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1、高考专题复习资料4 函数与方程1函数零点的概念：对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。2函数零点与方程根的关系：方程有实数根函数的图象与有点函数有零点.因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点3函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。但要注意：如果函数在上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有 注：若恒成立，则没有零点。三【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充（1）若在处其函数值为0，即，
2、则称为函数的零点。（2）变号零点与不变号零点若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。（3）一般结论：函数的零点就是方程的实数根。从图像上看，函数的零点，就是它图像与交点的横坐标。（4）更一般的结论：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数与的图像交点的横坐标。2.函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法1)代数法：函数的零点的根;2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。3)注意二次
3、函数的零点个数问题 有2个零点有两个不等实根; 有1个零点有两个相等实根 无零点无实根; 对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数化为正数，（1）恒成立，恒成立（2）的解集为R； 的解集为R（3）对于二次函数在区间上的最值问题.4.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；二次方程f(x)=0的两根都大于r ;二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根二次方程f(x)=0在
4、区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。5.构造函数解不等式恒成立的问题（1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。（2）恒成立，恒成立（注意等号是否成立）（3）有解，有解（4）在区间上恒成立在上大于06.函数零点个数的确定方法:一元二次方程常用判别式来判断根的个数;一元方程最多有个实数根,一般常用分解因式进行求解;指数函数与对数函数等超越函数的零点个数问题,常用图象进行解决;利用函数的单调性(通过求导来确定函数的单调区间)来判断函数零点的个数.4)对于函数的零点个数问题
5、，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。5)方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。7.用二分法求方程的近似解: (1)二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做
6、二分法;(2) 用二分法求方程的近似解的步骤:确定区间,验证,给定精确度;求区间的中点;计算;()若,则就是函数的零点;() 若,则令(此时零点);() 若,则令(此时零点);判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复至步.例题精讲：例1.求下列函数的零点.(1) ; (2) ; (3)例2.已知函数的两个零点都在内,求实数的取值范围.【例3】函数的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)【例4】求证方程在内必有一个实数根.【例5】（1）若方程在内恰有一解,则实数的取值范围是 .（2）已知函数，若在上存在，使，则
7、实数m的取值范围是 .函数与方程(一)1.方程x-=0的实数解所在的区间是( ) A.(-,-1) B.(-2,2) C.(0,1) D.(1,+)2.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是( )A.0,2 B.0,y C.0, -y D.2,- y3.(2010合肥)方程x2+ax-2=0在区间1,5上有解,则实数a的取值范围是( )4.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表:x123456y-52812-5-10则函数y=f(x)在x1,6上的零点至少有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个5.(2010浙江)已知x0是函数f(x)=2
8、x+的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则( )A.f(x1)0,f(x2)0 B.f(x1)0 C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)06.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)0的解集是_.7.方程xlg(x+2)=1有_个不同的实数根.8.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为_.9.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围.10.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.有且仅有一个零点;有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x
9、-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.函数与方程(二)1.已知函数是偶函数,其图象与轴有四个交点,则该函数的所以零点之和为( )A B C. D 2.设是方程的解,则属于区间( )A. B. C. D.3.（2009天津卷）设函数,则在区间( )A.和内均有零点 B.和内均无零点C.内有零点，在区间内无零点 D.内无零点，在区间内有零点4.今有一组实验数据如下表 1.993.04.05.16.121.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个，近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A. B. C. D. 5.观察下列函数图像，方程在内有解是（ ）6.二次函数的
10、零点为和,且,则满足的条件是( )A.且 B.且 C.且 D.且7.若函数有个不同的零点,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.8. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:则方程的一个近似根(精确到)为( )A. B. C. D.9.方程的实数根的个数是( )个 A. B. C. D.无数多10.已知,是方程的两个根,且,则的大小关系为( )A. B. C. D.11.三次方程在下列哪个区间上有实根( ) A. B. C. D. 12.(2009福建卷)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过,则可以是（ ）A. B. C. D. 13函数对一切实数都满足，并且方
11、程有三个实根，则这三个实根的和为 .第14题14.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量()与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为_.15根据下表中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是 101230.3712.727.3920.091234516.(2009山东卷)若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .17.不用求根公式,求函数的零点的个数,并比较零点与的大小.18.求方程的一个近似解,精确到.19.已知函数的图像在区间上连续，且对应值如下表：(1)判断函数在区间内有几个零点，(2)判断方程的根在哪个以连续整数为端点的开区间内？并说明理由 20.设函数在区间有最小值，求函数的零点.函数与方程(三)1.(2009广州)已知函数则函数 则函数f(x)零点个数为 ()A.1B.2 C.3 D.42(2010昆明)设f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A0,1 B1,2 C2，1 D1,03.设f(x)x3bxc是1,1上的增函数，且f()f( )0的解集是_8.已知函数f(x)2mx4，若在2,1上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是.9.(2009山东高考)若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.10.已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0(0，)，使f
