工程力学张定华)ch11

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1、第11章 质点的运动,小结,11.1 用矢量法表示点的运动,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,11.4 质点动力学基本方程,11.5 动静法,1.运动学是从几何的角度研究物体的运动，不考虑运动和作用力之间的关系；而动力学则研究作用于物体上的力和该物体运动状态变化之间的关系。,引言,3.物体在空间的位置及其运动必须相对于某给定的物体来确定，这个给定的物体称为参考体。固连在参考体上的坐标系称为参考系。在不同的参考系中同一物体表现为不同的运动形式，因此对运动的描述具有相对性。在研究大多数的工程实际问题时，总是将固连于地球上坐标系作为参考系，称为静

2、参考系或定参考系。,2.运动是物质存在的形式，物质与运动不可分割。因而运动是绝对的。,引言,4.在描述物体的运动时，常用到瞬时和时间间隔的概念。瞬时是指物体在运动过程中的某一时刻，用 表示，它对应于运动的瞬时状态。而时间间隔则是指两个瞬时相隔的时间，用 表示，它对应于运动的某一过程。,11.1 用矢量法表示点的运动,11.1.1 点的运动方程 动点运动时，矢径r的大小、方向随时间t而改变，故矢径r可写为时间t的单值连续函数 r=r(t) (11.1) 式（11.1）为动点矢量形式的运动方程，其矢端曲线称为动点的运动轨迹。,11.1 用矢量法表示点的运动,11.1.2 点的速度 速度是表示点运动

3、快慢和方向的物理量。 设瞬时t,动点在M处，其矢径为r（t）,经过t时间后，动点运动到处，其矢径为r（t+t）。动点在t时间内的位移为 。 由此可得动点在t时间内的平均速度为,当t趋于零时，可得动点在瞬时t的瞬时速度（简称速度）,(11.2),11.1 用矢量法表示点的运动,即动点的速度等于动点的矢径对时间的一阶导数。 说明： 1.动点的速度是矢量。动点速度的方向为其轨迹曲线在 M点的切线方向并指向运动的一方。 2. 速度的单位为m/s。,11.1.3 点的加速度,加速度是表示点的速度对时间变化率的物理量.,11.1 用矢量法表示点的运动,设在某瞬时t, 动点在位置M , 速度为v , 经过时

4、间间隔t , 点运动到 处, 速度为 ,在t 内, 动点速度的改变量为 。, 与对应时间间隔t 的比值 表示点在t内速度的平均变化率，称为平均加速度，即,当时间间隔t 时，平均加速度 趋向一极限矢量 ，称为点在瞬时t的瞬时加速度，简称为点的加速度。,11.1 用矢量法表示点的运动,由于 ，因此上式写成,（11.3）,即点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，或等于它的矢径对时间的二阶导数。加速度的单位为m/s2。,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,11.2.1 点的直角坐标运动方程,由图11.1知，动点 的位置可用动点 的位置坐标x,y,z 来表示，设i,j,k 分别为沿x,y,z三

5、个坐标轴正向的单位矢量，则矢径r可表示为,（11.4）,当点运动时，坐标x, y, z都是时间t的单值连续函数,即,（11.5）,式（11.5）称为动点 的直角坐标运动方程。从式（11.5）中消去时间t, 可得到动点 的轨迹方程。,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,椭圆规机构,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,例 11.1,如图所示的椭圆规机构中，已知连杆AB长为 ，连杆两端分别与滑块铰接, 滑块可在两互相垂直的导轨内滑动， ， ，求连杆上点 的运动方程和轨迹方程。,解： 以垂直导轨的交点为原点，作直角坐标系Oxy, 如图（4）所示，得,11.2 用直角坐标法表示点的速度和

6、加速度,将 代入上式，得点M的运动方程：,从运动方程中消去时间t，得点M的轨迹方程：,上式表明，点M的运动轨迹为一椭圆。,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,11.2.2 点的速度在直角坐标轴上的投影,将式（11.4）代入式（11.2），注意到i, j, k为不随时间变化的常矢量，得,速度在坐标轴上投影的表示式可写成,（11.6）,（11.7）,比较上述两式，得,（11.8）,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,式（11.8）表明，动点速度在各坐标轴上的投影，分别等于对应的位置坐标对时间的一阶导数。速度的大小及方向余弦为,（11.9）,11.2.3 点的加速度在直角坐标轴上的投

7、影 将式（11.7）代入加速度公式（11.3），得,(11.10),11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,加速度矢量可表示为,由此可得,（11.11）,式（11.11）表明，动点的加速度在各坐标轴上的投影，分别等于对应的速度投影对时间的一阶导数，或等于对应的位置坐标对时间的二阶导数。,加速度的大小及方向余弦为,（11.12）,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,解：（1）建立直角坐标系如图所示： （2）建立销钉A的运动方程 。,销钉A与滑杆一起沿水平轨道运动，其运动方程为,（3）建立销钉A的速度方程： 将运动方程对时间t 求导，得销钉A

8、的速度方程：,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,（3）建立销钉A的加速度方程：,将速度方程对时间t求导，得销钉A的加速度方程：,例11.3 已知炮弹的运动方程为,求: (1)初始时的速度和加速度； (2)炮弹达到最大射击高度与射程。,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,解：（1）将运动方程对t求导得,初始时t=0,解得,11.2 用直角坐标法表示点的速度和加速度,（2）当vy=0时，炮弹达到最大射击高度，vy=400-10t, 求得炮弹达到最高点的时间t =40s，将t 值代入y得 y=400 (40) 5 (40)2=8000m （最大射击高度） 令y =0， 求得t =0

9、, t =80s。 而t =0为初始时，t =80s为炮弹最后落地的时间，即飞行时间。将t =80s代入x得 x=30080=24000m （最大射程）,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,11.3.1 自然轴系,说明：切向轴 和 法向轴的单位矢量若分别用和表示，与直角坐标系中 不同， 和 的方向随动点 在轨迹上的位置的变化而变化，是变矢量。动点的速度、加速度在自然轴系上的投影称为自然坐标。,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,11.3.2 用弧坐标建立点的运动方程,设动点 沿已知轨迹运动，要确定动点 的位置，只须知道任意瞬时 点在轨迹曲线上的位置。在轨迹上选一固定点 为坐标原

10、点，将其两侧分别规定为正、负方向，这样动点 在轨迹上的位置就可以用点 沿轨迹到点 的弧长 来表示。 称为弧坐标。,当动点 沿轨迹运动时，它的位置随着时间而变化，即 是 的单值连续函数，即动点沿已知轨迹的运动方程为：,（11.13）,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,11.3.3 用自然坐标表示点的速度,如图所示，在瞬时 ，动点 的矢径为 ，经时间间隔 ，动点 沿已知轨迹运动至 处，其矢量为 。矢量的增量称位移，点 的位移 与弧坐标增量 相对应。,由式（11.2）知，点的速度为：,令,由高等数学知识，可以证明：,（11.14）,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,式（11.14

11、）表明，速度在切向轴上的投影，即速度的大小等于点的弧坐标对时间的一阶导数，即,（11.15）,说明：,1.当 0时，速度与同向；当 0时，速度 与 反向。 2.当用弧坐标表示的点的运动方程已知时，利用式（11.15）可直接求出点的速度大小并判断其方向。,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,11.3.4 用自然坐标表示点的加速度,将点的速度 代入式（11.3），得,(11.16),在自然轴系中，加速度 可表示为,（11.17）,式中， 和 分别称为点的切向加速度和法向加速度。 和 分别为点的加速度在切向轴和法向轴上的投影。,讨论： 1） 切向加速度 ：,故,因,（11.18）,当 0时，

12、切向加速度方向与 相同，反之相反 。,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,式（11.18）表明，点的切向加速度的大小 等于点的速度大小 对时间的一阶导数，也等于点的弧坐标 对时间的二阶导数。,说明：,当点的运动方程已知时，利用式（11.18）可直接求出点的切向加速度的大小并判断其方向。,在自然轴系中，点的速度为切向矢量，点的切向加速度也为切向矢量，故点的切向加速度反映的是速度大小的瞬时变化率。,2）法向加速度 ：,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,因,如图所示，在瞬时 ，动点 上的自然轴系的单位矢量为 和 。经过时间间隔 ，自然轴系随动点 移至 ，此时的切向单位矢量为 ，其增

13、量为 。,由数学中几何关系和微积分知识， 可以证明：,（ 为曲线在点 M 的曲率半径）,此外，当 时 ，,。 的极限方向与 垂直，且指向曲线在点 的,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,曲率中心，即自然轴系法向轴单位矢量 的方向。,综上所述，矢量 的大小为 ，方向为 ，可表示为 ，代入法向加速度公式，得,（11.19）,式（11.19）表明，点的法向加速度的大小 等于点的速度大小 的平方与对应点轨迹曲率半径 之比；法向加速度的方向，由于 恒为正值，故始终指向该点轨迹的曲率中心。,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,在自然轴系中，点的速度为切向矢量，而点的法向加速度为法向矢量，故

14、点的法向加速度反映的是速度方向的瞬时变化率。 法向加速度越大，速度方向变化得越快；反之，速度方向变化的越慢。 当点作直线运动时，点的法向加速度恒为零，点的速度方向将保持不变。 3）全加速度 在自然轴系中，点的加速度称为全加速度，记为 ， 有全加速度 ，即点的全加速度等于其切向加速度与法向加速度的矢量和，它所反映的是速度矢量 （包括大小和方向）的瞬时变化率。 全加速度 的大小和方向可由下式得出。,说明：,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,（11.20）,式（11.20）中， 为全加速度 a 与法向轴正向n 所夹锐角，a在 n 的哪一侧，由 的正负决定，如图所示。,11.3 用自然坐标法

15、表示点的速度和加速度,例11.4,已知点沿半径R=5m的圆周运动，其运动方程为 ，其中S的单位为米，t的单位为秒，试求t=0、1、2秒时的位置、速度和加速度。,解：由公式,当t=0时， S0=-1m v0=3m/s t=0,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,速度的方向沿圆周的切线，并指向轨迹的正向。 切向加速度的方向沿圆周的切线，指向轨迹的正向。 法向加速度的方向指向曲率中心。,当t=1s时， S1=3m v1=6m/s t=6m/s2,当t=2s时， S2=13m v2=15m/s t=12m/s2,11.3 用自然坐标法表示点的速度和加速度,步骤1：以套环M为研究对象，其运动轨迹以O1为圆心、R为半径的圆。取圆环上的M0点为弧坐标原点，并规定沿轨迹的逆时针方向为弧坐标的正方向，建立弧