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1、第九章 压杆稳定,Chapter9 Buckling of Columns,材料力学,Mechanics of Materials,主讲人：罗松南教授,第九章 压杆稳定 （Buckling of Columns ）,9-1 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns),9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Eulers Formula for other end conditions ),第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为,例 一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。 钢的许用应力为=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能 承受的轴
2、向压力为,F = A = 3.92 kN,91 压杆稳定的概念 (The basic concepts of columns),实际上,其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而 是与受压时变弯有关。当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就 突然发生明显的弯曲变形,丧失了承载能力.,一、引言 (Introduction),工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。,二、工程实例（Example problem）,内燃机、空气压缩机的连杆,案例1、上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏(Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge) 190
3、7年8月29日，发生稳定性破坏,由于悬臂桁架中的一根压杆失稳，造成桥梁倒塌，9000吨钢材变成一堆废墟。 85位工人死亡,成为上世纪十大工程惨剧之一.,三、失稳破坏案例 (bucking examples),案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼,由于盲目扩建,加层,致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏,大楼倒塌,死502人，伤930人，失踪113人.,案例3 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳，造成屋顶模板倒塌,死6人,伤34人.,研究压杆稳定性问题尤为重要,目录,薄壁圆筒的局部失稳,结构的其它失稳形态,压杆的稳定性试验,目录,1、平衡的稳定
4、性（Stability of equilibrium ）,四、压杆稳定的基本概念 (The basic concepts of columns),随遇平衡,2、弹性压杆的稳定性 (Stability of Equilibrium applies to elastic compressive members),稳定平衡状态,临界平衡状态,不稳定平衡状态,确定压杆的临界力 Fcr,压杆稳定的静力学定义,稳 定 平 衡压杆 能 恢复到原直线状态的平衡,不稳定平衡压杆不能恢复到原直线状态的平衡,失 稳,注意：,临界压力不是力，它是压杆所具有的维持稳定平衡能力的一个力学指标。,压杆丧失其直线状态平衡而过
5、渡到曲线状态平衡的现象,压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力临界值,临界压力是否是作用在杆上的力？,屈 曲,压 杆 的 临界压力,(buckling),（Fcr ）,五、稳定问题与强度问题的区别(distinguish between stable problem and strength problem),平衡状态,应 力,平衡方程,极限承载能力,直线平衡状态不变,平衡形式发生变化,达到限值,小于限值 sss,变形前的形状、尺寸,变形后的形状、尺寸,实验确定,理论分析计算,9-2 两端绞支细长压杆的临界压力 (The Critical Load for a straight, uniform
6、, axially loaded, pin-ended columns),m,m,x,y,B,m,x,m,w,B,x,y,l,M(x)=-Fw,Fcr,该截面的弯矩,杆的挠曲线近似微分方程,压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移,（a),(b)式的通解为,（A、B为积分常数）,m,m,x,y,B,w,边界条件,由公式(c),讨论,若 则必须,令 n = 1, 得,这就是两端铰支等截面细长受压 直杆临界力的计算公式（欧拉公式）,m,x,m,B,x,y,F,w,挠曲线方程为,挠曲线为半波正弦曲线。,例题,解：,截面惯性矩,临界力,按强度条件,屈服压力,1、两端绞支（Pin-ended column）
7、,2、一端固定,另一端铰支 （Fixed-pinned column）,C 为拐点,9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 (Eulers Formula for other end conditions ),3、两端固定 (Fixed-fixed column),C，D 为拐点,4、一端固定 一端自由 （Fixed-free column）,两端铰支,一端固定,另一端铰支,两端固定,一端固定,另一端自由,表91 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式, = 1, = 0.7, = 0.5, = 2,欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Fo
8、rmula), 为压杆的长度系数,为相当长度,5、讨论（discussion), 为长度系数, l 为相当长度,（1）相当长度 l 的物理意义,压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当 长度 l 。, l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于 半波正弦曲线的一段长度。,问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？,y=f (x),y,z,x,z=f (x),y,x,xz平面内弯,xy平面内弯,z,绕z轴转动,截面绕y轴转动,临界压力公式中的I是对哪根轴的I？,Fcr维持微弯平衡状态最小的压力,各方向约束情况相同时：,为常数，IImin 最小形心主惯性矩,各方
9、向约束情况不同时：,使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。,朝哪个方向弯,（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I,若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。,z,y,x,取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力。,若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰）， 应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力。 I 为其相应中性轴的惯性矩。,即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力。 然后取小的一个作为压杆的临界压力。,x,z,F,l1,F,例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近
10、于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。,l2,l2,z,y,22,12,6,6,24,解：,在 xy平面内失稳时，z 为中性轴,在 xz平面内失稳时，y 为中性轴,z,y,22,12,6,6,24,压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 平衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算。,9-4 欧拉公式的应用范围经验公式 (Applicable range for Eulers formula the experimental formula ),一、临界应力 (Critical
11、stress),欧拉公式临界应力 (Eulers critical stress),按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为,为压杆横截面对中性轴的惯性半径, 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度、 杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。, 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算 压杆的临界应力 cr 。,二、 欧拉公式的应用范围 (Applicable range for Eulers formula),只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公
12、式计算压杆的 临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。,或,令,即 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。,当 1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式。 此时需用经验公式,1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，P=200MPa，得,三. 常用的经验公式 ( The experimental formula),式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出。,2 是对应 直线公式 的最低线。,直线公式,的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式,或,令,1）大柔度杆（Long columns） 2）中柔度杆（Intermediate col
13、umns ） 3）小柔度杆（Short columns）( 2),四. 压杆的分类及临界应力总图 (Classification of Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio ),1、压杆的分类（Classification of Columns ）,2、临界应力总图,0 2 称为小柔度杆，cr = s,2 1 称为中柔度杆，cr = a b ,a、 b与材料性质有关的常数,曲线 A、B、C、D 称为临界应力总图， 越大， cr 越小，Pcr = cr A 越小，越容易失稳。,例题1 图示各杆
14、均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材 料及直径相等。问哪个杆先失稳。,B,C,解：,杆A,杆B,杆C,B,C,例2 截面为 120mm200mm 的矩形木柱，长l =7m，材料的弹性模量E = 10GPa， p = 8MPa。其支承情况是：在屏幕平面内失稳时柱的两端可视为固定端(图a)；若在垂直于屏幕平面内失稳时，柱的两端可视为铰支端(图b)，试求该木柱的临界力。,解：由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？从临界应力总图，我们知道， 越大，越容易失稳。, 两端固定, y = 0.5, 计算 y z,在屏幕平面绕 y 轴失稳时,在垂直于屏幕
15、平面内绕 z 轴失稳时, 两端铰支, z = 1, z y, 如果木柱失稳，将在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳。,z 1 应采用欧拉公式计算,例题3 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰 支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。试求,（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；,（2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界 应力。,已知： E = 200 GPa， P = 200 MPa ， S = 240 MPa ， 用直线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa。,解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度,压杆 = 1,（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?,用直线公式计算,1. 稳定性条件 (The stability condition),2.计算步骤 (Calculation procedure),计算最大的柔度系数max (2)根据max 选择公式计算临界应力,根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷,9-5 压杆的稳定校核 (Check the stability of columns),1.压杆稳定计算 稳定安全系
