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1、1.1 经济管理与数学,日常的经济事务和管理工作离不开数学.,研究经济与管理的问题离不开定性与定量分析 的相互结合与彼此促进.,数学科学与经济科学和管理科学的交叉融合 导出了许多学科.,Nobel经济学奖与数学有不解之缘.,经济管理类专业的学生 学习高等数学知识的积极作用,可以培养定量思维的能力 可以提高逻辑推理能力，有助于明晰地思考问题 有助于专业课的学习、抽象思维的提高，使得学 习经济学和管理学变得容易,1.2 经济管理中的常见函数,一、需求函数,通常需求函数是一个单调减少函数.,Q表示需求量P表示商品价格,常见的需求函数类型,1. 线性需求函数,把 的反函数也称为需求函数,2. 二次需求
2、函数,3. 指数需求函数,二、供给函数,S表示供给量 P表示商品价格 供给函数通常是一个单调增函数.,常见的供给函数类型,1. 线性供给函数,当Q=S时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.,2. 指数供给函数,案例 【鸡蛋的供给】,当鸡蛋收购价为每公斤4.5 元时，某收购站每月能收购 5000公斤。若收购价每公斤 提高0.1元，则收购时可增加400公斤，求鸡蛋的 线性供给函数.,解,由题意有,解得d=4000，c=13000，所求供给函数为,设鸡蛋的线性供给函数为,案例【市场均衡】,已知某商品的需求函数和供给函数分别为 求该商品的均衡价格和均衡数量.
3、,解,解得均衡价格为,将均衡价格代入需求函数，得均衡数量为,由供需平衡条件有,三、总成本函数、收入函数和利润函数,平均成本函数,总收入（益）函数,总利润函数,总成本函数,四、生产函数,为n种要素的投入量,两种投入要素:资本K和劳动L，,则,常见生产函数,1. 线性生产函数,2. Cobb-Douglas生产函数,案例【盈亏平衡点】,玉宏混凝土建筑企业A公司的混凝土 需求函数为P=110-4Q，公司的固定成 本为400(千元)，每生产一个单位的混凝土需增加10个单位的成本，该公司的最大生产能力为18(百吨)，给出其总利润函数并计算盈亏平衡点处的产量及价格.,解,总利润函数为,令,得盈亏平衡时产量
4、 ，价格,收入函数与成本函数分别为,A，B两种产品的需求函数分别为,案例【企业利润】,其中 分别为两产品的价格.,某企业生产A，B两种相互关联的产品，产量分别为 该企业的总成本函数为,求该企业的总利润函数.,解,总利润函数为,联立两产品的需求函数,1.3 边际分析和弹性分析,引例,下表是某个企业总成本C随着产量Q变化的规律， 试进行成本分析.,称为边际成本函数,记为MC,显然MC0.,以总成本函数 为例,其导数,边际成本与平均成本的关系,增加产量将使平均成本增加.,增加产量将使平均成本减少;,由于产量,则当 时，,当 时，,案例【边际收入】,解,边际收入函数为,设某产品的需求量为 ，求边际收入
5、函数，以及 Q=0，50，70时的边际收入函数,收入函数为,笔记本电脑经销商和手机经销商均宣布将商品价格降低100元，试分析其对消费者的影响.,假设笔记本电脑的价格为每台一万元，手机的价格为每部二千元,引例,笔记本电脑降价幅度,手机降价幅度,弹性的一般概念,设函数 在点 处可导，当自变量从 变为 时，自变量相对改变量是 ，函数相对应的相对改变量是,需求价格弹性,反映需求量变动对价格变动的灵敏程度,案例【弹性分类】,设需求函数Q=100(6-P)(0P6).求价格P=1.5,3,4时的需求价格弹性.,解,此时提价1%，需求量只减少0.33%;,此时提价1%，需求量也减少1%;,此时提价1%，需求
6、量将减少2%.,需求弹性分类,特别地，,，称需求完全缺乏弹性；,，称需求完全有弹性.,(1) 设R为总收益函数，证明,案例【需求弹性】,设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数,其需求弹性,(2) 求p=6时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义,解,（1）,将其两边对p求导，得,（2）总收益对价格的弹性为,经济意义：p=6时，价格上涨1%，总收益增加0.54%.,1.4 经济管理的最优化,案例【最小平均成本】,解,平均成本函数为,则在Q=3000时平均成本最小，最小平均成本为,边际成本函数为,案例【销售收入】,一家销售公司批销某种小商品，该公司提供以下的价格折扣：如果订购量不超过50000件，
7、则每千件价格为300元；如果订购量超过50000件，则每超过1千件价格可下浮1.25%.问订单是多大时，该公司的销售收入最大?最大收入是多少?,设订单为Q千件，则Q50时，销售收入为R(Q)=300Q元， Q50时，R(Q)=300-3.75(Q-50)Q元，即,当Q50时,令,得驻点Q=65，而,则Q=65为极大值点,易见0Q65时，R(Q)单调增加且连续,则Q=65是最大值点，即当订单为65000件时,公司销售收入最大. 最大收入为R(65)=15843.75元.,解,案例【最大利润】,设厂商的总收入函数和总成本函数分别为,求利润最大时的产量，产品的价格和利润.,解,利润函数为,所以利润最
8、大时的产出水平是,由总收入函数可得价格函数,利润最大时的价格,案例【税率的制定】,某商家的一种商品的价格为,Q为销售量，商品的成本函数为,若每销售一吨商品，政府要征税 t (万元)，求该 商家获得最大利润时的销售量和价格;,(2) t 为何值时，政府的税收总额最大?,解,(1)商家的税后利润为,(2)政府税收总额为,案例【产品组的定价】,一家牧场出售牛排和牛皮.这两种产品假定是固定比例 的关联产品，每头牛可提供两片牛排和一张牛皮.牛排和 牛皮的需求函数分别为,联合总成本为,牛排和牛皮的价格各定为多少时，总利润最大? 此时屠宰量是多少?,问：,解,总利润函数为,由题意，约束条件为,作拉格朗日函数
9、,案例【广告决策】,（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；,（2）在提供的广告费用为1.5万元的情况下，求相 应的最优广告策略.,解,(1)在广告费用不限的情况下，利润函数为,(2)若提供的广告费用为1.5万元，则问题化为在条件,下求利润函数 L 的极大值.,构造拉格朗日函数,1.5 积分的经济应用,积分是微分的逆运算，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.,设总函数,在区间I上可导，其边际函数为,，,则总函数为,案例【总量函数】,已知某公司独家生产某产品，销售Q单位商品时， 边际收入函数为,(1)公司的总收入函数；,求：,(2)该产品的需求函数.,解,(2)设产品的价格为P，则,得需
10、求函数为,(1)总收入函数为,案例【收入流的现值】,某企业想购买一台设备，该设备成本为5000元。T年后该设备的报废价值为S(t)=5000-400t元，使用该设备在t年,时可使企业增加收入850-40t（元）。若年利率为5%，计算连续复利，企业应在什么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？,解,T年后总利润的现值为,T年后总收入的现值为,案例【价格竞争模型】,问题描述,两个液化气站彼此激烈竞争。甲液化气站某天突然实行“降价销售” ，吸引走很多乙液化气站的顾客。乙液化气站为挽回流失的顾客决定马上降价。如何确定合适的价格，既可以同甲液化气站竞争，又可以获取尽可能多的利润？,问题分析,建立一
11、个描述“价格战”的价格竞争模型，并站在乙液化气站的立场为其制定对策。,x 乙液化气站的销售价格(元/瓶)； y 甲液化气站的销售价格(元/瓶)； W 液化气的成本价格(元/瓶)； L 乙液化气站在价格战之前的销售量(瓶/年)； P 液化气的正常销售价格(元/瓶)。,引入一些变量指标：,其中，P由其他液化气站的一般销售价格确定，定为常数。,建立模型,乙液化气站的销售量受以下各因素影响：.,乙液化气站的销售量为：,乙液化气站的利润函数为：,(1) 两液化气站之间的销售价格之差； (2) 乙液化气站的销售价格与正常价格之间的差值 (3) 甲液化气站的销售价格与正常价格之间的差值,模型求解,将y作为输入参数，x作为变量：,模型检验,用以下数据检验上面模型：,注意：价格竞争前的利润为 (40-30)20000.,
