《线性代数_卢刚1-3章答案]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数_卢刚1-3章答案]（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章线性代数习题解答习题一（A） 1.，.2.由得.3.（1），.（2），为1997年和1998年各种油品的产量之和.，为1998年和1997年各种油品的产量之差.（3），为1997年和1998年各种油品的平均产量.4.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）14；（6）；（7）15.5.（1），.由构成的图形如下：（2）当时，.仿（1）得由构成的图形如下：（由正方形逆时针旋转弧度得到）当时，.仿（1）得由构成的图形如下：（由正方形顺时针旋转弧度得到）6. ，.（1）北美 欧洲 非洲价值重量体积（2）.总价值总重量总体积7.（1）正确.（2）正确.（3）未必正确.8.（1）设与可交换的矩阵为，
2、则由得.即.于是，.解之得.故与可交换的所有矩阵为，其中为任意常数.（2）设与可交换的矩阵为，则由得.即.于是故与可交换的所有矩阵为，其中为任意常数.注：待定系数法是解决此类问题的有效方法之一.9.证 （1），与可交换.（2），与可交换.（3）.10.（1）.（2）令，则，.猜测有如下结论：.下面用数学归纳法证明：当时，结论显然成立；假设当时结论成立，则当时，结论成立.综上知，.注：先根据的前若干项猜测其形式，再用数学归纳法加以证明是求矩阵的幂的常用方法之一.（3）注：务必牢记这个重要的结果！（4）（直接计算即可）令，则，.（5）（直接计算即可）（6）令，则由直接计算知，.猜测有如下结论：下面
3、可利用数学归纳法加以证明，此处从略.11.的第行第列的元素为.的第行第列的元素为.的第行第列的元素为.12.（1）.（2）.注：在矩阵论上称为矩阵多项式.矩阵与其矩阵多项式之间关系密切，将在后续章节陆续介绍.13.（1），.（2），.注：邻接矩阵（adjacent matrix）的概念在运筹学（Operations Research）的一个重要分支代数图论（Algebraic Graph Theory）上有着重要的应用.15.（1）.（2）.（3）.（4）.注：矩阵的“迹”（trace）的概念，特别是矩阵的行列式，迹和特征值的关系：，（见第四章）是历年考研的热门考点.16.（1）（直接计算）1
4、.（2）（按任一行或列展开）12.（3）.（4）.（5）利用P22例6的结论.原.（7）利用P24例8 Van der monde行列式的结论.原.注：务必牢记Van der monde行列式的重要结论！（8）原.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？17.（1）左.解得或.（2）直接按第一行展开.左.解得或.注：解行列式方程的问题可先计算相应的行列式，再解方程.注：牢记结论：！(4)原.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？注：牢记结论：.（2）仿（1）的做法. （2）当时，原；当时，原；当时，原.（4）利用P22例6的结论.原.注：教材提供的参考答案
5、与此稍有 “不同”，这是因为.解得原方程的解为.解得原方程的解为.注：原行列式是阶的!23.（1）利用教材P22例5的结论.注：原行列式是阶的!注：教材P22例5的做法是常用且有效的计算行列式的方法.，.（2），.25.（1）.26.，.27.（1）令，则，故可逆.（2）令，则，故不可逆.（3）令，则，故可逆.（4）令，则，故可逆.注：伴随矩阵法仅在笔算求低阶矩阵的逆矩阵时较为方便.28. （1），.（2），.（3），.（4），.注：也可以利用矩阵的初等列变换求矩阵的逆矩阵：.29.（1）.（3）.注：30和31两题的做法表明：设法得到等式是证明矩阵可逆或求的有效途径.32.（1）在两边同时取
6、行列式得.可逆，故可逆，且.（2）.注：矩阵的伴随矩阵的有关性质是往年考研的热门考点.读者应格外注意如下重要的恒等式：，从它可导出的许多性质.34.，是对称矩阵.35.方法一：.方法二：（数学归纳法）当时，显然成立.设命题对时成立，则.36.（1），.（2），.（3），.注：务必牢记这三种分块矩阵的逆矩阵的形式，特别是（1）和（3）两个结果.37.（1）方法一：，且存在一阶非零子式，秩为1.方法二：，秩为1.（2），秩为3.（3），秩为1.（4），秩为2.（5），秩为3.（6），秩为3.注：求矩阵的秩的方法很多，随着以后各章的学习，读者应注意总结.习题二1、(1)解： (2)解：（3）解：2、
7、(1)解:齐次线性方程组仅有0解，当且仅当系数行列式为0。即:(2)解: 3(1)解:(2)解:无解(3)解:得:解为:4解:齐次线性方程组有非0解的充要条件是系数行列式为0.即:此时解为5解:当时,无解.当时,得:解为:6解:当时,无解当且时,有唯一解.解为:当时,有无穷解:解为7解:设则判断是否由线性表示转为方程组是否有解.能由线性表示 (2)不能由线性表示.(3)8解:设当时,不能由线性表示当时,可由线性表示且表示法唯一.且时,可由线性表示且表示法唯一.9(1) 因为不成比例,所以线性无关.(2) 解: 线性相关.(3) 解:线性无关.10解:当或时,向量组线性相关.11解:(1)设即:
8、 线性无关 系数矩阵 有非零解. 即存在不全为0的使 成立. 线性无关.几何解释:设想为三棱锥的共点的三条棱,则是三棱锥底面上的三条棱.(2)解:设,即 即 线性无关 系数矩阵 仅有0解. 线性无关. 几何解释:见(3)解:设,即 即 线性无关 系数矩阵 有非0解. 即存在不全为0的数使线性相关.几何解释:设想为平行六面体共点的三条棱,则为相应共点三个面的对角线,且三对角线共面.12(1) 证: 第列第列第列第列 第列第列 初等变换不改变矩阵的秩.线性无关.(2) 证:而可逆.而一矩阵乘可逆矩阵,其秩不变.线性无关.13(1) 等价.(2) 不等价,14 证:已知可由线性表示,只要证明也可由线
9、性表示即可: 即只要证可逆 可逆.15证:只需证可由线性表示即可. 线性无关. 又是维向量,而个维向量线性相关. 可由线性表示.16 证:即:即:线性无关.线性无关.17证:线性无关 由不能由线性表示, 线性无关. 由不能由线性表示 线性无关. 由不能由线性表示线性无关.18 证:要证两向量组能相互线性表示,只需证可由线性表示(已知),且 可由线性表示可由线性表示故使其中必有,否则,即可由线性表示矛盾.于是即可由线性表示.19 证:必要性:若线性无关.维向量有线性相关.可由线性表示.充分性:维向量可由线性表示. 可由线性表示. 又必可由线性表示 线性无关.20 证:设是中任取的个线性无关的向量
10、.要证其为极大无关组,只需证中任一向量可由其线性表示.若是中的一个,则显然可由线性表示.若不是中的一个,则是个向量,而线性相关又线性无关可由线性表示.故是极大无关组.21 证: (1)设秩为,极大无关组为. 的秩为,极大无关组为. 于是可由线性表示. 又线性无关, 即.(2) 故22 证:记于是设的秩为,极大无关组为 的秩为,极大无关组为则可由线性表示.即23 证:记于是=即可由线性表示.-即记则=即可由线性表示.24 证:向量组可由向量组线性表示, 向量组可由向量组线性表示,设向量组可由线性表示.于是25 证:记的极大无关组为的极大无关组为则可由线性表示记于是存在阶方阵,使 即:可逆.,即可
11、由线性表示,可由线性表示26.证明：将矩阵则由分块矩阵的乘法： （其中）矩阵的每一个列向量都是齐次线性方程组的解.27.证明：向量秩为28.证明：充分性：若则齐次线性方程组有非零解，不妨设是其中一个非零解，令 必要性：若存在则可知的每一个列向量均为齐次线性方程组的解，因从而有非零列向量，使得，即齐次线性方程组.29.证明：（1）（2）30.解：（1）对作初等行变换：由上可得，是其一个极大无关组，且（2）对作初等行变换：，由上可得，为其一个极大无关组，且.（3）对作初等行变换：，从而为其一个极大无关组.31.解：对作初等行变换：32.解：（1）令分别取，得到原方程组的一个基础解系：，则方程组的全
12、部解可以表为（为任意常数）（2），得到一般解，其中为自由未知量.令分别取，得到原方程组的一个基础解系：则方程组的全部解可以表为（为任意常数）（3）得到一般解，其中为自由未知量，令分别取，得到原方程组的一个基础解系：则方程组的全部解可以表为（为任意常数）33.证明：方程组有解有解时得到一般解，其中为自由未知量令为任意常数），得方程组的全部解，为任意常数）34.解：（1），得到故该方程组无解.（2），方程组有无穷多解.原方程组与同解，其中为自由未知量，令，得特解， 又导出组的一般解为，令，得导出组的一个基础解系，从而原方程组的全部解为，为任意常数）（3）方程组有无穷多解.原方程组与同解，其中其中为自由未知量令，得方程组的一个特解又导出组的一般解为，令分别取，得导出组的一个基础解系则方程组的全部解可以表为（为任意常数）（4）方程组有唯一解，35.证明：的每一个列向量均为齐次线性方程组的解.又中有阶子式不等于0，即存在元素，其代数余子式又齐次线性方程组的基础解系含有一个解向量是的一个基
