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1、http:/ 学MATH第七章 行列式7.1 行列式的定义学习内容：行列式的定义教学目的：让学生掌握二、三阶及n阶行列式的定义和运算及其相关定义教学重点：二、三阶、n阶行列式定义、余子式及代数余子式定义教学进程：一、二阶行列式定义：我们规定记号： ad-bc，并称之为二阶行列式，其中：a、b、c、d称为二阶行列式的元素；横排称为行，竖排称为列；从左上角到右下角的对角线称为行列式的主对角线，从左下角到右上角的对角线称为行列式的次对角线。二、 二阶行列式的应用：在初等代数中，用回头消元法解二元一次方程组： （7.1.1）可得：若：，得方程组之解为： （7.1.2）为了方便记忆，利用二阶行列式，令：
2、D 当二元一次方程组的系数行列式时，它的解可简洁地记为：， （7.1.3）例题讲解：例1、 解二元一次方程组解：14 7则方程组的解应为： 三、三阶行列式的定义：为了便于表示三元一次方程组： （7.1.4）的解，我们引进三阶行列式：称为三阶行列式，其中是原行列式D中划去元素所在的第一行、第一列后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式，称它为元素的余子式，记作，即 类似地，记 ， 并且令 （称为元素的代数余子式。因此，三阶行列式也可以表示为而且它的值可以转化为二阶行列式计算而得到。利用三阶行列式的概念，当方程组（7.1.4）的系数行列式时，它的解也可以简洁地表示为 （7.1.5）其中，是将方程组（
3、7.1.4）中的系数行列式D的第一、二、三列分别换成常数列得到的三阶行列式。例题讲解：例2、计算行列式 D解： D309246例3、解三元一次方程组解：利用解的公式（7.1.5），先计算系数行列式5且5 10 35所以方程组的解为四、n阶阶行列式的定义：由个元素组成的一个算式，记为D D=称为n阶阶行列式，简称行列式。其中称为D和第行第j列的元素（,j=1，2，n）。当n =1时，规定：D =当n 1 阶行列式已定义，则n 阶行列式：D = -（7.1.6）其中为元素的代数余子式。此定义是n阶行列式D按第一行的的展开式。通过二阶、三阶行列式的展开式可以推出，n阶行列式的展开式中共有!乘积项，每
4、个乘积项中含有n个取自不同行不同列的元素，并且带正号和带负号的项各占一半。例题讲解：例4、写出四阶行列式 的元素的余子式和代数余子式。解：元素的余子式为划去第三行和第二列后，剩下元素按原来顺序组成的三阶行列式，而元素的代数余子式为余子式前面加一个符号因子，即 相关定义：形如下列形式的行列式分别为n阶对角形行列式和n阶下三角形行列式。由n阶阶行列式的定义知，它们的值都是主对角线上元素的乘积。= =例题讲解；例5、计算下列行列式：（） （2）解：（）根据（7.1.6）式，得：根据（7.1.6）式，得五、练习： 、六、本节小结:本节主要要掌握二阶、三阶、n阶行列式及余子式、代数余子式的定义七、作业
5、、备注：72 行列式的性质教学内容：行列式的性质教学目的：让学生掌握行列式的性质，并学会应用教学重点：行列式的性质教学过程：一、 转置行列式的概念：如果把n阶行列式 中的行与列按原来的顺序互换，得到新的行列式 那么称行列式为D的转置行列式。显然D也是的转置行列式。二、 行列式的性质：性质1、行列式D与它的转置行列式相等，即D=例如二阶行列式 D=性质1说明，行列式中行与列所处的地位是一样的，所以，凡是对行成立的性质，对列也同样成立。由性质1和n阶下三角形行列式的结论，可以得到n阶上三角形行列式的值等于它的对角线元素乘积，即=性质2、行列式D等于它的任意一行或列中所有元素与它们各自的代数余子式乘
6、积之和，即D= 或 D= -（7.2.1）其中，换句话说，行列式可以按任意一行或列展开。例题讲解例1、设三阶行列式 D=（1） 按第二行展开，并求其值；（2） 按第三列展开，并求其值。解：（1）=-（5-6）=1D= -4(2) =2(-18)+1(-4)+510=10例2、计算四阶行列式 解：因为第三列中有三个零元素，由性质2，按第三列展开，得D=对于上面的三阶行列式，按第三行展开，得由性质2，可以证明下列结论成立性质3 行列式一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即= -(7.2.2)例如二阶行列式由性质3可以得到下面推论：推论1 如果行列式中有一行（或列）的全部元素都是零，那么这
7、个行列式的值为零。推论2 行列式中一行（或列）的每一个元素如果可以写成两数之和， 那么此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第行的元素分别是和，其他各行（或列）的元素与原行列式相应各行（或列）的元素相同，即=+ -(7.2.3)例如二阶行列式=性质5如果行列式中两行（或列）对应元素全部相同，那么行列式的值为零，即 = 0例如三阶行列式由性质3和性质5，可以得到下列推论：推论2 行列式中如果两行（或列）对应元素成比例，那么行列式的值为零。推论3 行列式D中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即当时， -（7.2.4）综合性质2和推论3，可以得到 由性质4
8、和推论2，可以得到下列结论：性质6 在行列式中，把某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上去，那么行列式的值不变，即 （7.2.5）例如二阶行列式 =利用性质3和性质6，可以得到下列结论：性质7 如果将行列式的任意两行（或列）互换，那么行列式的值改变符号，即例如，二阶行列式三、 行列式性质的应用：例3、计算下面行列式的值（1） （2）解 （1）把的第二行的元素分别看成：300-10，100+6，200-4，由性质4，得 而由推论2和性质3、性质5，得 所以，（2）利用性质6，在第一行上加上第二行一倍，再由推论2，得例4、 证明 D= （1-证 利用性质4把原行列式拆成4个行列式，即
9、D =再由推论2可知第一个和第四个行列式为零；由性质3和性质7，得D = =四、 本节小结：本节主要学习了不起五、 课堂练习：六、 课后作业：备注7.3 行列式的计算教学内容:行列式的计算教学目的：让学生利用行列式的定义及性质进行行列式的计算教学重点：计算的思想方法教学过程：一、行列式的基本计算方法之一是根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上（或下）三角形行列式，由前面的结论可知，这时行列式的值就是主对角线上元素的乘积，这种方法一般称为“化三角形法”。例1、 计算四阶行列式 解：利用行列式性质，把D化为上三角形行列式，再求值。 21例2、 计算四阶行列式 解：利用行列式性质，把D化
10、为上三角形行列式，再求值。 小结 把数字元素的行列式化为上三角形行列式的一般步骤为(1)把变换为1（例2是通过列变换来实现的，有时也可以把第一行乘来实现，但要注意尽量避免将元素化为分数，否则将给后面的计算增加困难）；(2)把第一行分别乘，加到第2，3，n行对应元素上，把第一列以下的元素全部化为零；(3)从第二行依次用类似的方法把主对角线，以下的元素全部化为零，即可得上三角形行列式。注意：在上述变换过程中，主对角线上元素不能为零，若出现零，可通过交换使得主对角线上的元素不为零。二、 计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行（或列），按这一行（或列）展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元
11、素化为仅有一个非零元素，然后再按这一行（或列）展开，这种方法一般称为“降阶法”。例3、 计算四阶行列式 解：为避免分数运算，利用性质3，把第一行和第三行的分数元素化为整数，即 如果注意到第三行已有两个零元素，那么利用性质6，把第三行的元素尽量化为零，然后再按第三行展开，即 三、几类行列式计算经常遇到的题型例 计算四阶行列式 解 因为该行列式中各行（或列）的元素之和都是2a+b，所以，可把各列元素都加到第1列上，然后提取公因子2a+b，再利用性质6，把第一列的元素尽量化为零，并按第一列展开，即 =(2a+b) =(2a+b) =(2a+b)(-b)(a-(b-a)=例5、 计算五阶行列式解：该行
12、列式的第行第j列的元素等于第j行第列元素的负数，即。具有这种特点的行列式称为反对称行列式。因为D的转置行列式为： 由性质1，得 D=如果将的每一行提出公因子（-1），得 =由此可得 D=-D即 D=0注：用此方法可以证明任何奇数阶反对称行列式的值都等于零。例6、 解方程解法一 因为=（x-4）(-1)=由，得，。所以方程的解是解法二 令x+4=8，即x=4，则行列式的第二行是第一行的2倍，根据推论3，行列式为零。所以x=4是方程的一个解。再令x=-5，则行列式的第三行是第四行的-1倍，根据推论3，行列式为零。所以x=-5是方程的另一个解。例7、 证明证 = =例7的结论可以推广到一般情况，用归纳法可以证明： （7.3.1）利用性质1，行列式，可以得到(7.3.1)式的另一个结论。四、本节小结：五、课堂练习： 5、6六、作业：七、备注7.4 克拉默法则教学内容：克拉默法则教学目标：
