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1、7.4 基本不等式及其应用,(1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.,知识梳理,a0，b0,ab,2.几个重要的不等式,(1)a2b2 (a，bR).,2ab,2,(3)ab (a，bR).,以上不等式等号成立的条件均为ab.,设a0，b0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,3.算术平均数与几何平均数,4.利用基本不等式求最值问题,已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .(简记：积定和最小),xy,小,(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，x
2、y有最 值 .(简记：和定积最大),xy,大,不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立 ；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立 ；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立 .,f(x)minA(xD),f(x)maxB(xD),f(x)maxA(xD),f(x)minB(xD),(3)恰成立问题：不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”),1.(教材
3、改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82,考点自测,答案,解析,答案,解析,3.若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是,答案,解析,4.若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_.,答案,解析,5.(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.,答案,解析,25,题型分类 深度剖析,题型一 利用基本不等式求最值,命题点1 通过配凑法利用基本不等式,答案,解析,1,答案,解析,答案,解析,例2 已知a0，b0，ab1，则 的最小值为_.,命题点2 通过常数代换法利用基本不等式,答案,解析,4,引
4、申探究,解答,解答,解答,思维升华,(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.,跟踪训练1 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4
5、y的最小值是_.,答案,解析,5,3x4y的最小值是5.,当且仅当y 时等号成立，(3x4y)min5.,(2)已知x，y(0，)，2x3( )y，若 (m0)的最小值为3，则m_.,答案,解析,4,由2x3( )y得xy3，,解得m4.,题型二 基本不等式的实际应用,例3 某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3 (k为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产
6、品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；,解答,由题意知， 当m0时，x1(万件)，,13kk2，x3 ，,(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？,y82921，,解答,故该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.,思维升华,(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.,跟踪训练2 (1)某车间分批生产某种产
7、品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件.,答案,解析,80,(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元.,8,答案,解析,题型三 基本不等式的综合应用,命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题,例4 (1)(2016菏泽一模)已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50的圆心，则
8、的最小值是 A.9 B.8 C.4 D.2,答案,解析,圆x2y22y50化成标准方程， 得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1). 因为直线axbyc10经过圆心C， 所以a0b1c10，即bc1.,因为b，c0，,(2)(2016山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an的公差是d，其前 n项和是Sn，若a1d1，则 的最小值是_.,答案,解析,命题点2 求参数值或取值范围,答案,解析,m12，m的最大值为12.,答案,解析,设g(x)x ，xN*，则g(2)6，g(3) .,对任意xN*，f(x)3恒成立，即 3恒成立， 即知a(x )3.,思维升华,(1)应用基本不等式判断不等式是否成
9、立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.,跟踪训练3 (1)(2016福建四地六校联考)已知函数f(x)x 2的值域为(，04，)，则a的值是,答案,解析,几何画板展示,答案,解析,由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4， 所以q2q20， 解得q2或q1(舍去).,因为 4a1，所以qmn216，,所以2mn224，所以mn6.,又mn6，解得m2，n4，符合题意.,利用基
10、本不等式求最值,现场纠错系列9,利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.,错解展示,现场纠错,纠错心得,返回,解析 (1)x0，y0，,返回,课时作业,1.已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
11、4,答案,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.若2x2y1，则xy的取值范围是 A.0,2 B.2,0 C.2，) D.(，2,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.已知x0，y0，且4xyx2y4，则xy的最小值为,答案,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,当且仅当a5c
12、0，ab1，a(ab)1时，等号成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2016唐山一模)已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.,答案,解析,4,12,9.(2016潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，则 的取值范围是_.,答案,解析,(0，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,xya0与圆(xb)2(y1)22相切，,ab12，即ab1，,又a，b为正实数，,1,2,3,4,5,6,7,8
13、,9,10,11,12,13,14,4,答案,解析,*11.(2017东莞调研)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则 的最小值为_.,答案,解析,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.已知x0，y0，且2x5y20. (1)求ulg xlg y的最大值；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,此时xy有最大值10. ulg xlg ylg(xy)lg 101. 当x5，y2时，ulg x
14、lg y有最大值1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,x0，y0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4 ，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|. (1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2)求该城市旅游日收益的最小值.,解答,14.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2 )升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
