《2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教a版选修2_22018032045》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教a版选修2_22018032045（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 反 证 法,主题 反证法 1.鲁迅先生在论证“作文没有秘诀”时叙述:如果作文有秘诀,则就有许多祖传作家,由于不存在许多祖传作家,所以,作文没有秘诀.鲁迅先生运用的是数学中的哪种思想? 提示:运用的是反证法的思想.,2.用反证法证明命题“若p,则q”的第一步是什么? 提示:第一步是否定结论,即若p,则q.,结论: 1.反证法的定义 假设原命题_(即在原命题的条件下,_不成 立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错 误,从而证明了_成立,这样的证明方法叫做反证 法.,不成立,结论,原命题,2.反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾 可以是与_矛盾,
2、或与_矛盾,或与_、 _、_、_矛盾等.,已知条件,假设,定义,定理,公理,事实,【微思考】 1.我们常说“否定之否定即为肯定”,你能说明反证法中的否定之否定的两个否定分别是指什么吗? 提示:第一个否定是指“否定结论”即假设,第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.,2.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗? 提示:有关,反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假一致”,即:“PQ”“QP”.,【预习自测】 1.下列命题不适合用反证法证明的是 ( ) A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交 B.两个不相等的角不是对顶角 C.平行四边形的对角线互相平分 D.已
3、知x,yR,且x+y2,求证:x,y中至少有一个大于1,【解析】选C.A中命题条件较少,不足以正面证明;B中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D中命题是“至少型”命题,其结论包含多个结论,而反设只有一个结论.,2.“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定正确的为 ( ) A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数,【解析】选D.自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:(1)3个都是奇数;(2)2个奇数,1个偶数;(3)1个奇数,2个偶数;(4)3个都是偶数,所以否定正确的是a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数.
4、,3.用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a,b,c中无偶数”,正确的假设为_. 【解析】a,b,c中无偶数,即a,b,c都是奇数,反设应是“a,b,c中至少有一个偶数”. 答案:a,b,c中至少有一个偶数,4.用反证法证明命题“x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时应假设为_. 【解析】将结论否定. “xa且xb”的否定是“x=a或x=b”. 答案:x=a或x=b,5.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求 证: 不成等差数列.,【证明】假设 成等差数列,则,类型一 用反证法证明否定性命题 【典例1】设an是公比为q(q0)的等比数列,Sn是它的前n项和,求证:数列S
5、n不是等比数列.,【解题指南】本题为否定性命题,可以考虑用反证法证明.,【方法总结】 反证法常用结论的反设词,【拓展延伸】反证法的适用范围 (1)否定性命题. (2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的. (3)当命题成立非常明显,而要直接证明所用的理论太少,且不容易说明的.,(4)要讨论的情况多或者复杂,而反面情况少或者简单的. (5)问题共有n种情况,现要证明其中有一种情况成立时,可以想到用反证法把其他的(n-1)种情况都排除,从而肯定这种情况成立.,【巩固训练】求证:对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=ax(
6、a为常数)对称.,【证明】假设存在实数k,使得A,B关于直线y=ax(a为常数)对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直. (2)点A,B在直线l:y=kx+1上.,当k2=3时,l与双曲线仅有一个交点,不合题意. 由,得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2, 由知x1+x2= ,代入,整理得ak=3,这与矛盾. 所以假设不成立,故不存在实数k,使得A,B关于直线 y=ax(a为常数)对称.,【补偿训练】平面内有四个点,任意三点不共线. 证明:以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.,【证明】假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三
7、角形,四个点为A,B,C,D. 考虑ABC,则点D有两种情况:在ABC内部和外部.,(1)如果点D在ABC内部(如图(1),根据假设知围绕点 D的三个角ADB,ADC,BDC都小于90,其和小于 270,这与一个周角等于360矛盾. (2)如果点D在ABC外部(如图(2),根据假设知BAD, ABC,BCD,ADC都小于90,即四边形ABCD的内角 和小于360,这与四边形内角和等于360矛盾. 综上所述,可知假设错误,题中结论成立.,类型二 用反证法证明“至多”“至少”问题 【典例2】已知a-1,求证三个方程:x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0
8、中至少有一个方程有实数 解.,【解题指南】假设三个方程都没有实根,从而三个判别式都小于0,求出a的范围,这与已知a-1矛盾,从而否定假设,肯定结论.,【证明】假设三个方程都没有实根,则三个方程中:它们的判别式都小于0,即:,- a-1,这与已知a-1矛盾,所以假设不成立,故 三个方程中至少有一个方程有实数解.,【延伸探究】 1.将本例改为:已知下列三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+ (a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根, 求实数a的取值范围.,2.将本例条件改为“三个方程中至多有2个方程有实数根”,求实数a的取值范围.,【方法总结】用反证法证明“至多”“
9、至少”等有关命题的两个关注点 (1)反设情况要全面,在使用反证法时,必须在假设中列出与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的. (2)常用题型:对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时,常用反证法.,【补偿训练】1.已知x,y0,且x+y2. 求证: 中至少有一个小于2.,【证明】假设 都不小于2, 即 2, 2. 因为x,y0,所以1+x2y,1+y2x.,所以2+x+y2(x+y),即x+y2与已知x+y2矛盾. 所以 中至少有一个小于2.,2.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b
10、确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.,【解题指南】利用反证法,否定命题的结论,利用0,由三个同向不等式求和推出矛盾.,【证明】假设题设中的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线都与x轴没有两个不同的交点), 由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b 得1=(2b)2-4ac0,2=(2c)2-4ab0,3=(2a)2-4bc0,同向不等式求和得:4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0, 所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20, 所以a=b=c,这与题设a,b
11、,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.,类型三 用反证法证明“唯一性”命题 【典例3】若函数f(x)在区间a,b上的图象连续,且f(a)0,且f(x)在a,b上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.,【解题指南】先由函数零点存在性定理判定函数在(a,b)内有零点,再用反证法证明零点唯一.,【证明】因为f(x)在a,b上的图象连续,且f(a)0,即f(a)f(b)0,所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)=0. 假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)=0,则nm.,若nm,则f(n)f(m),即00,矛盾; 若nm,则f(
12、n)f(m),即00,矛盾. 因此假设不正确,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.,【方法总结】巧用反证法证明唯一性命题 (1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时,由于反设结论易于推出矛盾,故常用反证法证明.,(2)用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法.用反证法证题时,如果欲证明命题的反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立.,(3)证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个方面,即存在性和唯一性.,【拓展延伸】合理使用反证法 什么情况下用
13、反证法,应依据问题的具体情况而定,不要乱用反证法.一般来说,当非命题比原命题更具体、更明确、更简单,易于推出矛盾时,才用反证法. 运用反证法证题时,还应注意以下三点:,1.必须周密考查原结论,防止否定有所遗漏. 2.推理过程必须完全正确,否则,不能肯定非命题是错误的. 3.在推理过程中,可以使用已知条件,推出的矛盾必须很明确,毫不含糊.,【巩固训练】 已知直线m和直线a和b分别交于点A,B且ab,求证:过a,b,m有且只有一个平面.,【证明】因为ab, 所以过a,b有一个平面. 又ma=A,mb=B, 所以Aa,Bb, 所以A,B,又Am,Bm,所以m. 即过a,b,m有一个平面 假设过a,b,m还有一个平面异于平面. 则a,b,a,b,这与ab,过a,b有且只有一个平面相矛盾.因此,过a,b,m有且只有一个平面.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)用反证法反设的三个关注点 正确分清题设和结论. 对结论进行正确否定. 对结论否定后,找出其所有情况.,(2)反证法证明的常见问题 反证法可以证明的命题的范围非常广泛,一般常见的有:唯一性问题,无限性问题,肯定性问题,否定性问题,存在性问题,不等式问题,等式问题,函数问题,整除问题,几何问题等.,
