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1、第六章 伯努利方程及其应用,在第五章,我们建立了流体力学微分形式的基本方程组,并通过引入了无粘流假设,完全气体假设,建立了理想流体(或理想气体)的动力学基本方程组,这一方程组虽解决了封闭性问题,并使未知数数量及方程的复杂程度得到了很大简化,但由于方程组仍是非线性的,以至于还是无法得到一般形式的解,或精确积分求解的一般方法。 在第四章,我们通过对一段流管的能量方程进行分析,在引入五项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上,通过对上一章中的欧拉方程进行积分,同样可以得到著名的伯努利方程,不过在积分过程中同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的发展产生了重要的影响,使得这一方程在以
2、后的一百多年里,直到今天,都是流体力学中应用最广(不论在计算还是在理论分析上)的方程,本章将对其理论和应用进行介绍。,第一节 伯努利定理,在流体静力学中,我们曾引入过压力函数的概念,现在在推导伯努利方程之前,我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。,一、压力函数分析,在流体静力学中,对于密度仅是压力的函数的正压流体,引入了压力函数:,我们考察流场中的任意一条曲线L,规定线上的某点o为原点,因此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微元长度。显然,在曲线L上,密度和压力是弧长 l 的函数,并且在不同的曲线L上,其函数也是不同的,这样速度和压力就可表示为:,联立以上两式
3、消去l,即可将表示为p的函数,注意,此时并不要求流场是正压流场。,代入压力函数定义式:,可知L在曲线上,压力函数沿l的变化率为:,一般情况下,曲线L上的函数关系 是未知的,但是当流场是正压流场时,这时仅是p的函数(根据定义),与所取曲线就无关了。所以只要已知 ,压力函数就可以积分。,常见的正压场有: 1、不可压缩流场: 2、完全气体等温流场: 3、完全气体的绝热等熵流场 :,在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体,一般就可以视为不可压缩流场。对于气体,当流速较低时,今后会讨论到,也可以视为不可压缩流场;而当流速较高时,由于其导热系数小,又可以视为绝热流场。,二、沿流线和涡线成立
4、的伯努利积分,由兰姆方程(引入理想流体假设1):,假设流动为定常(2) ,质量力有势(3) ,兰姆方程为:,左边是标量场的梯度,标量梯度在某一方向的投影,等于标量在该方向的方向导数。等式反映了四个向量的平衡关系,他们投影到某一方,向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L,将上式在曲线的微元弧线(切线)上投影,有:,注意压力函数的微分关系 ,代入上式有:,这里曲线函数尚是任意取的,如果将该曲线取为流线或涡线,则曲线上任意点的切线方向与向量 垂直,因而有: (沿流线或涡线假设4),于是:,积分:,这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分,他表明:,在理想流体、质量力有势,流动定常的条件下,沿流线或涡线流
5、体的动能、压力能和势能之和是一个常数。,注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同的流线或涡线会有不同的值,C(L)会构成等值面。这个等值面是由相交的流线或涡线决定的。 如果流场是正压流场,则压力函数与所取的曲线无关,上式为:,三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分,1、当质量力为重力时,质量力势为: 2、当流体不可压时,压力函数为: 3、代入伯努利积分,有: 或者:,这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件:不可压缩的理想流体,定常流动,质量力仅为重力,沿流线或涡线成立。,四、伯努利积分与所取曲线无关的情况,在正压流场中,如果恒有 。则以上伯努利积分与所取曲线无关。
6、或者说在全流场中的积分为同一常数C,等式两边的1点和2点可以不必在同一流线或涡线上。,的情况有三种: 1、 流体静止,其结果为静力学基本方程,对动力学无意义。 2、 流动无旋。 3、 通常不可能,只有在一些理想的特殊流动中存在。,由此我们知道,无旋流动的伯努利积分,其常数全场相等,也就是说,此时我们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流线或涡线上。面对流场是否无旋的判断,上一章我们在讲到弗里德曼方程时有结论:理想流体,在质量力有势,流场正压时,流场如一开始无旋,则永远无旋,这有助于我们做出判断。,五、总结,1、伯努利方程的形式,I、 物理意义:单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势
7、能。,II、 物理意义:单位质量流体的能量守恒。(焓表示),III、 物理意义:总水头高度的守恒。(水头表示) 其中第I、II式多用于气体流动,III式多用于液体流动分析。,2、应用条件,理想流体,定常流动,不可压缩流体(正压流体),质量力为重力(质量力有势),沿流线或涡线成立。如为无旋流动,则全场成立。,3、应用拓展,柏努利方程由理想流体流动分析得出,说明流动过程中的机械能守恒。如果流体不是理想流体,则流动必有旋(粘性产生旋涡),这时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应,旋涡流动将把一部分机械能耗散为热能(不可逆),这时沿流线的能量守恒应该是机械能+耗散能的守恒。,机械能的损失不会体
8、现在动能上,因为速度的关系还要服从连续方程的规定;一般也不会体现在势能上,因为势能的关系由位置确定。所以更多的是体现在压力(静压头)上。,其中, 、 、 ,分别代表流体从点流到点时,损失的总压力、总焓和总水头。 很显然,上面三个方程不是独立的。,4、关于不可压缩流体的判断 液体肯定是不可压缩的,气体从物性上来讲是可压缩的,但是,如果在流动过程中,忽略位置水头的变化(一般所占比重小),并将过程看作是等温的, ,密度的变化量取决于压力的变化量,考虑一个绕流问题,流场中速度变化量最大的两点:滞止点和远前方,有,设:,此时压力的相对变化量: ,故密度的相对变化量:,我们知道音速:,因而:,说明当 0.
9、3 时,流速的变化导至密度的变化量小于5%,流体可看作不可压缩的流体。有的定为M0.25,M0.2,要求更严。而在地面工程中,绝大多数情况M都小于0.3,喷管流例外,当M大于0.2或0.3以后,我们就不能直接应用以上方程计算气体流动了。,第二节 伯努利方程的应用,在应用伯努利方程时,要注意它的应用条件,在确认求解问题符合方程的应用条件后,关键就是要正确的选取计算点或计算截面,即公式中的的、位置,选取的一般原则:、包含未知数的截面;、包含已知数最多的截面。必要时,伯努利方程可以与连续方程联立,以求解两个未知数。,一、容器小孔出流问题,密闭容器,Dd,即小孔足够小,设流体为理想流体,求小孔的出流速
10、度。有流线如图,知柏努利方程沿流线总焓不变,而每一根流线的起始点机械能相等,即可得结论,柏努利方程积分全场为同一个常数,亦可得出流动是无旋的,为此,设液面为1,出口为2,写出方程:,又:如容器不密封而与大气相通,有p0=pa 上式,(托里拆利公式 ),如容器内为气体,则2gh为一般是小量,可忽略:,注意此时计算结果中V最大不能超过100m/s,否则压缩性不能忽略。,如图,求点的压力,由连续方程:,即P低于Pa,当Z=0时 P=Pa,上式也说明,B点的高度不能无限制的升高。如果B点的高度过高导致 时,在B点就会出现负的绝对压力,对于流体这是不可能的。实际上,当B点压力小于该点流体在该温度下的饱和
11、压力时,流体就会在该点发生汽化(亦称空化)。,理想流体柏努利方程的几何意义 柏努利方程第三式每一项的量纲与长度相同,都表示某一高度。如图: :表示研究点相对某一基准面的几何高度,称位置水头。 :表示研究点处压强大小的高度,表示与该点相对压强相当的液柱高度,称压强水头。 :称测压管水头。 :表示研究点处速度大小的高度, 称速度水头。 :称总水头。 那么,例题中所示情况怎样标出他的各 种水头呢?,例题中所示情况的各种水头大小的变化如图所示:,二、溢水道问题,今有理想不可压重力流体流过一垂直墙,墙顶水层的厚度较水库水深为无穷小量,试确定流体自由表面处的速度。,假定水库的容积足够大,故可以认为远离溢水
12、口处的水面高度是不变的,并且流动是定常的。流体自由表面上的压力等于大气压力pa,溢口处水层厚度较水库深度为小量,故远离溢口处的流速近似为V=0,自由表面是流线。可写出沿流线的伯努利方程:,可得自由表面上z处的流速关系:,上式在形式上与小孔出流公式一样。由上式可见,随着z的减小或落差h的增大,速度V增大,由连续方程知其流管宽度应减小。同时,由于在溢口B处流速VB已不能忽略,故此时的液面已低于远处的z1,也就是说,水库水面的高度在靠近溢口处时就已开始降低了。,三、汽油机化油器的流动,1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管,假设B截面的速度分布均匀,空气密度为air,并已知通风流量Q
13、,求B点的压力pB。 设A点远离进口,则VA=0,pA=pa B点的流速为: 写出A、B两点间的柏努力方程:,所以:,2、化油器的流动。化油器结构如图,已知D、d、pB,以及油箱油面到汽化器轴线的垂直高度h,油面压力为pa,求将汽油吸入汽化器的空气流量。设空气与汽油的密度分别为:,欲使汽油被吸入汽化器,C截面必须要有一定的真空度,其最小真空度所对应的油柱高度应为h。即:,截面C处的真空度又与流过该截面的空气流量有关。写出B与C截面的伯努利方程:,连续方程:,(a),(b),(c),由 (a):,由 (b):,另外,由,(d),(e),令(d)式与(e)式相等,可得:,最终得:,同样的问题,可用
14、于喷雾器流量的计算。,四、皮托管,柏努利定理告诉我们,沿流线流体的机械能是守恒的,动能、势能和压力能可以相互转换。考虑在流场中,放置一如图,的圆柱体,其头部为光滑过渡面,如半球面,放置方向与来流一致,则可得如图的流场。前面讲过,迎风的前缘上是一滞止点,该点的流速为零。到管壁侧面,离头部足够远,流速又恢复到了接近远前方的流速(因为柱体足够小),即V2=V。写出 、2两点的伯努利方程:,再写出1、2两点的伯努利方程,设g(z2-z1)很小,并有V1=0:,滞止点与滞止参数:根据柏努利方程,如果忽略位置高度的影响,当流体质点沿着流线运动时,随着速度的降低其压力会增高,而当 V=0 时,其压力会达到可
15、能的最大值。我们将此时流体质点所处的状态叫,做滞止状态,对应的空间点叫做滞止点。如图由点到1点的这条流线,写出该两点的柏努力方程,并假设z =z1,有:,也就是说,在1点全部动能都转换成了压力能。我们将此压力称为滞止压力,或者总压,记为p0或者p*。其实,滞止压力沿流线是不变的。,定义 为总压,有,利用这一原理,可以做出最常用的测速仪表皮托管,皮托管的结构如上图。其总静压差可以用U型管测量:,当g(z2-z1)很小时:,五、文丘利管,文丘利管由一渐缩+喉道+渐扩的管道组成,也叫文氏管。一般用来进行流量测量,其结构如图,测量原理同样是柏努利定理。在1、2截面写出柏努利方程,忽略高度变化,有:,由
16、连续方程:,代入柏努力方程:,由此可以求得喉部平均速度:,由此可以求得喉部平均速度:,流量:,用文丘利管也能测量管内液体的流量。如图所示,特别是当文氏管非水平放置时,测得直管段与喉部的测压管水头,就能求得流量。有关公式请自己推导。,六、无旋自由涡的自由表面,水流入一泄水孔,当流体为理想流体时,会形成一无旋自由涡。已知在距旋转轴线R2=1.6m处的切向速度V2=1m/s。求: (a) 在距转轴R1=0.8m处的水面比R2处低多少?(b) 自由水面的一般表达式。,(a) 对于自由涡有:V1R1=V2R2=C,因为是自由表面,有p1=p2=pa,有:,说明1点比2点低0.153m,(b) 取R处自由面高度z0=0,V0=0。Z坐标方向向下,则在自由面上任一点写出柏努力方程:,代入有:,令 :,第三节 完全气体作可逆绝热流动时 的柏努利积分,本节的内容实际上是“一维气体动力学基础