《问题导向合作探究模式下的数学教学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《问题导向合作探究模式下的数学教学（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“问题导向-合作探究”模式下的数学教学 -空间线面关系的判定杜根华（无锡市第六高级中学 江苏省无锡 214000）摘要：著名的数学教育家弗赖登塔尔认为，将数学作为一种活动来解释和分析，学习数学唯一正确的方法是让学生进行“再创造”，即数学知识应由学生本人去发现或创造，教师的任务是帮助和引导学生进行“再创造”工作 ，而不是把现成的知识灌输给学生。课前笔者对教学对象、教学目标、教学策略、教学内容进行了精心备课，在充分挖就教材主旨思想方法基础上，对教材进行二次深度开发。利用向量的方法判别空间线线、线面、面面的位置关系，同时比较传统教学方法，分析各自优劣之处。在教学中彰显新课程所倡导的“自主探索，动手实
2、践，合作交流等学习数学的方式，促使学生发挥学习的主动性，让学生的学习过程成为在老师引导下的再创造过程。关键词：直观性 思维论证 向量坐标法 向量几何法1基本情况1.1学情分析授课班级是物化平行班，学生相对来讲，在基本功方面、思维品质方面都不是很出色，所以夯实基础是关键。在平时的教学过程中，笔者重基础、落实基本知识点、基本技能、基本方法。本节课通过学生的直观感知去建构向量和转化为坐标运算，其次，激发学生学习立体几何的兴趣，锻炼其思维，达到熟练掌握向量之间的几何变化。1.2教材分析 本节主要内容是空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符
3、号化”的过程。本节课既对空间共面向量定理和空间向量基本定理的灵活应用，又为后面学习空间角的计算奠定了基础，在本章中起到了承上启下的作用。通过本节课的学习，可进一步认识用向量的方法解决立体几何问题的优越性，更好地培养学生直观判断以及推理论证的能力。1.3设计思路 空间向量为解决立体几何问题提供了一个十分有效的工具。在教立体几何时，首先锻炼学生通过直观判断，去建立空间直角坐标系，其次通过思维论证构建向量和转化为坐标运算。再次也可以利用空间共面向量定理和空间向量基本定理的知识，引导学生回归向量的本质，探究用向量的几何法去解决立体几何。笔者根据学生的学情，在教科书五道例题中选择容易想到的，容易上手的作
4、为例题，先通过直观感受，再通过思维论证去体会空间图形的研究方法。本节课互动方式多样化，思维训练多层次化，采取教师引导、学生探究的方式交替进行。教学目标：1、理解用向量语言来表述空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；2、掌握用向量方法判定空间线线、线面、面面的平行和垂直关系；3、培养学生的探索精神与实践操作的能力。教学重点：建构向量和转化坐标运算的方法去解决线线、线面、面面平行和垂直的关系。教学难点：灵活运用向量法判定空间线线、线面、面面平行和垂直的关系。2过程实录2.1复习回顾师：同学们，前面学习了几个重要的关于空间向量的概念、定理和结论，下面我们一起来回忆。1、两个非零向量，的充要
5、条件是2、设向量的夹角为，则=3、共面向量定理: 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得 4、空间向量基本定理: 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在惟一有序实数组，使 设计意图:这四个小问题起到了承上启下的作用，即对前面所学的知识进行了回顾，也为后面解决空间立体几何图形的位置关系提供了一个十分有效的工具，起到了导向的作用。2.2知识建构2.2.1问题情境问题一：在空间中线线、线面、面面的位置关系主要有哪几种关系？师：在空间中线线关系有哪几种关系呢？生（齐声回答）：平行、相交、异面。师：它们之中哪一种关系最为特殊呢？生（思考片刻）：垂直关系最特殊。师：线
6、面之间有哪些位置关系呢？生（齐声回答）：相交、平行、在平面内师：很好，同学们对这些基本知识掌握的非常熟练。师：在空间中面面的位置又有几种关系呢？生（大声齐答）：两平面平行和相交2.2.2合作探究问题二：如何用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线线、线面、面面位置关系？师：接下来，请同学们按事先分好的小组（每四人一组）进行讨论研究空间中线线、线面、面面平行和垂直之间的位置关系，思考如何利用直线的方向向量和法向量进行刻画？最后请每组派一位代表展示你们的最新研究成果。研究成果展示：（各小组研究成果汇总）表格归纳平行垂直设计意图:激发学生兴趣，形成探究态度。笔者采取小组讨论的互动方式，让每一个学生都
7、处于问题探究中心，由此形成学生合作、互助、交流、研究的学习环境，有效的培养学生热爱数学、积极探究、勇于尝试的良好品质和精神。师：通过同学们大胆猜想，积极思考，动手实践，数形结合分析推理，将原本模棱两可的猜想变为现实清晰的结论，从中体验了数学知识生成的来龙去脉，加深了对数学知识的理解，这样才能更好的加以应用。2.3数学应用例1、如图，在直三棱柱中，,是棱的中点.求证： 问题三：请同学们思考如何应用向量法解决立体几何中的线线垂直问题?生1：要证，只要证,，故只要证明。师：很好。解决这道题目的关键是将这两个向量进行转化，那这种转化到底应用哪个知识呢？生：共面向量定理。师：很好，它的本质是将一个向量转
8、化为两个向量。问题四：如何将一个向量转化为不共面的三个向量线性表示？生：选择以作为基底，先将分别用基底线性表示，然后运用向量的数量积去证明。 师：很好。证明同学们已经把向量之间的转化，掌握的非常熟练，从二维到三维的升华。既然能想到把一个向量转化为一个基底来表示，那么这个基底可不可以选择特殊的基底呢? 问题五：如何通过观察图形的对称性、已有的垂直关系选择特殊的基底？如何用这个向量被这个特殊的基底线性表示？ 生：选择正交基底建立空间直角坐标系。分别以、所在直线,建立空间直角坐标系，然后表示相应点和向量的坐标。 师：这位同学的观察能力非常强。请同学们详细的规范的写出解答过程，加强立体几何书写的规范性
9、 设计意图：本题用了三种方法，但本质都是一样，都是用向量的方法处理立体几何问题.我们把一二两种证法归结为向量的几何法，第三种证法归结为向量的坐标法。鼓励同学们灵活选择适合自己的方法，强调学习立体几何应采用直观感知、思维论证等认识过程，探索空间图形的性质和解决立体几何问题的方法，注重学生思维的训练，加强书写的规范性。例2、如图，已知矩形和矩形所在平面垂直，点分别在对角线，上，且，.求证：平面.BCDAEFMN问题六：如何利用向量法证明这个立体几何中的线面平行关系？生：建立空间直角坐标系。师：您为什么选择向量坐标法？生：因为题目中出现明显的垂直关系。师：漂亮！那如何建系，如何表示向量？生：以所在直
10、线为，建立空间直角坐标系，设, 然后拿出各个点坐标，最后拿出和平面的法向量的坐标。师：这位同学的思路很明确，请这位同学到黑板上来板演，其他学生在讲义上完成。师：请同学们观察自己在书写过程中有没有用到矩形和矩形所在平面垂直这个条件？是不是这个条件没有用？生：在建立空间直角坐标系的时候用到的。师：很好，但必须通过证明立体几何的传统方法来说明互相垂直，体现书写的完整性和规范性。师：同学们有没有发现，在表示坐标时出现了分数形式，那能不能通过改变设法从而使得的坐标没有分数形式呢？ 生：应该假设师：很好。你是怎么想到的呢？你的假设会不会影响到结论呢？生：因为题目中出现的字样，题中的长度与要证的结论无关。
11、师：这位同学的回答非常精辟。选择合理的假设，将会给解题带来很大的便利之处。同学们证到了之后，必须添加不在平面内，加以强调。 设计意图： 通过直观感知让学生在几种方法中选择向量的坐标法，让学生的思维可以展翅飞翔。同时笔者指导学生查阅教材第75页例1，感受教材是如何应用向量的几何法来证明， 体会两种方法的优越性，便于学生选择适合自己的方法。例3、如图，已知正方体求证D1C1. CDBB1A1 EAF问题七：采取同桌之间的合作探究，探讨如何用向量的方法证明面与面的位置关系？生：显然。师：恩，很好，这位同学已经很好的掌握了必修2中利用传统方法解立体几何，那同学们会用向量的方法证明吗？生：只要求平面和平
12、面的法向量。师：分析的很不错，如果结论变为，该如何证明呢？生：就是要证师：有没有其它想法呢？生：证平面的法向量与平行。师：完全正确！课后请同学们将刚才的思路完整的整理在讲义上。设计意图：高中数学新课程倡导自主探索，动手实践、合作交流等学习方式。采取合作探究的方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再发现、再创造”过程。通过学生的实践活动巩固自己的所学的知识。让学生体验用向量法和传统法各自的喜悦和成功。2.4课堂小结师：请同学们回忆下，本节课你学到什么方法解决立体几何？生：本节课我学习了用向量的坐标法和几何法来解决立体几何。师：很好。老师希望同学们熟练掌握这种方法，即
13、要解决规则的图形，又要解决不规则的图形，做到处理立体几何问题应源于传统高于传统，达到各种方法的灵活应用. 2.5布置作业 教科书第94页练习1，3，53教学感悟 本节课首先用直观感知的认识转化为数学符号语言，其次采取多样化的师生互动方式，最后通过思维论证解决实际的立体几何问题，使同学们达到了感性和理性的统一。本节课知识点虽然单调，但在知识单调的背后隐藏着一系列培养学生素养、发展学生数学综合能力的好素材。具体体现在以下几个方面：3.1选材应源于教材，把握学情，加强直观性 教材不仅是传播知识的工具，也是训练和培养学生思维的最好素材。例题具有很强的典范性和示范性，是教材的有机组成部分。本节课教科书上
14、的内容一共有5道例题，但一节课是不可能完成，笔者根据学生的学情和直观性原则选择最适合学生的例题，使学生从直观出发去概括数学现象的本质和规律。笔者选择的三道题从图形的直观角度很容易建立空间直角坐标系，很容易将学生引入用空间向量的方法来解决立体几何，加强了教学的有效性。笔者根据学生的学情和学生掌握知识的能力，将教科书上例题1图形的方向进行了改变，目的是为了让学生直接想到建立空间直角坐标系的方法，并且和我们常见的坐标系的方向一致，让学生熟悉和感知坐标系的作法，体现出直观感知的作用。所以，我们以后上每一节课之前都要源于教材，高于教材，把握学情，对教材中的题目适当删减和变动。3.2注重思维论证和思维递进
15、，体现方法优越性普通高中数学课程标准明确提出：数学思维能力的具体体现在人们学习和运用数学解决问题时，所经历的直观感知、归纳类比、抽象概况、反思构建等思维过程中。这一提法无疑又给我们的课堂教学在思维能力培养方面提供了较为具体的手段和行之有效的措施。本节课对例题1采取了三种方法的讲解，每一种解法要求学生将自己的思考规范的书写在讲义上。问题三到问题五显示出从一个向量被两个不共线的向量表示，到三个不共面的向量表示，再到特殊基底的表示，每一种方法之间体现出思维的递进和方法的优越，体现出二维到三维的思维变化和特殊到一般的数学思想方法。第一种方法运用共面向量定理由一个向量被表示成两个不共线的向量；第二种方法运用空间向量基本定理将一个向量用三个不共面的向量线性表示；第三种方法是利用特殊化的原理，为了使解题更简便，方法更优越，寻找特殊的正交基底，
