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1、单元九 Mathematica软件及其运用 9.1 Mathematica入门入门9.1.1 Mathematica使用中的几使用中的几个问题个问题nMathematica系统是美国Wolfram研究公司开发的一个功能强大的计算机数学系统，它的主要功能是进行符号演算、数值计算和图形绘制。它可以做多项式的四则运算、展开、因式分解等；可以求多项式方程、有理式方程和超越方程的精确解和近似解；也可以求函数的极限、导数、积分等；还可以作函数的图形及数据的拟合、 程序设计。软件的安装软件的运行使用入门9.1.2 数的表示和计算数的表示和计算1、数学常数： Pi 圆周率 E 自然对数的底e I 虚数单位i
2、Infinity 表示无穷大的符号2、数学运算符 加、减、乘、除、乘方 +、-、*、/、3、数的运算规则1)算术运算顺序与数学相同，先乘方、再乘除、最后加减，可用小括号改变运算顺序2)同级运算（除乘方外）从左到右进行，乘方运算从右到左进行例：（23）4 表示为（23)4 而234表示4、数的运算结果 (1) 、整数、分数结果为精确数（2）、浮点数（带有小数点的数）结果为 浮点数（3）、含数学常数的式子除数学常数外，按上面规则进行（4）、精确数转换为浮点数 格式1：Na或a/N 求a的近似值，有效位数取6位 格式2：Na，n 求a的近似值，有效位数取n位 5、比较算符及其运算结果 （1）、比较算
3、符(P.11) （2）、运算结果(True或False)6、逻辑运算符(P.12)9.1.3 变量和算式变量和算式1、变量名以字母开头的字母数字串 例：x，abc，Mapa202、变量的赋值和替换（1）、赋值用“=”表示赋值（2）、替换（代入）格式：表达式/.x-a（3）、清除（取消）格式：=. 或 clearx,y, 1、系统常用的数学函数 幂函数 Sqrt（平方根） 指数函数 Exp（以e为底的指数） 对数函数 Log 三角函数 Sin，Cos，Tan，Cot，Sec， Csc 反三角函数 ArcSin，ArcCos，ArcTan，ArcCot 绝对值函数 Abs 求和函数 Sum 取整数
4、函数 IntegerPart 求模函数 Modm,n求m除n所得余数9.1.4 常用函数常用函数2、函数的书写规则（1）函数名的第一个字母大写，后面小写（2）函数作用对象表达式写在函数名的方括号内，如Sinx（3）有多个参数的函数，参数之间用逗号分隔，如Log23=Log2，33、数学函数的运算和函数值4、自定义函数 格式：fx_，y_，：=函数表达式5、函数的嵌套 格式：Nestf，x，n6、定义临时变量 格式：Modulex，y，表达式1；表达式2；使用中的几个问题1、简便输入 %表示上次计算的结果 % 表示上上次计算的结果 %n表示第n次计算的结果2、运行程序 Shift+Enter或小
5、键盘上的Enter 3、保存文件用菜单进行：save as 4、分号“；”的应用（1）在几个语句中间，表示各语句间并列关系，用于一行多句输入（2）在表达式的末尾，抑制结果显示9.1.5 符号演算和数值计算符号演算和数值计算一、基本表达式操作1、多项式的展开 格式：Expand表达式2、通分 格式：Together表达式3、分解因式 格式：Factor表达式4、化简表达式 格式：Simplify表达式5、约分 格式：Cancel表达式6、把表达式分项 格式：Apart表达式7、求多项式中某项的系数 格式：Cofficient表达式9.1.5.1 解方程或方程组解方程或方程组1、求方程的代数解格式
6、1：Roots方程，变量格式2：Solve方程1，方程2，变量1，变量2，格式3：Reduce方程1，方程2，变量1，变量2，2、求方程的数值解格式1：NRoots方程，变量格式2：NSolve方程1，方程2，变量1，变量2，3、消去变量格式：Eliminate方程，变量4、寻求方程的数值根格式：FindRoot方程，x，x0，y， y0，9.1.5.2 常用的语句常用的语句 1、打印语句(屏幕输出) 格式：Print 表达式，表达式，2、求和格式1：Sum通项，n，下限，上限，步长格式2：NSum通项，n，下限，上限，步长3、求积格式1：Product通项，n，下限，上限，步长格式2： NP
7、roduct通项，n，下限，上限，步长4、条件语句(P.12) 格式1：If 条件，语句1，语句2格式2： Which条件1，语句1，条件2， 语句2，条件n，语句n5、循环语句（1）Do语句格式1：Do循环体语句，n 重复计算表达式n次格式2： Do循环体语句，变量，初值，终值，步长 重复计算表达式，变量以步长从初值变化到终值（2）While语句 格式： While条件语句，表达式 反复计算表达式，直到条件失效为止（3）For语句 格式： For初始表达式，条件，步进表 达式，循环体 求初始表达式的值，然后重复计算步进表达式和循环体的值，直到条件失效为止9.1.5.3 表与表达式的结构表与表
8、达式的结构一、表的概念 表是用大括号括起来的若干个表达式，表达式之间用逗号分隔格式：表达式，表达式，例：2，35，Sinx x2，3x+5，Pi 1，2，3，4，4，5例：aa = 1，2，3，4，5 bb = 2，3，4，5，6求：aa + bb aa bb aa * bb aa / bb aa + 5二、表的运算1、表的和、差、积、商运算 两个元素个数相同的表可以进行四则运算，结果是对应元素运算例：tt = Pi/4，12，9+x+x2 Sintt = sin(Pi/4)，sin(12)，sin(9+x+x2)2、表和函数运算f 表表示函数f作用到表的每一个元素得一新表三、二层表的转换 将
9、某些表的自变量取值与函数值分别放在一起或相反格式：Transpose表例：t1 = tablen，Sinn，n，5求：Transposet1四、表的生成1、直接生成(无规律性的表)按顺序写出表中的元素并放在大括号内例：1，0，-1，x2、数值生成函数Rang (有规律性的数值表)格式2： Rangem，n生成表m,m+1,n例2：生成表5，6，7，15格式1： Rangen生成表1，2，n例1：生成表1，2，3，10格式3： Rangem，n，步长例3：生成表1，3，5，213、通用表生成函数Table (循环生成有规律性的表)格式1： Table表达式，n把表达式复制n次生成表例1：生成5，
10、5，5，5，5，5，5例2：生成ex， ex ， ex ， ex ， ex格式2： Table表达式，x，n生成的表中元素x的取值从1到n，步长为1例3：生成Sin1， Sin2 ， ， Sin10 例4：生成20个素数组成的表格式3： Table表达式，x，n1，n2 生成的表中元素x的取值从n1到n2，步长为1例5：生成10，11，12，20格式4： Table表达式，x，n1，n2，n3 生成的表中元素x的取值从n1到n2，步长为n3例6：生成10，20，30，150例7：生成e， e4 ， e7 ， e10 ， e13格式5： Tablefm，n，m ，m1 ，m2，m3，n，n1，n
11、2，n3 生成二层表例8：生成2，3，4，5，6，3，4，5，6，7，6，7，8，9，10例9：生成1，2，2，3，3，4，4，5，5，6例10：生成1，Sin1，2， Sin2， 5， Sin54、迭代（递推）生成格式：NestList函数名f，初值x，迭代次数n例1：fx_: = 1/(1+x)NestListf，x，4例2： NestListSin，x，4五、表的有关操作1、元素的抽取格式1：First表取出表的第一个元素格式2：Last表取出表的最后一个元素格式3：表n取出表的第n个元素格式4：Take表，nn为正数取出表的前n个元素作成一个新表,n为负数则从表的最后一个元素向前取格式
12、5：Take表，m，n取出表的第m个到第n个元素作成一个新表格式6：表n1，n2， ， n取出多层表中第n1个子表中的n2个子表中的第n个元素例：有表d = 3，2，x2，3+y，“abc”，x，4，c求(1) Firstd(2) Lastd(3)d3(4)Taked , 2(5) Taked , 2 , 3(6) d3 , 2 , 22、去掉元素格式1：Rest表去掉表的第一个元素格式2：Drop表 , nn为正值，去掉表的前n个元素， n为负值，去掉表的后n个元素格式3： Drop表 , m , n去掉表的第m至第n个元素例 Restd ； Dropd , 23、按序号选取元素格式：表s1
13、 , s2 , 选出表中第s1 , s2 , 个元素作成一个新表例：d1 , 4 , 1 , 24、表的元素替换格式：表n = x 把表的第n个元素替换为x例：d3 = 1，25、向表添加元素格式1：Prepend表，表达式将表达式加在原表的所有元素前格式2： Append表，表达式将表达式加在原表的所有元素后格式3： Insert表，表达式，n将表达式插在原表的第n个位置6、表与表合并格式1：Join表1，表2，把几个表的元素按顺序连接格式2：Union表1，表2，表表合并，重复的元素只取一次7、表的排序格式：Sort表将表中的元素按升序排列8、表的长度格式：Length表统计表中的元素的个
14、数六、表的综合操作举例1、生成表1，x, 2，x2, 3，x3, 4，x42、取出所有子表的第一个元素3、求所有子表的第一个元素的指数值4、放回表中相应的位置作业：一、生成下列表1、1，4，9，16，100002、n1，n2，n50其中ni= n/n!，精确到小数点后10位3、1，2，3，10，1，2，3，10共10个子表4、1，2，3，100，101，102，103，200，901，902，903，1000二、1.已知f(x)=ex，求当x=1，2，3，4时的函数值列表及数对(x，y)的列表。2.用Table生成一个自变量取值表，然后结合语句Transpose的用法，给出所生成表的自变量取值
15、与对应正切函数值组成数对的二层表。3.给定二层表1,2,2,3,3,4,4,5,5,6, 试用Mathematica命令取出这个表中所有子表的第二个元素组成的表，并取对数后放回原表的相应位置。9.2 Mathematica软件的运用软件的运用9.2.1 用Mathematica 求极限案例案例9.19 求下列极限（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7）解解 (1) In1:=LimitSin5*x/x,x-0 out1=5(2) In2:=Limit5(1/x),x-0,Direction-1 out2=Infinity(Infinity为正无穷大”）(3) In3:=Limit5
16、(1/x),x-0,Direction-1 out3=0(4) In4:=LimitAbsx/x,x-0,Direction-1 out4=-1(5) In5:=Limit Absx/x,x-0,Direction-1 out5=1(6) In6:=LimitArcTanx,x-Infinity out6= (7) In7:=LimitArcTanx,x-Infinity out7= 9.2.2 用用mathematica 进行求导运进行求导运算算在mathematica 系统中，用Dfx,x表示fx对x的一阶导数，用Dfx,x，n表示fx对x的n阶导数，在一定范围内，也能使用微积分中的撇号（
17、撇号为计算机键盘中的单引号）标记来定义导函数，其使用方法为：若fx为一元函数，则fx给出fx的一阶导函数，而fx0给出函数fx在x=x0处的导数值，同样，fx给出fx的二阶导数，fx给出x的三阶导数. 案例案例9.20 求下列函数的一阶导函数：(1) (2)案例案例9.20 求下列函数的一阶导函数：(1) (2)案例案例9.20 求下列函数的一阶导函数：(1) (2)案例案例9.20 求下列函数的一阶导函数：(1) (2)案例案例9.20 求下列函数的一阶导函数：(1) (2)解解 (1) In1:=D100*x18,x Out1=1800x17 (2) In2:=Dx3*Cosx,x Out
18、2=3x2Cosx-x3Sinx案例案例9.21 求函数 的二阶导数. 解解 In3:=Dx3*Cosx,x,2 Out3=6xCosx-x3Cosx-6x2Sinx9.2.3 用用Mathematica 做导数应用题做导数应用题 导数应用就是用导数的性态来研究函数的性态，主要包括函数的单调性、凹向、极值与最值的求法以及一元函数图形的描绘，由于对函数单调性、凹向等问题的研究，不但需要进行求导运算，而且还需要进行解方程及条件判断等工作.因此，在用mathematica 做导数应用题的过程中，经常使用Mathematica 系统中的Solve,Which, Print这三个函数.案例案例9.22
19、设函数 在 处都取得极值，试定出 的值，并问这时 在 处都取得的是极大值还是极小值？解解 In1:=fx_:=a*Logx+b*x2+x;In2:=Solvef1=0,f2=0,a,b(*解方程，求驻点*)In3:=c=%;(*将方程组的解赋给变量c*)In4:=a=a/.c1,1(*等价于a=a/.a-2/3*)In5:=b=b/.c1,2(*等价于b=b/.b-1/6*)解解 In1:=fx_:=a*Logx+b*x2+x;In2:=Solvef1=0,f2=0,a,b(*解方程，求驻点*)In3:=c=%;(*将方程组的解赋给变量c*)In4:=a=a/.c1,1(*等价于a=a/.a-
20、2/3*)In5:=b=b/.c1,2(*等价于b=b/.b-1/6*)解解 In1:=fx_:=a*Logx+b*x2+x;In2:=Solvef1=0,f2=0,a,b(*解方程，求驻点*)In3:=c=%;(*将方程组的解赋给变量c*)In4:=a=a/.c1,1(*等价于a=a/.a-2/3*)In5:=b=b/.c1,2(*等价于b=b/.b-1/6*)解解 In1:=fx_:=a*Logx+b*x2+x;In2:=Solvef1=0,f2=0,a,b(*解方程，求驻点*)In3:=c=%;(*将方程组的解赋给变量c*)In4:=a=a/.c1,1(*等价于a=a/.a-2/3*)I
21、n5:=b=b/.c1,2(*等价于b=b/.b-1/6*)nOut2=a-2/3,b-1/6nOut8=f1极小值nOut9=f2极大值另外，Mathematica 系统还提供了用逐步搜索法求函数极值的函数FindMinimum,其使用方法请读者上机练习.9.2.4 用用Mathematica 做一元函做一元函数的积分数的积分在Mathematica 系统中，用Integrate 计算一元函数的积分，其格式与作用如下：Integratef,x 计算不定积分Integratef,x,a,b 计算定积分案例案例9.23 求下列积分.解解 (1) In1:=Integratex8,x Out1=x
22、9/9(2) In2:=Integratex8,x,0,2Out2=512/99.2.5 用用Mathematica 求偏导数求偏导数与多元函数的极值与多元函数的极值 与在Mathematica 系统中求一元函数的导数类似，求多元函数f的偏导数仍用求导函数完成，具体调用格式如下：、Df,x 给出f对x的偏导数Df,x,n给出f对x的n阶偏导数Df,x1,x2,.给出f对x1,x2.的高阶混合偏导数.案例案例9.24 求函数 的两个一阶偏导数和四个二阶偏导数 解解 In1:=Clearx,yIn2:=fx_,y_=3(x2+y2);In3:=Dfx,y,xIn4:=Dfx,y,yIn5:=Dfx
23、,y,x,2In6:=Dfx,y,y,2In7:=Dfx,y,x,yIn8;=Dfx,y,y,xOut3=6xOut4=6yOut5=6Out6=6Out7=0Out8=0案例案例5.25 求函数 的驻点. 解解 In1:=Clearz,x,yIn2:=zx_,y_:=x2+y2-3*x*y+2x+2yIn3:=a=Dzx,y,x;In4:=a=Dzx,y,y;In5:=Solvea=0,b=0,x,yOut5=x-2,y-2由Out5可知，所求驻点为(2,2).案例案例5.26 求函数 的驻点，并判断在驻点处是否取得极值，取得极大值还是极小值？取得的极值是多少？解解 In1:=Clearz,
24、x,xy,p,A,B,C1，m，a,bIn2:=zx_,y_:=x2+y2+5;In3:=SolveDzx,y,x=0,Dzx,y,y=0,x,y;In4:=m=%;In5:=a=x/.m1,1;In6:=b=y/.m1,2;In7:=Ax_,y_=Dzx,y,x,2;In8:=Bx_,y_=Dzx,yx,y;In9:=C1x_,y_=Dzx,y,y,2;In10:=px_,y_=Bx,y2-Ax,y*C1x,y;In11:=Whichpa,b0,Print无极值, pa,b0&Aa,b0,Print有极大值,za,b, pa,b0,Print有极小值,za,b, pa,b=0,Print失效
25、Out11=有极小值由Out11可知，在驻点（0,0）处，函数取得极小值5 9.2.6用用Mathematica计算重计算重积分积分 在Mathematica 系统中，与求定积分类似，仍用函数Integrate 计算重积分，其调用格式如下：Integratef,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax 案例案例9.27计算二重积分 .解解 In1:=Clearx,yIn2:=Integratex*Expx*y,x,0,1,y,-1,0Out2=1/E案例案例9.28 计算二重积分 ,D是由所围城的区域. 解解 In1:=Clearx,yIn2:=Integratex*Sqrty,x,0,1,y,x2,SqrtxOut2=6/55.
