《2019年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系课件 新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系课件 新人教a版选修2-1（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系,课标要求:1.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.2.能够把一个“若p,则q”形式的命题熟练地写出其逆命题、否命题和逆否命题.3.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的联系,会利用命题的等价性解决问题.,自主学习,1.互逆命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 .和 ,我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,
2、那么另一个叫做原命题的否命题.,知识探究,结论和条件,条件的否定,结论的否定,3.互为逆否命题 对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 . 和 ,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题. 用p和q分别表示原命题的条件和结论,用p(读作“非p”)和q(读作“非q”)分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是:,结论的,否定,条件的否定,注意:(1)“逆命题、否命题、逆否命题”都是相对于原命题而言的,都是相对概念,如命题“若x2,则x24”相对于命题“若x=2,则x2=4”是否命题,而相对于命题“若x2=4,则x=2
3、”则是逆否命题; (2)互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题之间的关系,把其中一个命题叫做原命题时,另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题,即要充分理解“互为”的相对性; (3)不是“若p,则q”形式的命题,最好先改写成“若p,则q”的形式,然后讨论其他三种命题,这样容易分清条件和结论.,4.四种命题间的相互关系 原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示.,5.四种命题的真假性之间的关系 四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况: 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此这四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有 ; (2)
4、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的 .,相同的真假性,真假性没有关系,注意:四种命题中真命题个数的探究 因为原命题与逆否命题有相同的真假性,逆命题与否命题有相同真假性,所以四种命题中真命题的个数一定为偶数,即真命题的个数只可能为0,2,4. 说明:根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4,可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确.,自我检测,B,1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) (A)若一个数是负数,则它的平方不是正数 (B)若一个数的平方是正数,则它是负数 (C)若一个数不是负数,则它的平方不是正数 (D)若一个数的平方不是正数,则它不是负数,C,3.
5、命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是( ) (A)若a,b都不是奇数,则a+b是偶数 (B)若a+b是奇数,则a,b都是偶数 (C)若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数 (D)若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数 4.命题“若x1,则x0”的逆命题是 ,逆否命题是 .,答案:若x0,则x1 若x0,则x1,D,5.在原命题“若ABB,则ABA”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 .,解析:逆命题为“若ABA,则ABB”; 否命题为“若AB=B,则AB=A”; 逆否命题为“若AB=A,则AB=B”; 全为真命题. 答案:4,题型一,四种命题的概念,课堂探究,【例1】
6、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题. (1)全等三角形的对应边相等;,解:(1)原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等; 逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等; 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形三边对应不相等; 逆否命题:若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等.,(2)当x=2时,x2-3x+2=0; (3)正数a的平方根不等于0.,解:(2)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0; 逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2; 否命题:若x2,则x2-3x+20; 逆否命题:若x2-3x+20,则x2. (
7、3)原命题:若a是正数,则a的平方根不等于0. 逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数. 否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0. 逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正数.,方法技巧,(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件和结论同时否定即得否命题,将条件和结论互换的同时,进行否定即得逆否命题. (2)如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.,解:(1)改写成“若一个数是无理数,则它的平方是有理数”. 逆命题:若一个数的平方是有理数,则它是无理数. 否命题:若一个数不是无理数,
8、则它的平方不是有理数. 逆否命题:若一个数的平方不是有理数,则它不是无理数. (2)逆命题:若x=2或x=-3,则x2+x-6=0. 否命题:若x2+x-60,则x2且x-3. 逆否命题:若x2且x-3,则x2+x-60.,即时训练1-1:写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)无理数的平方是有理数; (2)当x2+x-6=0时,x=2或x=-3;,(3)垂直于同一平面的两直线平行; (4)若mn0,则方程mx2-x+n=0有实数根.,解:(3)逆命题:如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一个平面. 否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那么这两条直线不平行. 逆否命题:如果两条直
9、线不平行,那么这两条直线不垂直于同一平面. (4)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则mn0. 否命题:若mn0,则方程mx2-x+n=0没有实数根. 逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn0.,题型二,四种命题的关系及其真假判断,【例2】 判断下列命题的真假. (1)“若x2+y20,则x,y不全为零”的否命题; (2)“正三角形都相似”的逆命题; (3)“若m0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;,解:(1)原命题的否命题为“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题. (2)原命题的逆命题为“若三角形相似,则这些三角形是正三角形”.假命题.,(4)“若m0,则x
10、2+x-m=0有实根”的逆命题; (5)“若m0,则mx2+x-1=0有实根”的逆否命题.,解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念,原命题与它的逆否命题同真同假,原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题,同真同假,故只判断两者中的一个即可.,方法技巧,即时训练2-1:(1)设m,n是向量,命题“若m=n,则|m|=|n|”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中,真命题的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4,解析:(1)法一 原命题为真命题. 逆命题:“若|m|=|n|,则m=n”为假命题, 否命题:“若mn,则|m|n|”为假命题. 逆否命题:“若|m|n|,则mn”为真命题.
11、 故四个命题中,真命题的个数是2.故选C. 法二 原命题为真命题,则其逆否命题也为真命题. 逆命题:“若|m|=|n|,则m=n”为假命题,则否命题也为假命题.故四个命题中,真命题的个数是2.故选C.,等价命题的应用,题型三,【例3】 (12分)已知函数f(x)在(-,+)上是增函数,a,bR,对命题“若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).” 写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论.,规范解答:逆命题:若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.为真命题.2分 由于逆命题与否命题具有相同的真假性,因此可转化为证明其否命题为真,即证明“若a+b0,则f(a)+f(
12、b)f(-a)+f(-b)”为真命题.4分 因为a+b0,则a-b,b-a. 因为f(x)在(-,+)上为增函数, 则f(a)f(-b),f(b)f(-a), 所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b). 因此否命题为真命题,即逆命题为真命题.12分,变式探究:写出本例中命题的逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.,解:逆否命题:若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.为真命题. 因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同, 所以可证明原命题为真命题. 因为a+b0,所以a-b,b-a. 又因为f(x)在(-,+)上是增函数, 所以f(a)f(-b),f(b)f(-a).
13、 所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b). 所以逆否命题为真命题.,方法技巧,直接证明困难时,命题是否定的形式或不等式的形式时,常常考虑用证明逆否命题的方法来证明.,即时训练3-1:判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2 0的解集是空集,则a2”的逆否命题的真假.,解:法一 原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集”. 判断真假如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7, 因为a2,所以4a-70, 即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真.,
