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1、,材 料力学,第五章 弯曲应力,2019年9月24日,51 概述,52 纯弯曲时的正应力,53 横力弯曲时的正应力,54 弯曲切应力,55 提高梁强度的主要措施,第五章 弯曲应力,51 概述,一、平面弯曲,纵向对称面,P1,P2,5.1 概述,二、纯弯曲,图示梁 AB 段横截面上只有弯矩，而无剪力，该段梁的弯曲称为纯弯曲。,CA与BD 段横截面上即有弯矩，又有剪力，该两段梁的弯曲称为横力弯曲。,5.1 概述,52 纯弯曲时的正应力, 实验现象,一、变形几何关系,5.2 纯弯曲时的正应力, 纵向直线代表一层纤维，变形后为平行曲线。每层变成曲面，同层纤维变形相同。,下层纤维受拉伸长，上层纤维受压缩
2、短；层间变形连续，中间必有一层即不伸长也不缩短，称为中性层。, 横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度，且仍与纵线正交。,5.2 纯弯曲时的正应力, 基本假设, 平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形后的轴线正交；, 层间纤维无挤压。,5.2 纯弯曲时的正应力,纵向线bb变形后的长度为:,bb 变形前的长度等于中性层,纵向线bb的应变为,即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面 高度呈线性分布。,中性层长度不变, 所以,3、变形几何关系,5.2 纯弯曲时的正应力,2、物理关系,由胡克定律有:,即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高
3、度呈线性分布。,5.2 纯弯曲时的正应力,3、静力学关系,对横截面上的内力系，有:,根据静力平衡条件，有,，,5.2 纯弯曲时的正应力,由:,z 轴通过形心,即：中性轴通过形心。,由:,因为y轴是对称轴，上式自然满足。,5.2 纯弯曲时的正应力,EIz 梁的抗弯刚度,将上式代入,由:,计算中，一般根据计算点在受拉一侧或受压一侧直接确定应力的正负。,5.2 纯弯曲时的正应力,在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。,令:,式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。,5.2 纯弯曲时的正应力,53 横力弯曲时的正应力,横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应力使横截面发生翘曲，横向力引
4、起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。,弹性力学的精确分析表明当梁的跨度与高度之比大于5时仍可用纯弯曲公式，误差小于5 %。,5.3 横力弯曲时的正应力,一、公式的应用范围,1、在弹性范围内,3、平面弯曲,4、直梁,2、具有切应力的梁,二、强度条件：,5.3 横力弯曲时的正应力,强度条件的应用,(2)设计截面,(3)确定许可载荷,(1) 强度校核,对于铸铁等 脆性材料 制成的梁,需满足,5.3 横力弯曲时的正应力,例5.1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a150mm，压板材料的弯曲许用应力140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.,【解】
5、(1) 画弯矩图,(2) 求惯性矩，抗弯截面系数,(3)求许可载荷,5.3 横力弯曲时的正应力,例5.2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为c =160MPa.已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度.,5.3 横力弯曲时的正应力,【解】,B截面,C截面,5.3 横力弯曲时的正应力,画出弯矩图,例5.3 图示圆截面梁，直径d=200 mm，材料的容许正应力=10 MPa。试校核该梁的强度。,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,【解】,画剪力图和弯矩图,5.3 横力弯曲
6、时的正应力,此梁满足正应力强度条件。,例5.4 直径为 d 的钢丝绳缠绕在直径为 D 的圆柱上，已知钢材料的屈服极限为 ，若使钢丝绳缠绕后不产生塑性变形， D 的最小值应为多少？,【解】,5.3 横力弯曲时的正应力,例5.5 图示叠合梁，不计摩擦，求梁的应力。,【解】,即,解得,5.3 横力弯曲时的正应力,如 ，则,粘接后，,5.3 横力弯曲时的正应力,相差2倍,思5.1 图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。,思5.2 简支梁受均布荷载，求梁下边缘的伸长量。,5.3 横力弯曲时的正应力,思5.3 我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h
7、:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,目录,5.3 横力弯曲时的正应力,54 弯曲切应力,横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。,一、矩形截面切应力,基本假设：, 截面上各点切应力与剪力同向；, 切应力沿截面宽度均匀分布。,5.4 弯曲切应力,在梁上截一微段dx ，再在微段上用水平截面mn 截一微元。,Fs,Fs,M,M+dM,1,1,2,2,dx,m,n,1,dx,2,m,n,z,y,h/2,5.4 弯曲切应力,1,dx,2,m,n,z,y,h/2,1,2,y,y1,b,dA,FN1,FN2,1,2,dx,m,n,y,x
8、,z,平衡条件：,5.4 弯曲切应力,y,y1,b,dA,N1,N2,1,2,dx,m,n,y,x,z,同理得,因,于是得,得,代入平衡方程得,5.4 弯曲切应力,式中 为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。,横截面各点切应力沿截面高度呈抛物线分布。,5.4 弯曲切应力,5.4 弯曲切应力,假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为,二、工字形截面的切应力,腹板的切应力,5.4 弯曲切应力,b 腹板的厚度, 距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩.,5.4 弯曲切应力,5.4 弯曲切应力,假设,(a)沿宽度kk上各点处的剪应力均
9、汇交于o点.,(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.,在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切.,三、圆截面梁,最大剪应力发生在中性轴上,5.4 弯曲切应力,四、 圆环形截面梁,图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为 ,环的平均半径为r0,由于 r0 故可假设,(a)横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化.,(b)剪应力的方向与圆周相切.,式中 A=2r0 为环形截面的面积,横截面上最大的剪应力发生中性轴上,其值为,z,y,r0,5.4 弯曲切应力,五、强度条件,需要校核切应力的几种特殊情况,（1）梁的跨度较短,M 较小,而FS较大时,要校核剪应力；,（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高
10、度比小于型钢的相应比值时,要校核剪应力；,（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核剪应力。,5.4 弯曲切应力,实心矩形截面梁正应力与切应力的比较,所以，对实心截面梁通常不需要校核剪切强度。,5.4 弯曲切应力,例5.6 图示简易起重设备，F = 30 kN.跨长l = 5 m.吊车大梁AB由20a工字钢制成，许用正应力=170MPa,许用剪应力= 100MPa ，试校核梁的强度.,【解】吊车梁可简化为简支梁,力 F 在梁中间位置时有最大正应力 .,(a)正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,5.4 弯曲切应力,在计算最大剪应力时,应取荷载F在紧靠任一支座
11、例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.,据此校核梁的剪应力强度,以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.,5.4 弯曲切应力,【解】,例5.7 简支梁AB如图所示.l2m,a0.2m.梁上的载荷为q10kN/m,F200kN.材料的许用应力为=160MPa,100MPa,试选择工字钢型号.,(2) 由最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表,选用22a工字钢,其Wz309cm3,5.4 弯曲切应力,(1) 画内力图.,（3）校核梁的切应力,腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN,查表得,max超过很多，应重选更大的型号.现已25b工字钢进行试
12、算,所以应选用型号为25b的工字钢.,5.4 弯曲切应力,例5.8 (书例5.4)已知：由木板胶合而成的梁。求：胶合面上沿x方向单位长度的剪力。,【解】,无法直接用公式。,取一微段dx：,5.4 弯曲切应力,取一微段dx：,与推导切应力公式相同，有,5.4 弯曲切应力,例5.9 铆钉直径d，剪切许用应力求铆钉间距S。,【解】,5.4 弯曲切应力,55 提高梁强度的主要措施,梁的设计主要依据正应力强度条件，即,由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最大弯矩Mmax和增大抗弯截面模量Wz来考虑。,5.5 提高梁强度的主要措施,1、合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l
13、时,一、减小最大弯矩,5.5 提高梁强度的主要措施,2、合理地布置梁的荷载,5.5 提高梁强度的主要措施,二、增大Wz,1、合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,5.5 提高梁强度的主要措施,工字形截面与框形截面类似.,2、合理的放置,5.5 提高梁强度的主要措施,2、对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧.,三、根据材料特性选择截面形状,1、对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面,要使y1/y2接近下列关系:最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,5.5 提高梁强度的主要措施,四、采用等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力, 则称为等强度梁.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,5.5 提高梁强度的主要措施,但靠近支座处，应按剪应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上面确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.,5.5 提高梁强度的主要措施,5.5 提高梁强度的主要措施,本章到此结束 谢谢!,
