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1、常微分方程习题答案2.11.,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:3 解:原式可化为: 12解1516解:这是齐次方程,令17. 解:原方程化为 令方程组则有令当当另外习题2.2求下列方程的解1=解: y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解:原方程可化为:=-3x+e所以:x=e (ee) =e(e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解:s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 , n为常数.解:原方程可化为: 是原方程的解.5+=解:原方程
2、可化为:=- () = 是原方程的解.6 解: = +令 则 =u因此:=, , , (*) 将带入 (*)中 得:是原方程的解.13 , 这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以, 令 , P(x)= Q(x)=-1 ,由一阶线性方程的求解公式 = , 14 两边同乘以: ,令 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以 令 ,P(x)= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = = , ,15 这是n=3时的伯努利方程。两边同除以:, 令 : = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 = = , ,16 y=+ ,P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = ,c=1
3、 , y=2、设函数(t)于t上连续,(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s) ,试求此函数。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或(1)当时 即 ,) (2) 当时 = = =于是 变量分离得 积分 由于,即t=0时, 1=c=1 ,故习题2.31、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。1. 解: ,=1 .则 ,所以此方程是恰当方程。凑微分, ,得 :2 解: , .则 . 所以此方程为恰当方程。凑微分, , 得 3 解: 则 . 因此此方程是恰当方程。 (1) (2)对(1)做的积分,则= (3)对(3)做的积分,则=则故此方程的通解为4、 解: , . . 则此
4、方程为恰当方程。凑微分, ,得 :5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解: M=sin-cos+1 N= cos- sin+=- sin-cos- cos+sin=- sin-cos- cos+sin所以,=,故原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0所以,d(sin-cos+x -)=0故所求的解为sin-cos+x -=C求下列方程的解:62x(y-1)dx+dy=0解:= 2x , =2x ,所以 =,故原方程为恰当方程 又 2xydx-2xdx+dy=0所以,d(y-
5、x)=0 ,故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解:edx+3ydx+2xydy=0 , exdx+3xydx+2xydy=0所以,d e( x-2x+2)+d( xy)=0即d e( x-2x+2)+ xy=0故方程的解为e( x-2x+2)+ xy=C8. 2xydx+( x+1)dy=0解:2xydx+ xdy+dy=0 , d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0 ,故方程的解为xy+y=C9、解:两边同除以 得 ,即 故方程的通解为10、解:方程可化为: , 即 故方程的通解为: 即:同时,y=0也是方程的解。11、解:方程可化为: , 即: 故方程的通解为:
6、12、解:方程可化为: , 故方程的通解为 : 即:13、解:这里 , 方程有积分因子两边乘以得:方程是恰当方程故方程的通解为:, 即:14、解:这里因为 , 故方程的通解为: 即:15、解:这里 方程有积分因子: 两边乘以得:方程为恰当方程故通解为 :即:16、解:两边同乘以得: , 故方程的通解为:习题 2.4求解下列方程1、解:令,则, 从而, 于是求得方程参数形式得通解为.2、解:令,则,即,从而 ,于是求得方程参数形式得通解为.3、解:令,则,从而 = ,于是求得方程参数形式的通解为,另外,y=0也是方程的解.4、, 为常数解:令,则,从而 ,于是求得方程参数形式的通解为.5、1解:
7、令,则,从而 ,于是求得方程参数形式的通解为.6、解:令,则,得,所以,从而,于是求得方程参数形式的通解为,因此方程的通解为.习题2.52 解:两边同除以,得:, , 即4解:两边同除以,得 , 令 则, 即, 得到,即, 另外也是方程的解。6 解:, , 得到 即, 另外也是方程的解。8. 解:令 则: 即 得到, 故 即,另外也是方程的解。10 解:令, 即, 而故两边积分得到 ,因此原方程的解为,。 12. 解:, 令 则 , 即 故方程的解为 14 解: 令 则 那么 求得: 故方程的解为 或可写 为 16 解:令 则 , 即方程的解为18 解: 将方程变形后得 同除以得: 令 则 即
8、原方程的解为19.X(解:方程可化为2y( 令27. 解: 令,则, , , 两边积分得 即为方程的通解。另外,即也是方程的解。28. 解: 两边同除以,方程可化为: 令,则 即 , 两边积分得 即 为方程的解。29. 解: 令,则 , ,那么 即 两边积分得 ,即为方程的解。30. 解: 方程可化为 两边积分得 即 为方程的解。31. 解: 方程可化为 两边同除以,得 即 令,则 即 两边积分得 将代入得, 即 故 32. 解: 方程可化为 两边同加上,得 (*)再由,可知 (*)将(*)/(*)得 即 整理得 两边积分得 即 另外,也是方程的解。求一曲线,使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。解: 设为所求曲线上的任一点,则在点的切线在轴上的截距为: 由题意得 即 也即 两边同除以,得 即 即 为方程的解。