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1、第三章 极大值原理 （ 第三章 极大值原理 （Maximum Principle） 前面介绍的变分法属于前面介绍的变分法属于经典变分学经典变分学的内容。的内容。 经典变分学只能解决经典变分学只能解决容许控制属于开集容许控制属于开集的一类最优控制问题，而且 对轨线 的一类最优控制问题，而且 对轨线x( t )、函数、函数L、f 均有连续可微要求。实际工程应用问题中， 这些要求一般无法得到满足。 均有连续可微要求。实际工程应用问题中， 这些要求一般无法得到满足。 为解决为解决容许控制属于闭集容许控制属于闭集的一类最优控制问题，前苏联数学家庞特 里亚金（俄文，英文 的一类最优控制问题，前苏联数学家庞
2、特 里亚金（俄文，英文Pontryagin）受力学中）受力学中 Hamilton原理启发，于原理启发，于1958年提出年提出极大值原理极大值原理并加以证明。并加以证明。 极大值原理将经典变分学推进到极大值原理将经典变分学推进到现代变分学现代变分学，成为现代控制理论的 重要基石。 ，成为现代控制理论的 重要基石。 极大值原理（极大值原理（Maximum Principle），或称最大值原理，也有称为极 小值原理或最小值原理（ ），或称最大值原理，也有称为极 小值原理或最小值原理（Minimum Principle）。）。 极大值原理的证明在数学上非常严格，本课程只从工程应用需要的 理解程度出发对
3、其进行简单推导。 极大值原理的证明在数学上非常严格，本课程只从工程应用需要的 理解程度出发对其进行简单推导。 3.1 泛函极值的充分条件泛函极值的充分条件 几个有关定义几个有关定义 正常场正常场 定义定义3-1：若（：若（t，x）平面某一区域）平面某一区域D上每一点都有曲线族中一条且 仅有一条通过，则称曲线族在区域 上每一点都有曲线族中一条且 仅有一条通过，则称曲线族在区域D上形成一个正常场。曲线族上 点（ 上形成一个正常场。曲线族上 点（t，x）处的切线的角系数称为场在点（）处的切线的角系数称为场在点（t，x）的斜率。）的斜率。 中心场中心场 定义定义3-2：若区域：若区域D上曲线族的全部曲
4、线都通过一点（上曲线族的全部曲线都通过一点（t0，x0），即 它们形成曲线束，且束心也属于 ），即 它们形成曲线束，且束心也属于D，同时除束心外，曲线在，同时除束心外，曲线在D内不 再相交，曲线布满区域 内不 再相交，曲线布满区域D，则该场为中心场。，则该场为中心场。 极值曲线场极值曲线场 定义定义3-3：若正常场或中心场是由某一变分问题的极值曲线族所形 成，则称之为极值曲线场。 ：若正常场或中心场是由某一变分问题的极值曲线族所形 成，则称之为极值曲线场。 设有泛函 若用 设有泛函 若用p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则可以证 明泛函增量可表示为 表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则
5、可以证 明泛函增量可表示为 f t t dtttxtxLxJ 0 ),(),()( f t t dtttxptxtxExJ 0 ),(),(),()( ,tpxL p pxtpxLtxxLtpxxE 其中 称为 其中 称为维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯E函数函数。 维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯E函数函数 （Weierstrass Erdmann Function） 泛函泛函J在曲线上达到在曲线上达到极值的充分条件极值的充分条件 设泛函设泛函J在曲线在曲线c上达到极值，可分为弱极值和强极值两种 情况，其充分条件分别为： 上达到极值，可分为弱极值和强极值两种 情况，其充分条件分别为： 对于对于弱极值弱极值，
6、 曲线曲线c应是满足极值条件的极值曲线； 极值曲线 应是满足极值条件的极值曲线； 极值曲线c能够被包含在极值曲线场中； 对于 能够被包含在极值曲线场中； 对于c近旁所有点近旁所有点(x, t)以及以及近于近于p(x, t)的 值，函数 不变号， 的 值，函数 不变号，极小值时极小值时E0，极大值时极大值时E0。 对于对于强极值强极值， 曲线曲线c应是满足极值条件的极值曲线； 极值曲线 应是满足极值条件的极值曲线； 极值曲线c能够被包含在极值曲线场中； 对于 能够被包含在极值曲线场中； 对于c近旁所有点近旁所有点(x, t)以及以及任意任意的 值，函数 不变号， 的 值，函数 不变号，极小值时极
7、小值时E0，极大值时极大值时E0。 x ),(tpxxE x ),(tpxxE 3.2 连续系统极大值原理连续系统极大值原理 考虑考虑系统状态方程系统状态方程 （3-2-1） 其中， ） 其中，mn ),(),()(ttutxftx mn RtuRtx)(,)( 初始状态初始状态（3-2-2） 00) (xtx 终态终态满足（满足（3-2-3） 其中， ） 其中，rn 。 0),( ff ttx r R u(t)属于有界闭集属于有界闭集，受，受不等式不等式 0（3-2-4） 约束约束，g为为p维连续可微函数，维连续可微函数，pm。 ),(),(ttutxg 求最优控制，满足上列条件，并使求最优
8、控制，满足上列条件，并使性能指标性能指标 （3-2-5） 达到极小值。 ） 达到极小值。 )( * tu f t t ff dtttutxLttxuJ 0 ),(),(),()( u(t)有界有界并受并受不等式约束不等式约束，与前面讨论的问题不同。，与前面讨论的问题不同。 取可以保证取可以保证g非负；而由非负；而由u(t)的分段连续的分段连续性，有 的分段连续性，则进一步有 性，有 的分段连续性，则进一步有w(t)分段光滑连续分段光滑连续。因此，可以采 用 。因此，可以采 用Lagrange乘子法进行求解。乘子法进行求解。 u(t)有界有界一般可以一般可以考虑为考虑为是是分段连续函数分段连续函
9、数，对，对不等式约束不等式约束则要设法则要设法转化 为等式约束 转化 为等式约束处理。 引进新变量 处理。 引进新变量Z(t)和和w(t)，取 （ ，取 （3-2-6） （ ） （3-2-7） 0)(,),(),()( 0 2 tZttutxgtZ 0)(),()( 0 twtut w gZ 2 )(tw 分别取分别取Lagrange乘子，构造乘子，构造广义性能指标广义性能指标 （3-2-8） n R r R p R f t t ffffa dtZtwxgxtwxftwxL ttxtttxuJ 0 ),(),(),( ),()(),()( 2 TT T 求其一阶变分有 （ 求其一阶变分有 （3
10、-2-12） 定义（ ） 定义（3-2-9） （ ） （3-2-10） 则有 （ ） 则有 （3-2-11） 其中 （ ） 其中 （3-2-13） ),(),(),(twxftwxLtwxH T ),(),(),( 2 ZtwxgxtwxHtZwxxF TT f t t ffffa dttZwxxFttxtttxuJ 0 ),(),()(),()( T Zwxta JJJJJ f ft ff tt t ft f t tF tt tFdt t J f ff f ff T T 式（式（3-2-14）中，由于，则有 （ ）中，由于，则有 （3-2-14） （ ） （3-2-15） （ ） （3-2-
11、16） fff txtxx )( f f f t t ft tfx dt x F dt d x F xt x F x x F xx xJ 0 )( TT T T f f t t tw dt w F dt d w w F wJ 0 )( TT f f t t tZ dt Z F dt d Z Z F ZJ 0 )( TT （3-2-14） )( 0 0 f ff f f t t ttf t t tfx dt x F dt d x F x x F x xx x dt x F x x F x x xJ TT T T TTTT 由泛函极值必要条件及的 任意性，得此泛函极值的必要条件为： 由泛函极值必要
12、条件及的 任意性，得此泛函极值的必要条件为： 欧拉方程： （ 欧拉方程： （3-2-17） （ ） （3-2-18） （ ） （3-2-19） 横截条件： （ 横截条件： （3-2-20） （ ） （3-2-21） （ ） （3-2-22） （ ） （3-2-23） 0 x F dt d x F 0 w F dt d 0 Z F dt d 0 f t ff x F xF tt T T 0 f t x F xx T 0 f t w F 0 f t Z F 0 a J Zwxxt ff , 将 代入以上各式，可得泛函极值必要条件为： 将 代入以上各式，可得泛函极值必要条件为： 欧拉方程： （ 欧拉方程： （3-2-24） （ ） （3-2-25） （ ） （3-2-26） 横截条件： （ 横截条件： （3-2-27） （ ） （3-2-28） （ ） （3-2-29） （ ） （3-2-30） x g x H T 0 w g w H dt d T 0)( Z dt d T 0 f t ff H tt T 0 f t xx
