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1、第二节 采样控制系统的数学基础,一、Z 变换的定义,二、求Z 变换的方法,三、Z 变换的基本定理,四、Z 反变换,五、差分方程极其求解,第六章 采样控制系统分析,第二节 采样控制系统的数学基础,连续函数f(t)的拉氏变换为,离散函数：,一、Z变换的定义,对离散函数求拉氏变换,引入新变量,则,F(z)为f*(t)的Z变换，记作,F (z) = Z f *(t) ,第二节 采样控制系统的数学基础,二、求Z变换的方法,1级数求和法,根据定义式展开,= f (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + ,利用级数求和法可求得常用函数的z变换.,第二节 采样控制系
2、统的数学基础,(1) 单位阶跃函数,f (t) = 1(t) f (kT) = 1(kT) =1,| z | 1,第二节 采样控制系统的数学基础,= 1+ eaT z-1 + e2aT z-2 + e3aTz-3 + ,| ze at | 1,（2）指数函数,f (t) = e at,（3）单位脉冲函数,f (t)=(t ),f (kT)=(kT ),f (kT)= e akT,（4）单位斜坡函数,第二节 采样控制系统的数学基础,f (t) = t f (kT) = kT,= Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 + ,| z | 1,（5）正弦函数,第二节 采样控制系统的数学基础,f (
3、t)=cost,同理：,2部分分式展开法,pi 极点,第二节 采样控制系统的数学基础,如果已知连续函数f(t)的拉氏变换为F(s) ，则可将F(s)展开成部分分式之和的形式，然后求F(z)。,设,nm,Ai 待定系数,基于,得,例 求F(s)的z变换F(z)。,解：,第二节 采样控制系统的数学基础,解：,例 求F(s)的z变换F(z)。,第二节 采样控制系统的数学基础,三、Z变换的基本定理,1. 线性定理,a1和a2为常数,2滞后定理,第二节 采样控制系统的数学基础,z变换的基本定理为z变换的运算提供了方便。,Za1 f1(t) a2 f2(t) = a1 F1(z) a2 F2(z),Z f
4、 (t k1T ) = Z k1F(z),求Z t T ,Z t T = Z t z -1,例,解 ：,3超前定理,第二节 采样控制系统的数学基础,例 求1(t-2T)的Z变换,解：,4位移定理,例 求te-at 的Z 变换。,解：,5初值定理,6终值定理,四、Z 反变换,Z 反变换：,记作,第二节 采样控制系统的数学基础,从函数F(z)求出原函数f*(t)的过程,Z -1 F (z) = f * (t),由于F(z)只含有连续函数f(t)在采样时刻的信息，因而通过z反变换只能求得连续函数在采样时刻的数值。求反变换一般有两种方法。,可知：,得：,按Z-1的升幂级数展开，即,第二节 采样控制系统
5、的数学基础,1长除法,(m n),设,F (z)=c0+c1z1+c2z 2+ ,f (0) = c0 , f (T ) = c1 , f (2T ) = c2 , ,f * (t)=c0(t)+c1(t T)+c2(t2T)+ ,例 求F(z)反变换f*(t) 。,解：,第二节 采样控制系统的数学基础,用F(z)的分子除以分母，得,f *(t)=(t)+(t T)+(t 2T)+ ,例 求F(z)反变换f*(t) 。,解：,第二节 采样控制系统的数学基础,ZF (s)=(t-T)-3(t-2T),+7(t-3T)-15(t-4T)+ ,2部分分式法,先将F(z)/z展开为部分分式，再把展开式
6、的每一项都乘上Z后，分别求Z反变换并求和。,例 求F(z)反变换f*(t) 。,第二节 采样控制系统的数学基础,解：,即,f (kT)=1 0.5k,k = 0,1,2 ,f * (t) = f (0)(t)+ f (T)(t T ),+f(2T)(t 2T)+ ,则,例 求F(z)反变换f*(t) 。,解:,第二节 采样控制系统的数学基础,f (kT)=1e-akT,k = 0,1,2 ,五、差分方程及其求解,差分又分为前向差分和后向差分，这里只介绍后向差分。,1.差分的定义,差分：,f(k),t,k+1,k-1,k,f(k),0,第二节 采样控制系统的数学基础,离散函数两数之差,f(k+1
7、),令：T = 1 s,一阶后向差分定义为：,二阶后向差分定义为：,=f (k)-f(k-1)-f(k-1)-f(k-2),=f(k)-2f(k-1)-f(k-2),n阶后向差分定义为：,2差分方程,如果方程中除了含有f(k)以外，还有f(k)的差分,则此方程称为差 分方程。,差分方程的一般表达式为：,第二节 采样控制系统的数学基础,c(k+n)+a1c(k+n1)+an1c(k+1)+anc(k),= b0r(k+m)+b1r(k+m1)+bm1r(k+1)+bm r(k),描述线性连续系统的数学模型是微分方程，而描述线性离散系统的 数学模型是差分方程。用差分方程来近似表示微分方程，称为离散
8、化。,例 如图所示为一阶系统，一阶微 分方程为：,试将系统的微分方 程离散化。,第二节 采样控制系统的数学基础,解：,t = kT,(k= 0,1,2),得,c(k+1)T+(kT1 )c(kT) = KTr(kT ),例 将PID控制器的微分方程离散化， 使之转变成差分方程。,解:,Kp 比例系数,TI 积分时间常数,第二节 采样控制系统的数学基础,PID控制器的微分方程为,TD 微分时间常数,用差分方程近似代替微分方程：,(k = t / T ),代入,增量式PID控制算法有：,u(k)=u(k)-u(k1)=Kpe(k)-e(k-1),=Kpe(k)-e(k-1),+KIe(k)+KDe
9、(k)-2e(k-1)+e(k-2),其中：,常用的位置式PID控制的递推算法：,u(k)=u(k-1)+u(k),= u(k-1)+Kpe(k)-e(k-1),+ KIe(k)+KDe(k)-2e(k-1)+e(k-2),3用Z变换解差分方程,用变换法求解差分方程与利用拉氏变换求解微分方程类似，即将时域内的差分方程转换为Z 域内的代数方程，求解后再进行Z 反变换，求出系统在各采样时刻的输出响应。,第二节 采样控制系统的数学基础,例 已知差分方程,式中r(k)=1(k),试求c(k),对差分方程求Z变换，得,第二节 采样控制系统的数学基础,c(k-2)-5c(k-1)+6c(k) = r(k),解：,求z反变换得：,
