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1、 第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：1. 若随机变量 的分布函数为与则a ,b取值为（ ）时，可使F(x)=a-b为某随机变量的分布函数。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2 分析：由分布函数在的极限性质，不难知a,b应满足a-b=1,只有选项A正确。 答案 选：A2. 设 X(x),且 (-x)= j(x),其分布函数为F(x),则对任意实数a, F(-a)=( )。 A.1-d B. - d C.F(a) D.2F(a)-1分析：是偶函数，可结合标准正态分布来考虑； d F(a)F(0)；F(0)0.5；F(a)F(-a)
2、=1 答案 选：B3.设XN(,),则随着的增大，P(|X-|)（ ）。A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 答案 选：C4.设随机变量X与Y均服从正态分布，XN(,16)，YN(,25),记PX4=,PY+5=,则（ ）正确。A.对任意实数，均有= B. 对任意实数，均有 答案 选： A5. 设是随机变量且，则对任意常数，（）成立。分析： 答案 选：由，得 显然二：题空题1. 设在每次伯努里试验中，事件A发生的概率均为p,则在n次伯努里试验中，事件A至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率为（ ）。 答案 填：(1-(1-p); (1-p)+np(1-p)由伯努里概型
3、的概率计算公式，据题意可知，事件A至少发生一次的概率为或，事件A至多发生一次的概率为=+2. 设随机变量Y在区间1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为（ ）。 分析：方程有实根当且仅当0，即|Y|2,则P(|Y|2)=d=0.8 答案 填：0.8 3. 设 X ，对X的三次独立重复观察中， 事件 X 0.5出现的次数为随机变量Y,则PY=2=( )。 分析：PX0.5=0.25,Y服从B(3,0.25)分布,则PY=2= 答案 填: 4. 设XB(2,p),YB(3,p),且PX1=,则PY1=( )。 分析：由PX1=1-PX=0=，可得p=,则PY1=1-PY=0= 答案 填：5.设随
4、机变量X服从均值为10，标准差为0.02的正态分布，设（x）为标准正态分布函数，已知（2.5）=0.993 8,则X 落在区间（9.95,10.05）内的概率为（ ）。分析：P9.95x10.05=P9.95-10x-1010.05-10=P-2.5(x-10)/0.022.5=(2.5)-(-2.5)= 2(2.5)-1=2*0.9938-1=1.9876-1=0.9876 答案 填：0.98766. 设随机变量X的概率密度为 若k使得P X k =2/3,则k的取值范围是（ ）。分析： 答案 填：1，37. 设随机变量Xf(x)=,-x+,则X F(x)=( )。 答案 填： 分析：当x0
5、时，F(x)=dd当x0时，F(x)=ddd8. 设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。 答案 填：分析：当0y4时，此时，=注：由于Y=在(0,4)内是单调函数，可直接用公式做！9. 设X的分布函数 ,则A=( ),P (|x| ) =( )。 答案 填：1； 10. 设X的分布函数F(x)为： , 则X的概率分布为（ ）。分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量 答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.11. 设随机变量X的概率密度函数则 E(X)=( ),=( ). 分析：由X的概率密度函数可见XN(1, ),则E(X)
6、=1，=. 答案 填：1；.12. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). 答案 填：4 13. 设XN(2，)且P2X4=0.3,则PX96)=1-P(X 96)=1-()=0.023,即 ()=0.977,查表得=2，则 =12，即且XN(72,144)，故P(60X84)=P(-11)=2(1)-1=0.682excel计算的函数为 NORMINV8. 设测量误差XN(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）。解：由于XN(0，100)，则P(|X|19.6)=1-
7、P(|X|19.6)=21-(1.96)=0.05且显然YB(100,0.05),故P(Y3) =1- P(Y 2)=1-设l=np=1000.05=5，且YP(5),则P(Y3)=1- P(Y 2)=1-=0.9. 设一大型设备在任何长为t的时间内，发生故障的次数N(t)服从参数为lt的泊松分布，求：（1）相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）在设备已无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率。解：（1） 只需求出T的分布函数F(t)：当 tt)= 1-P(N(t)=0)= 可见T服从参数为l的指数分布。（2）P(T 16|T 8)=10.设X服从参数为2的指数分布，求证：Y
8、=1-在0，1上服从均匀分布。证明： 由X的分布可见其有效取值范围是0，+),则Y的有效取值范围是0，1，从而：当y0时，F(y)=0; 当y 1 时，F(y)=1;当0y1, F(y)=P(Y y)= P1-y =PX=1-=1-(1-y)=y对F(y)关于y求导数即得Y的密度函数： 故Y在0，1上服从均匀分布。11. 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为0.4，用X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数和数学期望。解：显然XB(3,0.4),其分布律为，i=0,1,2,3,分布函数为： ， E(X)= 12. 设，求随机变量的期望。解：由，可知 13. 设且与同分布，与独立，求：（1）值；（2）的期望。解：（1）由设且与同分布，与独立，可知当时，即与相矛盾，因而，即， 即
