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1、常微分方程习题答案2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3 解：原式可化为： 12解1516解：这是齐次方程，令17. 解：原方程化为 令方程组则有令当当另外习题2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e (ee) =e(e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n为常数.解：原方程可化为： 是原方程的解.5+=解：原方程
2、可化为：=- () = 是原方程的解.6 解： = +令 则 =u因此：=， ， ， （*） 将带入 （*）中 得：是原方程的解.13 ， 这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以， 令 ， P(x)= Q(x)=-1 ，由一阶线性方程的求解公式 = ， 14 两边同乘以： ，令 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以 令 ，P（x）= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = = ， ，15 这是n=3时的伯努利方程。两边同除以：， 令 ： = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 = = ， ，16 y=+ ，P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = ，c=1
3、 ， y=2、设函数(t)于t上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s) ，试求此函数。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或（1）当时 即 ,) (2) 当时 = = =于是 变量分离得 积分 由于，即t=0时， 1=c=1 ，故习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1. 解： ，=1 .则 ，所以此方程是恰当方程。凑微分， ，得 ：2 解： ， .则 . 所以此方程为恰当方程。凑微分， ， 得 3 解： 则 . 因此此方程是恰当方程。 （1） （2）对（1）做的积分，则= （3）对（3）做的积分，则=则故此方程的通解为4、 解： ， . . 则此
4、方程为恰当方程。凑微分， ，得 ：5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+=- sin-cos- cos+sin=- sin-cos- cos+sin所以，=，故原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x -)=0故所求的解为sin-cos+x -=C求下列方程的解：62x(y-1)dx+dy=0解：= 2x , =2x ，所以 =，故原方程为恰当方程 又 2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-
5、x)=0 ，故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0 ， exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x-2x+2)+d( xy)=0即d e( x-2x+2)+ xy=0故方程的解为e( x-2x+2)+ xy=C8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0 ， d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0 ，故方程的解为xy+y=C9、解：两边同除以 得 ，即 故方程的通解为10、解：方程可化为： ， 即 故方程的通解为： 即：同时，y=0也是方程的解。11、解：方程可化为： ， 即： 故方程的通解为：
6、12、解：方程可化为： ， 故方程的通解为 ： 即：13、解：这里 ， 方程有积分因子两边乘以得：方程是恰当方程故方程的通解为：， 即：14、解：这里因为 ， 故方程的通解为： 即：15、解：这里 方程有积分因子： 两边乘以得：方程为恰当方程故通解为 ：即：16、解：两边同乘以得： ， 故方程的通解为：习题 2.4求解下列方程1、解：令，则， 从而， 于是求得方程参数形式得通解为.2、解：令，则，即，从而 ，于是求得方程参数形式得通解为.3、解：令，则，从而 = ，于是求得方程参数形式的通解为,另外，y=0也是方程的解.4、, 为常数解：令，则，从而 ，于是求得方程参数形式的通解为.5、1解：
7、令，则，从而 ，于是求得方程参数形式的通解为.6、解：令，则，得，所以，从而，于是求得方程参数形式的通解为，因此方程的通解为.习题2.52 解：两边同除以，得：， ， 即4解：两边同除以，得 ， 令 则， 即， 得到，即， 另外也是方程的解。6 解：， ， 得到 即， 另外也是方程的解。8. 解：令 则： 即 得到， 故 即，另外也是方程的解。10 解：令， 即， 而故两边积分得到 ，因此原方程的解为，。 12. 解：， 令 则 ， 即 故方程的解为 14 解： 令 则 那么 求得： 故方程的解为 或可写 为 16 解：令 则 ， 即方程的解为18 解： 将方程变形后得 同除以得： 令 则 即
8、原方程的解为19.X(解：方程可化为2y( 令27. 解： 令，则， ， ， 两边积分得 即为方程的通解。另外，即也是方程的解。28. 解： 两边同除以，方程可化为： 令，则 即 ， 两边积分得 即 为方程的解。29. 解： 令，则 ， ，那么 即 两边积分得 ，即为方程的解。30. 解： 方程可化为 两边积分得 即 为方程的解。31. 解： 方程可化为 两边同除以，得 即 令，则 即 两边积分得 将代入得， 即 故 32. 解： 方程可化为 两边同加上，得 （*）再由，可知 （*）将（*）/（*）得 即 整理得 两边积分得 即 另外，也是方程的解。求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。解： 设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为： 由题意得 即 也即 两边同除以，得 即 即 为方程的解。
