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1、离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是（11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是15、设p：2+3=5. q：大熊猫产在中国. r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）解：p=1，q=1，r=0，19、用真值表判断下列公式的类型：（2）解：列出公式的真值表，如下所
2、示：001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。20、求下列公式的成真赋值：（4）解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：所以公式的成真赋值有：01，10，11。习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）解：原式 ，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）解：原式，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）解：原式 ，此即主析取范式。主析取范式
3、中没出现的极小项为，所以主合取范式中含有三个极大项，故原式的主合取范式。9、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）解：公式的真值表如下：00010000011011010110101111111000101101010111001011110101由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：结论：s证明： p 前提引入 前提引入 q 析取三段论 前提引入 r 析取三段论 前提引入 s 假言推理15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：（2）前提： 结
4、论：证明：用附加前提证明法。 p 附加前提引入 附加 前提引入 假言推理 s 化简 附加 前提引入 u 假言推理故推理正确。16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：（1）前提：， 结论：证明：用归谬法 p 结论的否定引入 前提引入 假言推理 前提引入 析取三段论 前提引入 r 化简 合取由于，所以推理正确。17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A是谋杀嫌犯。解：设p：A到过受害者房间，q：A在11点以前离开，r：A是谋杀嫌犯，s：看门人看见
5、过A。则前提：， 结论：证明： 前提引入 前提引入 拒取式 前提引入 合取引入 前提引入 假言推理习题四及答案：（P65-67）5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：（2）有的火车比有的汽车快。解：设F(x)：x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y)：x比y快；则命题符号化的结果是：（3）不存在比所有火车都快得汽车。解：设F(x)：x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y)：x比y快；则命题符号化的结果是：或9、给定解释I如下：(a) 个体域为实数集合R。(b) 特定元素。(c) 函数。(d) 谓词。给出以下公式在I下的解释，并指出它们的真值：（2）解：解释是：，含义是：对于任意的实数x，y，若
6、x-y=0则xy。该公式在I解释下的真值为假。14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）解：取解释如下：个体域为全总个体域，：x是兔子，：y是乌龟，：x比y跑得快，则该公式在解释I下真值是1；取解释如下：x比y跑得慢，其它同上，则该公式在解释下真值是0；故公式（1）既不是永真式也不是矛盾式。此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。习题五及答案：（P80-81）15、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：（3）前提：， 结论：证明： 前提引入 置换 UI规则 前提引入 UI规则 析取三段论 EG规则22、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：（2）凡大学生
7、都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。解：设F(x)：x为大学生，G(x)：x是勤奋的，c：王晓山则前提：， 结论：证明： 前提引入 UI规则 前提引入 拒取式25、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）解：设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在他的事业中获得成功，c：王大海则前提：， 结论：证明： 前提引入 化简 化简 前提引入 UI规则 假言推理 合取引入 前提
8、引入 UI规则 假言推理习题六及答案习题七及答案：（P132-135）*22、给定，A上的关系，试（1）画出R的关系图；（2）说明R的性质。2解：1（1） 34 （2）R的关系图中每个顶点都没有自环，所以R是反自反的，不是自反的； R的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R是反对称的，不是对称的； R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边，但顶点x到顶点z没有边的情况，故R是传递的。26 设，R为A上的关系，R的关系图如图7.13所示：（1）求的集合表达式；（2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。解：（1）由R的关系图可得所以，可得；（2），46、分别画
9、出下列各偏序集的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。（1）解：哈斯图如下：eabcdfA的极大元为e、f，极小元为a、f；A的最大元和最小元都不存在。48、设为偏序集，在集合上定义关系T如下：证明T为上的偏序关系。证明：（1）自反性：（2）反对称性：（3）传递性：综合（1）（2）（3）知T具有自反性、反对称性和传递性，故T为上的偏序关系。习题九及答案：（P179-180）8、（1）（2）。解：（1）（2）11、（3）；解：（3）由*运算的定义可知：，16、习题十一及答案：（P218-219）1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由解：（a）
10、、（c）、（f）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界；（b）不是格，因为d,e的最大下界不存在；（d）不是格，因为b,c的最小上界不存在；（e）不是格，因为a,b的最大下界不存在。2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。（1）L=1，2，3，4，5；（2）L=1，2，3，6，12；解：画出哈斯图即可判断出：（1）不是格，（2）是格。4、设L是格，求以下公式的对偶式：（2）解：对偶式为：，参见P208页定义11.2。9、针对图11.11中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。解：（a）图：a,d互为补元，其中a为全下界，d为全上界，b和c都没有补
11、元；（c）图：a,f互为补元，其中a为全下界，f为全上界，c和d的补元都是b和e，b和e的补元都是c和d；（f）图：a,f互为补元，其中a为全下界，f为全上界，b和e互为补元，c和d都没有补元。10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。解：（a）图：是一条链，所以是分配格，b和c都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格；（c）图：a,f互为补元，c和d的补元都是b和e，b和e的补元都是c和d，所以任何元素皆有补元，是有补格； ，所以对运算不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格；（f）图：经过分析知图（f）对应的格只有2个五元子格：L1=a,c,d,e,f, L2=a,b,c,d,f。画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理11.5）得图（f）对应的格是分配格；c和d都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。矮化砧嫁接的苹果树树冠体积小于乔化砧嫁接的苹果树树冠体积，矮化砧苹果树单株产量低于乔化砧苹果树，所以，栽植矮化苹果树必须根据不同的矮化砧木和不同类型的短枝型品种适当加大栽培密度
