涡的自由表面,水流入一泄水孔，当流体为理想流体时，会形成一无旋自由涡。已知在距旋转轴线R2=1.6m处的切向速度V2=1m/s。求: (a) 在距转轴R1=0.8m处的水面比R2处低多少？(b) 自由水面的一般表达式。,(a) 对于自由涡有：V1R1=V2R2=C,因为是自由表面，有p1=p2=pa，有：,说明1点比2点低0.153m,(b) 取R处自由面高度z0=0，V0=0。Z坐标方向向下，则在自由面上任一点写出柏努力方程：,代入有：,令 ：,第三节 完全气体作可逆绝热流动时 的柏努利积分,本节的内容实际上是“一维气体动力学基础
