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1、江西稳派大联考数学理科卷第卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1.已知i是虚数单位,且,则复数 ( )A.2i+1 B.2i1 C. D. 1.B 由,知,所以,所以.2.已知向量,则向量共线的一个充分不必要条件是( )A.x= B.x=或0 C. D. 2.D由,当x=-1时,故此时,但反之不成立,故选D.3.已知函数 ,则函数f(x-1)的定义域为( )A.1,3) B.1,3 C.-1,1) D. 3.A依题意得 ,故在f(x-1)中,令令,解得得.4.在平面直角坐标系xOy中,角的终边与单位圆交
2、于点A,点A在第二象限,且点A的横坐标与纵坐标之比为-,则的值为( )图形不标准,明显不满足点A的横坐标与纵坐标之比为-(将图删掉,没图也能做出此题,孙)A. B.0 C.1 D. 4.C由题意可知,所以5.若圆C1:与圆内切,则的最大值为( )A. B. C. D.85.A 圆C1的标准方程为(,圆,因为两圆内切,所以,.所以基本不等式(这个不是基本不等式,是不等式链,我将文字都删掉,也行),当且仅当时等号成立,当且仅当时等号成立,即a+b的最大值为6. 已知实数a的值由如图程序框图算出,设满足约束条件,则的最小值是( )A. B.-1 C. D. 开始6输出a结束否是K=0,a=10a=a
3、+KK=K+26.B 第1次循环,;第2次循环,a=-8+4=-4;第3次循环,a=-4+6=2,K,此时满足条件则输出,故a=2,即目标函数为,其几何意义是点删过可行域内的点点P(x,y)与定点M(-1,2)的直线的斜率值, 平面区域的三个顶点分别为A(2,0),B(0,1),C(2,1),易求得直线MA,MB,MC的斜率分别为 ,-1, ,其中最小的为-1,故的最小值是-1,故的最小值是-1.7.等差数列中的是函数的极值点,且,则使的前n项和取得最大值的n为( )A.1008 B.1009 C.1008,1009 D.20147.A 因为,而为f(x)的极值点,所以,由知,故 为数列的最后
4、一个正数项,所以的最大值为.8. 一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )“主(正)视图”改为“主视图”,左(侧)视图改为“左视图”(对照了江西历年的高考卷,都是这样标注的,主要是考虑教材版本问题,故这个不需要改动) A.4+ B. .4+ C. .4+2 D.以上都不对8.B 显然由三视图我们易知该几何体下面是一个长、宽、高分别为2,2,1的长方体,上面为一个圆柱体斜截所得的半个圆柱体,其底面圆半径为1,圆柱高为2,故所求几何体体积为.9.抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现已知抛物线的焦点为,过抛物线上点的切线为,过点作平行于轴
5、的直线,过焦点作平行于的直线交于,则的长为( )A B C D9.C 如图所示,由抛物线的光学性质可知:,又,,所以,则带上绝对值符号,所以.图形不标准,注意:10. 如图,在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体,点是线段上的动点,设M(0,x,x),点到直线距离为d,则d关于x的函数d=f(x)的图像大致为( )A. B图象对应修改C D10. A 由题意,设由题意,(),直线的一个单位方向向量,由,故点到直线的距离.由复合函数单调性可知,函数d=f(x)在上为减函数,在上为增函数,对照各选项,只有A符合.第卷二、填空题:本大题共5小题,每小题25分11. 在2014年1月8日是传统的腊八节,
6、大家开始购买年货,某淘宝网店趁势推出了“抢红包”的促销活动,已知每人有5次抢红包机会,每次可得到1至30元不等的红包.甲、乙二人在这5次抢红包活动中获得的红包金额的茎叶图如图所示:图象中的数据排列不整齐若甲5次获得红包金额的均值为,乙5次获得红包金额的均值均值为,则= 11.3.43.4 甲、乙二人5次获得的红包金额的均值分别为: ,12. 已知的展开式中的所有系数的和为16,则展开式中的常数项为 ,12.81 ,令可得,展开式中的所有系数之和为,所以,令可得,的展开式中的常数项为.,所以.第12题比第11题简单,建议更换位置13. 若f(x)=在区间上的最大值为m,则f(x)在区间上的最小值
7、为 (用含m的代数式表示)13.4028m 易判断均为奇函数,所以函数g(x)= 为奇函数,所以,由奇函数的性质可知,所以14.若f(n)表示n2-1(nN)的各位数字之和,如152-1=224,2+2+4=8,f(15)=8,记f1(n)=f(n),f2(n)=ff1(n),fk+1(n)=ffk(n),kN,则 14.847 52-1=24,,由此可得当k2时,若k为奇数,则若k为偶数,则故删. 15.(理)选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分。(1)已知直线l的参数方程为(其中t为参数),曲线C的极坐标方程为.则直线l与曲线C的交点的极径(取正值)
8、为 .15.(1) 1, 曲线C的极坐标方程化可化为,化为普通方程为,即,直线l的普通方程为 ,联立直线与圆的方程可求得交点为,易求得这两点的极径分别为1,. (2)若存在实数x,使不等式a0 成立,则a的最小值为 15.(2)-2 令f(x)= ,不等式a0有解,而故f(x)min=,即,,所以a的最小值为2.三解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(本题满分12分)在中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,且2013改为2014 , .(1)求的值;(2)若,求向量 在方向上的射影投影(对照 了2013年江西高考卷,上面用的也是射影,故这里不改动)
9、.16.解:(1)因为A+B+C=,所以2013改为2014,(2分)即,所以.因为,且,所以,(4分)因为 所以 (6分) (2)由(1)可得由正弦定理得因为ba,所以BA,所以B=,(8分)根据余弦定理,有,即,即 ,解得c=,或c=3-(舍去).(10分)所以向量在方向上的射影投影为. (12分)17.(本小题满分12分)已知正项等比数列的前n项和为Sn,公比为q,若,且10是的等差中项.(1)求的通项公式;(2)数列满足,记数列的前n项和为,若对于任意的,恒有,试求的取值范围.17.解:由可得,改为即,又数列为正项等比数列,故q=2.由10是的等差中项可得,即, , 的通项公式为 (6
10、分)(2)由(1)得,由(1)得, , 两式相减得,.(9分)第一个改为, (10分)若n为偶数,则;若n为奇数,则.(12分)18.(本小题满分12分) 2013年11月27日,国家假日办公布了2014年假期的三套方案.为了了解老师对假期的看法,某中学对全校300名教师进行了问卷调查(每人选择其中的一项),得到如下数据:所持态度喜欢方案A喜欢方案B喜欢方案C三种方案都不喜欢人数(单位:人)609012030(1)若从这300人中按照分层抽样的方法随机抽取10人进行座谈,再从这10人中随机抽取3人探讨学校假期的安排,求这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人的概率;(2)若(1)所抽取的10
11、人,对学生的寒假放假时间(15天或20天,每人选择其中的一项)进行投票,规定:若这10人中有7人或7人以上都支持其中的一项,则规定寒假放假的天数为对应的投票天数,若这两种情况的投票数都达不到7票,则规定放假25天,求该校寒假放假天数的分布列与期望值(精确到整数天).18.解:(1)根据分层抽样可知,这10人中,“喜欢方案A”,“喜欢方案B”,“喜欢方案C”,“三种方案都不喜欢”的人数分别为:2,3,4,1.设“这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人”为事件M,从10人中任选3人,选法共有种,其中事件M包含的情况有:,则=; (6分)()设该校放假天数为X,则X的可能取值为15,20,25.
12、且,所以,X的分布列为X152025P则X的期望值为:(天). (12分)19.(本小题满分12分)已知直角梯形的下底与等腰直角三角形的斜边重合,(且AB=2CD=2BC(如图1),将此图形沿AB折叠成直二面角,连结EC、ED,得到四棱锥E-ABCD(如图2) 图1 图2(1)线段上是否存在点,使/ 平面?若存在,求出;若不存在,说明理由 (2)在(1)的条件下,求平面ABE与平面FBD的夹角的余弦值.19.解:(1)假设存在点F,使EC/平面FBD,连结AC交BD于点G,补充图象则由EC/平面FBD,得EC/FG,所以.(3分)因为AB/CD,所以,所以.(5分)即存在点F,使/ 平面,此时
13、.(6分) (2)过点E作EOAB于点O,因为平面平面,平面平面,平面平面且 ,所以平面,所以 由两两互相互相垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 补充图象(7分)因为三角形为等腰直角三角形,所以,设,则,.所以 ,平面的一个法向量为设平面FBD的一个法向量为,则,又,所以,令x=3, 得,(10分)所以即平面ABE与平面FBD的夹角的余弦值为(12分)20.(本小题满分13分) 已知椭圆的离心率为,椭圆上的点P与两个焦点 构成的三角形的最大面积为1(1)求椭圆的方程; (2) 若点Q为直线x+y-2=0上的任意一点,过点Q作椭圆C的两条切线QD、QE(切点分别为D、E),试证明动直线DE恒过一定点,并求出该定点的坐标.解:(1)当点P为短轴的端点时,的面积最大,于是有 解得,所以椭圆C的方程为 .(4分)(2) 设D(x1,y1),E(x2,y2), 又设切线QD的方程为:y-y1=k(x-x1),由得 ,从而,解得, (6分)因此QD的方程为y-y1,整理得,又点D(