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1、1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比等）就不随位置坐标而变化。4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一
2、步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。2-1 已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。解：1、 相容条件：将形变分量带入形变协调方程（相容方程）其中 所以满足相容方程，符合连续性条件。2、 在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为3
3、、平衡微分方程其中 若满足平衡微分方程，必须有分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件，若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。例2-2 如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力（水的密度为），顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件。解：根据在边界上应力与面力的关系左侧面：右侧面：上下端面为小边界面，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件。上端面额面力向截面形心O简化，得到面力的主矢量和主矩分别为 y=0坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号相反；应力主矩与面力主矩的转向相反。所以下端面的面力向截面形心D简化，得到主矢量和主矩为y=l坐标面，应力主矢
4、量、主矩的符号与面力主矢量、主矩的符号相同。所以分析：1、与坐标轴平行的主要边界只能建立两个等式，而且与边界平行的应力分量不会出现。如在左、右侧面，不要加入或。2、在大边界上必须精确满足应力边界条件，当在小边界（次要边界）上无法精确满足时，可以应用圣维南原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简化。应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判断，二者方向一致时去正号，反之取负号。2-8试列出题2-8图（a），题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。解： 图（a） 图（b）1、 对于图（a）的问题在主要边界上，应精确
5、满足下列边界条件： 在小边界（次要边界）上，能精确满足下列边界条件： 在小边界（次要边界）上，有位移边界条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时， 2、 对于图（b）所示问题在主要边界上，应精确满足下列边界条件： 在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，在小边界（次要边界）上，有位移边界条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，2-17 设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F,如题2-17所示，体力可以不计。根据材料力学公式，写出弯应力x和切应力xy的表达式，并取挤压应力y=0，然
6、后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解：1、 矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的玩具方程为，横截面对z轴(中性轴)的惯性矩为，根据材料力学公式，弯应力；该截面上的剪力为,剪应力；并取挤压应力。2、 经验证，上述表达式能满足平衡微分方衡也能满足相容方程再考察边界条件：在的主要边界上，应精确满足应力边界条件： 能满足。在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力条件。因此，它们是该问题的正确解答。例3-1 如图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取应力函数求简支梁的应力分量
7、（体力不计）。解：1、相容条件：代入应力函数，得：由此得于是应力函数可改写为2、应力分量表达式3、考察边界条件：确定应力分量中的各系数联立求解以上各式，得再根据简支梁的端面条件确定常数D,F。由圣维南原理得可得再带入式（f）得4、应力分量表达式例3-2 图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其宽度取为1，右端固定、左端自由，荷载分布在自右端上，其合力为P（不计体力），求梁的应力分量。解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M（x）与截面位置坐标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设x=1xy (a)式中1的为
8、待定常数。将式（a）对y积分两次，得=16xy3+yf1x+f2(x) (b)式中的f1x，f2(x)为x的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程4=0，得 d4f1(x)dx4y+d4f2(x)dx4=0上式是y的一次方程，梁内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，即d4f1(x)dx4=0，d4f2(x)dx4=0积分上二式，得f1x=2x3+3x2+4x+5f2x=6x3+7x2+8x+9式中2-9为待定的积分常数。将f1x，f2x代入式（b），得应力函数为=16xy3+2x3+3x2+4x+5y+6x3+7x2+8x+9. (c)(2)应力分量的表达式 x
9、=1xy,y=62y+6x+23y+7 xy=-121y2-32x2-23x-4(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力之和为P，得边界条件xx=0=0 ,自然满足；xyy=h=0 ,得-1h22-32x2-23x-4=0;上式对x的任何值均应满足，因此得2=3=0，-1h22-4=0，即4=-1h22yy=h=0，得66x+27=0X取任何值均应满足，因此得6=7=0.-hhxyx=0dy=-hh-121y2-1dy=-p将式（e）代入上式积分，得-hh121y2-121h2dy=p计算得 1=-3P2h3=-PIz, 1=-121h2=12PIzh
10、2其中Iz=12h312=2h3/3,横截面对Z轴的惯性矩。最后得应力分量为 x=-PIxxy,y=0 xy=-P2Ixh2-y23-3 试考察应力函数=F2h3xy3h2-4y2能满足相容方程，并求出应力分量(不计体力),画出题3-2图所示矩形体边界上的面力分布(在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩)，指出该应力函数所能解决的问题。 解 （1）相容条件：将代入相容方程4x4+24x2y2+4y4=0,显然满足。（2）应力分量表达式x=-12Fh3xy,y=0,xy=-3F2h1-4y2h2(3)边界条件：在y=h/2主要边界上，应精确定满足应力边界条件yy=h/2=0, xy=-3F2h1-
11、4y2h2=0在次要边界x=o, x=l上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件 -h/2h/2xx=0,ldy=0 (a) -h/2h/2xx=0ydy=0,-h/2h/2xx=lydy=-Fl (b) -h/2h/2xyx=0,ldy=-F (c)对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）(b)、(c)可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂在自由端受集中力作用的问题。3-6 如题3-6图所示的墙，高度为h,宽度为b,hb,在两侧上受到均布剪力q的作用，试用函数=Axy+Bx3
12、y求解应力分量。解：（1）相容条件将应力函数代入相容方程4=0，其中4x4=0，4y4=0，4x2y2=0。很显然满足相容方程。（2）应力分量表达式x=2y2=0,y=2x2=6Bxy,xy=-2xy=-A-3Bx2(3)考察边界条件，在主要边界x=b/2上，各有两个应精确满足的边界条件，即xx=b2=0,xyx=b2=-q在次要边界y=0上，yy=0=0, yxy=0而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替-b/2b/2yxy=0dx=0.(4)把各应力分量代入边界条件，得A=-q2 ,B=2qb2应力分量为x=0,y=12qb2xy,xy=q21-12x2b
13、23-7 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，lh 如题3-7图所示，试用应力函数=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。lh,=1解（1）相容条件将=Axy+By2+Cy3+Dxy3代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式x=2y2=2B+6Cy+6Dxy,y=2x2=0,xy=-2xy=-A+3Dy2(3) 考察边界条件，在主要边界y=h/2上，各有两个应精确满足的边界条件yy=h2=0,yxy=h2=0得A+34Dh2=0 (a)在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替。注意x=0是负x面，由此得-h/2h/2xx=0dy=-FN，得B=-FN2h;-h/2h/2xx=0ydy=-M,得C=-2Mh3-h/2h/2xyx=0dy=-Fs,得Ah+14Dh3=Fs (b)由式（a）(b)解出A=-3Fs2h,D=-2Fsh3最后一个次要边界条件（x=l上）,在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的
