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1、材料力学,(Chapter Thirteen),第十三章 能量方法,(Energy Method),主讲：罗松南教授,第十三章 能量法 (Energy Methods),13-1 概述（Introduction),13-2 杆件应变能的计算 ( Calculation of strain energy for various types of loading ),13-3 互等定理（Reciprocal theorems),13-6 单位荷载法 莫尔定理 (Unit-load method & mohrs theorem),13-4 卡氏定理(Castiglianos Theorem),13-
2、7 计算莫尔积分的图乘法 (The method of moment areas for mohrs integration),13-5 虚功原理(Principle of virtual work ),13-1 概述（Introduction),在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量，称为弹性变形能，简称变形能.,一、能量方法 (Energy methods ),三、变形能（Strain energy),二、外力功（Work of the external force),固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功.,利用功能原理
3、U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.,可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功. 对于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.,U = W,四、功能原理（Work-energy principle),The formula:,（Work-Energy Principle),We will not consider other forms of energy such as thermal energy, chemical energy, and electromagnetic energy. Therefore,
4、 if the stresses in a body do not exceed the elastic limit, all of work done on a body by external forces is stored in the body as elastic strain energy.,13-2 杆件变形能的计算 ( Calculation of strain energy for various types of loading ),一、杆件变形能的计算( Calculation of strain energy for various types of loading
5、),1、轴向拉压的变形能（Strain energy for axial loads),此外力功的增量为：,当拉力为F1 时，杆件的伸长为l1 当再增加一个dF1 时，相应的变形增量为d(l1),P,l,F,l,F,o,l,积分得：,根据功能原理,当轴力或截面发生变化时：,U = W , 可得以下变形能表达式,（单位 J/m3),比能 （ Strain energy density) ： 单位体积的应变能. 记作u,当轴力或截面连续变化时：,2、扭转杆内的变形能（Strain energy for torsional loads),或,纯弯曲（pure bending ),横力弯曲 (nonu
6、niform bending ),3、 弯曲变形的变形能 （Strain energy for flexural loads),4、组合变形的变形能（Strain energy for combined loads),截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立， 力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功.,5、纯剪切应力状态下的比能 （ Strain energy density for pure shearing state of stresses ),假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下移动 dx.,因为很小，所以在变形过程中， 上、下两面上的外力将不作功. 只有右侧
7、面的外力(dydz) 对相 应的位移 dx 作了功.,当材料在线弹性范围内工作时，上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为,比能为,将 = G 代如上式得,等直圆杆扭转时应变能的计算,将,代入上式得,二、变形能的普遍表达式 (General formula for strain energy),F-广义力（generalized force) 包括力和力偶(include force and couple),-广义位移 (generalized displacement) 包括线位移和角位移 (include normal displacement &angular displacem
8、ent),B,C,假设广义力按某一比例由零增至最后值对应的广义位移也由零增至最后值.,对于线性结构，位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移，例如 2可表示为,C1F1，C2F2，C3F3 分别表示力 F1 , F2, F3 在 C 点引起的竖向位移.,C1，C2，C3 是比例常数.,2 与 F2 之间的关系是线性的.,同理 ，1 与 F1， 3 与 F3 之间的关系也是线性的.,在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功, 克拉贝隆原理（只限于线性结构）,三、变形能的应用（Application of strain energy),1、计算变形能(Calculating strain energ
9、y),2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection),例1 试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度.,解：,由U=W 得,例2 试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度.,解：,由 U=W 得,例3 试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移. 已知EI 为常量.,解：,由 U=W 得,例题4 拉杆在线弹性范围内工作. 抗拉刚度 EI ，受到F1和F2 两个力作用.,若先在 B 截面加 F1 ， 然后在 C 截面加 F2 ；,若先在 C 截面加 F2 ， 然后在 B 截
10、面加 F1.,分别计算两种加力方法拉杆的应变能.,(1) 先在 B 截面加 F1，然后在 C 截面加 F2, 在 B 截面加 F1， B截面的位移为,外力作功为, 再在C上加 F2,C截面的位移为,F2 作功为, 在加F2 后，B截面又有位移,在加 F2 过程中 F1 作功（常力作功）,所以应变能为,(2) 若先在C截面加F2 ，然后B截面加F1., 在C截面加F2 后， F2 作功, 在B截面加F1后， F1作功, 加 F1引起 C 截面的位移,在加F1 过程中F2作功（常力作功）,所以应变能为,注意：,(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别.,应变能 U只与外力的最终值有关，
11、而与加载过程和加载 次序无关.,梁中点的挠度为,梁右端的转角为,梁的变形能为,先加力 F 后，再加力偶 Me, 先加力 F后，C 点的位移,力 F 所作的功为, 力偶由零增至最后值 Me,B 截面的转角为,力偶 Me 所作的功为,先加上的力F所作的功为,C截面的位移为,F与力偶 Me所作的功为,两力作用点沿力作用方向的 位移分别为,F1 ， F2,1、设在线弹性结构上作用力,1 ， 2,一、功的互等定理（ Reciprocal work theorem ）,13-3 互等定理（Reciprocal Theorems ),F1 和 F2 完成的功应为,2、在结构上再作用有力,F3 ，F4,沿 F
12、3和 F4方向的相应位移为,3 , 4,F3 和 F4 完成的功应为,3、在 F3和 F4的作用下，F1 和 F2 的作用点又有位移,F1 和 F2 在 1和 2上 完成的功应为,，,因此，按先加 F1，F2 后F3，F4 的次序加力，结构的应变能为,若按先加 F3 ，F4 后加 F1 ， F2 的次序加力，又可求得结构的 应变能为,由于应变能只决定于力和位移的最 终值，与加力的次序无关,故,功的互等定理（ Reciprocal work theorem ）： 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功， 等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.,二、位移互等定理（Reciprocal dis
13、placement theorem),若第一组力 F1，第二组力只有 F3，则,如果 F1= F3 ，则有,位移互等定理(reciprocal work theorem) ： F1作用点沿 F1 方向因作用 F3而引起的位移等于F3 作用点 沿 F3 方向因作用 F1而引起的位移. (The deflection at A due to a load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load acting at A ),三、注意（notice),1、力和位移都应理解为广义的.,2、这里是指结构不可能发生刚性
14、位移的情况下，只是由变形 引起的位移.,设弹性结构在支座的约束下无任何 刚性位移.,作用有外力：,F1 ，F2 ， ，Fi ， ,相应的位移为：,1 ， 2 ， ， i ， ,13-4 卡氏定理(Castiglianos Theorem),结构的变形能,只给 Fi 一个增量 Fi .,引起所有力的作用点沿力方向的位移增 量为,在作用 Fi 的过程中， Fi 完成的 功为,原有的所有力完成的功为,结构应变能的增量为,如果把原来的力看作第一组力，而把 Fi 看作第二组力.,根椐互等定理,略去高阶微量,或者,当 Fi 趋于零时，上式为,这就是 卡氏第二定理(Castiglianos Second T
15、heorem )（卡氏定理） (Castiglianos Theorem),(1) 卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies) .,说明 (Directions),(2) Fi 为广义力（generalized force) i 为相应的位移(displacement corresponding to force Fi ) .,卡氏第二定理的应用 ( Application of castiglianos second theorem ), 轴向拉、压(Axial tension and compression), 扭转(Torsion), 弯曲 (Bending), 平面桁架 (Plane truss), 组合变形(Combined deformation), 位移与力的作用方向一致时 为正。,例题14 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI.梁材料为线弹 性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.,F,A,B,C,l,a,RA,AB：,BC：,A,B,C,l,a,RA,F,解：,A,B,C,l,a,RA,F,例题15 刚架结构如图所示 .弹性模量EI已知。材料为线弹性. 不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平 位移.,A,B,C,D,a,a,2a,Me,解 : 在C截面虚设一力
