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1、有限单元法Finite Element Method 东北大学土木工程系东北大学土木工程系 主讲教师：李主讲教师：李鑫鑫 手机：手机：13609813860 E-mail：lixinedu 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 1. 弹性力学问题的弹性力学问题的基本假设基本假设 (1) 连续性连续性假设假设 弹性理论同其他宏观物理学一样弹性理论同其他宏观物理学一样，不考虑不考虑实际工程材料实际工程材料 细观粒子结构细观粒子结构。 物体抽象成物体抽象成连续连续密实的空间几何体密实的空间几何体，位移位移、应变应变、应力应力、 能量能量等物理量作为等物理量作为空间点位置的函数空间点位置的函数定义在这个几
2、何体定义在这个几何体 上上。 物体在整个变形过程中物体在整个变形过程中始终保持连续始终保持连续，即：定义在该连即：定义在该连 续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点、线线、 面上可能奇异或间断外面上可能奇异或间断外，在变形过程中始终保持为空间在变形过程中始终保持为空间 点位的连续函数点位的连续函数。 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 1. 弹性力学问题的弹性力学问题的基本假设基本假设 (2) 均匀性均匀性假设假设 物体在物体在各点各点处的弹性性质都相同。处的弹性性质都相同。 (3) 各向同性各向同性假设假设 物体在物体在同一点同一点处所有处所有
3、各个方向各个方向上的力学性质都相同，与上的力学性质都相同，与 考察的方向无关。考察的方向无关。 (4) 小变形小变形假设假设 物体的变形相对物体的结构尺寸非常微小，应变与位移物体的变形相对物体的结构尺寸非常微小，应变与位移 导数的关系是导数的关系是线性线性的（的（几何线性几何线性）。）。 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 1. 弹性力学问题的弹性力学问题的基本假设基本假设 (5) 无初应力无初应力（自然状态自然状态）假设）假设 物体在未受外力和温度的影响，物体没有应力和变形。物体在未受外力和温度的影响，物体没有应力和变形。 (6) （完全）弹性（完全）弹性假设假设 弹性体的变形与载荷在整个加载
4、和卸载过程中存在弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对一一对 应应的的单值单值函数关系，且函数关系，且载荷卸去后变形完全消失载荷卸去后变形完全消失。 大多数工程材料在应力小于弹性极限时应力与变形的关系大多数工程材料在应力小于弹性极限时应力与变形的关系 是线性的是线性的线弹性线弹性 少数材料的弹性应力少数材料的弹性应力-应变关系是非线性的应变关系是非线性的非线性弹性非线性弹性 弹性力学弹性力学主要讨论线弹性体主要讨论线弹性体 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (1) 基本物理量基本物理量 位移：位移： 应变：应变： 应力：应力： T
5、 uvw=u T xyzxyyzzx = T xyzxyyzzx = 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (2) 平衡方程平衡方程 0 0 0 yx xzx x xyyzy y yz xzz z f xyz f xyz f xyz += += += 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (2) 平衡方程平衡方程 000 0 0000 0 000 x y x z y xy z yz zx xyz f f yxz f zyx += ()V+=Af0在 内 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力
6、学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (3) 几何方程几何方程 x u x = y v y = z w z = xyyx uv yx =+= yzzy vw zy =+= zxxz uw zx =+= 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (3) 几何方程几何方程 ()V=Lu在 内 00 00 00 = 0 0 0 x y z xy z yz zx x y u z v w yx zy zx T =LA 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (4) 物理方程物理方程应力应力-应变关系应变关系 =D
7、 () ()() () () () 1000 11 1000 1 1000 1 12 00 112 2 1 12 0 2 1 12 2 1 xx yy zz xyxy yzyz zxzx E = + 对 称 D-弹性矩阵弹性矩阵 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (4) 物理方程物理方程 2000 2000 2000 00 0 xx yy zz xyxy yzyz zxzx G G G G G G + + + = 对 称 =D ()2 1 E G = +()()112 E = + 拉梅拉梅(Lame)常数常数 弹性力学预备知识弹性力学预备知识
8、 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (4) 物理方程物理方程 =C C-柔度矩阵柔度矩阵 1 =CD 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (5) 边界条件边界条件 力的边界条件力的边界条件S已知外力已知外力 几何边界条件（位移边界条件）几何边界条件（位移边界条件）Su已知位移已知位移 弹性体的全部边界弹性体的全部边界S=S+ Su 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (5) 边界条件边界条件力的边界条件力的边界条件 xx TT= yy TT= zz TT= xxxyyxzzx
9、yxxyyyzzy zxxzyyzzz Tnnn Tnnn Tnnn =+ =+ =+ nx, ny, nz边界外法线的方向余弦边界外法线的方向余弦 Tx, Ty, Tz边界上单位面积的内力边界上单位面积的内力 边界上已知单位面积上作用的面积力边界上已知单位面积上作用的面积力 x T y T z T 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (5) 边界条件边界条件力的边界条件力的边界条件 ()S=TT在上 000 000 000 x y xyzx z yxzy xy zyxz yz zx nnnT nnnT nnnT = =Tn 弹性力学预备知识弹
10、性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (5) 边界条件边界条件几何边界条件几何边界条件 () u S=uu在上 uu vv ww = 弹性力学预备知识弹性力学预备知识 2. 弹性力学问题的矩阵表示弹性力学问题的矩阵表示 (6) 弹性体的应变能和余能弹性体的应变能和余能 单位体积的单位体积的应变能应变能（应变能密度）（应变能密度） 单位体积的单位体积的余能余能（余能密度）（余能密度） ( ) T 1 2 U= D ( ) T 1 2 V= C 泛函与变分的基本概念泛函与变分的基本概念 1. 函数的定义和泛函的定义函数的定义和泛函的定义 (1) 函数函数的定义的定义
11、若对于自变量若对于自变量x域中的每一个值域中的每一个值，y有一值与之对应有一值与之对应，或数或数y 对应于数对应于数x的关系成立的关系成立。则称变量则称变量y是变量是变量x的函数的函数，即：即： y= y(x)。 (2) 泛函泛函的定义的定义 若对于某一类函数若对于某一类函数y(x)中的每一函数中的每一函数y(x) ，有一值与之对有一值与之对 应应，或数或数对应于函数对应于函数y(x)的关系成立的关系成立。则称变量则称变量是函数是函数 y(x)的泛函的泛函，即：即： = y(x)。 通常以通常以积分的形式积分的形式出现出现。e.g.( ) 2 1d b a y xyx=+ 泛函与变分的基本概念
12、泛函与变分的基本概念 2. 微分和变分微分和变分 (1) 微分微分 x的增量的增量x是指某两值之差是指某两值之差x=xx1。如果如果x的微分用的微分用dx 表示表示，则则dx也是增量的一种也是增量的一种，即当这种增量很小很小即当这种增量很小很小 时时，dx=x。 (2) 变分变分 y(x)的增量在它很小时称为变分的增量在它很小时称为变分，用用y(x)或或y表示表示， y(x)是指是指y(x)和与它相接近的和与它相接近的y1(x)之差之差，即即y(x)=y(x)- y1(x)；y(x)也是也是x的函数的函数，只是只是y(x)在指定的在指定的x域中都域中都 是微量是微量。（假定假定y(x)在接近在
13、接近y1(x)的一类函数中是任意改的一类函数中是任意改 变变 ）。 泛函与变分的基本概念泛函与变分的基本概念 3. 函数的微分和泛函的变分函数的微分和泛函的变分 (1) 函数的微分函数的微分 函数的增量函数的增量y=y(x+x)-y(x)可以展开为线性项和非线性可以展开为线性项和非线性 项项 y=A(x)x+(x,x)，其中其中A(x)和和x无关无关，(x,x)则和则和 x有关有关，而当而当x0时时，(x,x)0，称称y(x)是是可微的可微的 ，其线性部分称为其线性部分称为函数的微分函数的微分。即即dy=A(x)x=y(x)x。 A(x)=y(x)是函数的导数是函数的导数，而且而且 ( ) 0 lim x y yx x = 泛函与变分的基本概念泛函与变分的基本概念 3. 函数的微分和泛函的变分函数的微分和泛函的变分 (2) 泛函的变分泛函的变分 =y(x)+y(x)-y(x)=Ly(x),y(x) Ly(x),y(x)泛函的变分泛函的变分，用用表示表示。 泛函的变分是泛函增量的主部泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于而且这个主部对于 y(x)来说是线性的来说是线性的。 泛函与变分的基本概念泛函与变
