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1、15两条直线的交点张文涛学习目标1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标2能通过解方程组判断两条直线的位置关系3了解过定点直线系的方程一、夯实基础基础梳理1对于直线：，：，借助斜率的关系可以推导出：（1）与平行或重合_由（1）知（2）与相交_2两条直线的交点两条直线：，：，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的_；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是和的_，因此，、是否有交点，就看、构成的方程组是否有_3两条直线的位置关系我们可以通过求方程组的解来判断两条直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线，的公共点个数一个无数个0个直线，的位置关系相交重合平
2、行基础达标1判断下类各对直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标（1）：0（2）：2已知两直线：，：，则当_时，两直线相交；当_时，两直线平行；当_时，两直线重合3过点作与直线垂直的直线，则垂足坐标为_ABCD4不论取什么值，直线与都不能（）A平行B相交C垂直D重合5直线：与直线的交点位于第一象限，求的值二、学习指引自主探究1探宄过两直线交点的直线给出方程（为常数）问题1：表示什么图形？（直线，圆，还是？）问题2：当取何值时，表示直线？能表示直线吗？问题3：可求得两直线，的交点是，点满足方程吗？结论：表示过：与：交点即定点的直线可设为，不含直线总结提高：若：、：相交于，则方程_表示过与交点的直线
3、（不含直线）2点关于直线的对称问题（1）点关于轴的对称点的坐标为_；关于轴的对称点的坐标为_；关于的对称点的坐标为_；关于的对称点的坐标为_思考：如何证明两个已知点关于某直线对称？（2）点关于直线的对称点的坐标的求法：设所求，则的中点一定在直线上直线与垂直，即（注意到分母不能为0）（3）直线关于直线的对称直线方程的求法：在已知直线上找两点（若相交则其中一点可以是交点）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；轨迹法：在所求直线上任取一点，找到关于对称轴的对称点并代入已知直线思考：如何求两条两直线的对称轴？3直线关于点（或直线）的对称问题用轨迹的观点求直线方程：（1）求直线：关于点对称
4、的直线的方程设为上任意一点，则将该点关于的对称点为_，这个点一定在直线上，代入得_，即为的方程，与的关系是_（2）求直线：关于轴对称的直线的方程设为上任意一占为，则将该点关于轴的对称点为_，这个点一定在直线上，代入_，即为的方程（3）求直线关于直线对称的直线的方程设为上任意一点，则将该点关于的对称点为_，这个点一定在直线上，代入_，即为的方程案例分析1已知直线：，（1）求证：无论为何值时直线总经过第一象限；（2）为使这直线不过第二象限，求的范围【解析】（1）方程可化为，令，可得，直线总经过第一象限内的定点（2）方法一：时直线不过第二象限当时直线方程化为：，不过第二象限解得综上所述，时，直线不过
5、第二象限方法二：由于直线过定点，得旋转直线可知，当时，轴时且过点，符合题意当时，即综上所述，时，直线不过第二象限2直线与直线，分别交于点，若的中点是，求直线的方程【解析】设过的直线的方程为或，；，由，得此时所求直线为对于直线，它和两已知直线的交点分别是和，显然不满足中点是点的条件综上可知，所求直线方程为说明：本题只求了、点的横坐标，利用，如果是将、点的坐标都求出来，则计算量太大本题还可以这样做，设所截得的线段为，的坐标为，由中点公式得，将、的坐标分别代入直线方程可解得，于是得直线3三条直线，不能围成三角形【解析】三条直线不能围成三角形其中两条直线平行或重合，或三条直线交于同一点若与平行，则；若
6、与平行，则；若与平行，则值不存在；若与及共点，则或综上可知，值为4，4当直线与曲线有3个公共点时，实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】由得画出函数的图象，并将轴绕着原点沿逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点的过程中，相应的直线（不包括过点的直线）与该函数的图象都有三个不同的交点，再进一步旋转就没有三个交点了，因此选A三、能力提升能力闯关1直线经过两直线和的交点，且过点则的方程是（ ）ABCD2若直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点（ ）ABCD3（1）已知直线：，求点关于的对称点（2）求直线：关于直线：对称的直线的方程拓展迁移4入射光线在直线：上，经过轴反射到直线上，再经过轴反射到直线上
7、，则直线的方程为（ ）ABCD5（1）一条光线经过点，射在直线上，反射后，经过点，求光线的入射线和反射线所在的直线方程（2）光线沿直线：射入，遇直线：后反射，求反射光线所在的直线方程挑战极限6已知的两条高线的在直线的方程为和，顶点，求：（1）边所在直线的方程；（2）的面积课程小结理解通过方程组的解研究两条直线的公共点的思想要会求点关于直线的对称点的方法直线关于直线对称可利用点关于直线对称为解决，直线关于点对称可利用中点公式解决理解轨迹法求直线方程的思想两条直线的交点一、夯实基础基础梳理.（）（）解，交点，唯一解基础达标（）解方程组，得与相交，交点是（）解方程组，得方程组无解，所以两直线无公共点
8、，说明：本题考查学生是否会用解方程组的方法来解决两直线位置关系问题.（）；（），（）.（）（,）.方法一：联立方程求得交点，由，可得方法二：画出直线和直线，由于过定点，旋转直线，并观察二、学习指引.问题：表示直线问题：；不能表示直线问题：点满足方程总结提高：，；思考：如何证明两个已知点关于某直线对称？答：从两个方面：（）证明两个点的中点在直线上；（）证明这两点所确定的直线与对称轴垂直思考：如何求两条直线的对称轴？答：从两个方面：（）证明两个点的中点在直线上；（）证明这两点所确定的直线与对称轴垂直思考：如何求两条两直线的对称轴？答：可以用轨迹法，设对称轴上任意一点，根据到两直线的距离相等得到方程
9、.（），平行且到的距离相等（），即（），即三、能力提升.设的方程为，即，则解得的方程为.由于直线与直线关于点对称，故直线恒过定点.（）设关于直线的对称点为，即又的中点在直线上，由解得，关于直线的对称点的坐标为（）方法一：由知直线与的交点坐标为，设直线的方程为，即在直线上任取一点，由题设知点到直线、的距离相等由点到直线的距离公式得，解得（舍去），直线的方程为方法二：设所求直线上一点，则在直线上必存在一点与点关于直线对称由题设：直线到直线垂直，且线段的中点在直线上，变形得，代入直线，得，整理得所以所求直线方程为.（）入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线对称设点关于直线对称点的坐标为，因此的中
10、点在直线上，且所在直线与直线垂直所以，解得反射光线经过、两点，反射线所在直线的方程为由得反射点入射光线经过、两点两点，入射线所在直线的方程为点评：（）入射光线和反射光线所在直线关于直线对称，（）求点关于直线的对称点，通常都是根据直线垂直于直线，以及线段的中点在直线上这两个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点的坐标（）方法一由得反射点的坐标为又取直线上一点，设关于直线的对称点，由可知，而得中点的坐标为，点在上，由得根据直线的两点式方程可得的方程为方法二：设直线上任意一点关于直线的对称点为，则又的中点在上，由可得点的坐标满足，代入方程中，化简得即为所求反射光线所在的直线方程（）点不在两条高线上，从而、边所在直线斜率分别为和可得、的直线方程为，由得，同理得边所在直线方程是（），点到边的高为，的面积是工厂搬迁对于一个企业来说，安全问题始终是第一位的，也是最基本的，过程中所涉及到的安全问题主要是人员的安全和设备拆装以及财产的安全。各部门经理和所有员工一定要以安全为核心，开展各项工作，职责到人、分工明确。
