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1、1 随随 机机 过过 程程 Stochastic processes 参考教材参考教材 随机过程随机过程，刘次华著，华中科技大学出版社，第四版 随机过程及其在金融领域中得应用随机过程及其在金融领域中得应用， 王军，王娟著，清 华大学出版社 人类社会的三类现象 在自然界和人类社会活动中，普遍存在三类现象：在自然界和人类社会活动中，普遍存在三类现象： 确定性现象确定性现象：在相同的条件下出现相同的结果，称为：在相同的条件下出现相同的结果，称为 确定性现象或必然现象。如早上太阳在东方升起。确定性现象或必然现象。如早上太阳在东方升起。 随机性现象随机性现象：在相同的条件下出现不同的结果，但结：在相同的
2、条件下出现不同的结果，但结 果是确定的，称为随机性现象。如掷硬币。果是确定的，称为随机性现象。如掷硬币。 模糊性现象模糊性现象：在相同的条件下出现不确定的结果，称：在相同的条件下出现不确定的结果，称 为模糊性现象。如人的美与丑。为模糊性现象。如人的美与丑。 不同现象与研究方法不同现象与研究方法 现象现象 研究方法研究方法 确定性现象确定性现象 经典数学经典数学 随机性现象随机性现象 概率统计学概率统计学 模糊性现象模糊性现象 模糊数学模糊数学 研究随机性世界的步骤研究随机性世界的步骤 随机试验随机试验 随机事件及其概率随机事件及其概率 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 随机过程随机过程
3、 第一章第一章 预备知预备知 识识 第一节第一节 概概 率率 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三节第三节 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第四节第四节 矩母函数和特征函数矩母函数和特征函数 第五节第五节 条件期望条件期望 第六节第六节 指数分布指数分布 第七节第七节 n维正态分布维正态分布 第八节第八节 收敛性和极限定理收敛性和极限定理 第一节第一节 概概 率率 1随机试验随机试验 其结果在事先不能确定的试验。其结果在事先不能确定的试验。 具有三个特性：具有三个特性： （1）可以在相同的条件下）可以在相同的条件下重复重复进行；进行； （2）每次试验的结果不止一个，并能事
4、先）每次试验的结果不止一个，并能事先明确明确 试验的所有可能的结果；试验的所有可能的结果； （3）每次试验前）每次试验前不不能能确定确定哪个结果会出现。哪个结果会出现。 一、基本概念一、基本概念 ： 随机试验 为研究随机现象的规律性，往往进行试验。例如：为研究随机现象的规律性，往往进行试验。例如： 1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 2.抛一枚骰子，观察出现的点数。抛一枚骰子，观察出现的点数。 3.记录某段时刻来某个银行办理业务的顾客数。记录某段时刻来某个银行办理业务的顾客数。 4. 记录车站售票处一天内售出的车票数。记录车站售票处一天内售出的车
5、票数。 5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 6. 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 随机试验所有可能结果的集合，随机试验所有可能结果的集合， 记为记为 。其中每一个结果，称。其中每一个结果，称 为为样本点样本点 。 样本空间的一个样本空间的一个子集子集 A 。 对样本空间对样本空间 的每一个事件的每一个事件A，都有，都有 一实数一实数P（A）与之对应，且满足：）与之对应，且满足： （1） 01P A（ ）1）（P 12 AA， ， （3）对对两两互不相容两两互不相容的事件序列的事件序列 （2） 1 1
6、) ii i i PAP A （）（ 则称则称P（A）为事件）为事件A的概率的概率。 2样本空间样本空间 3随机事件随机事件 4概率概率 二、概率的性质：二、概率的性质： 0P（ ） 2 P ABP AP BP AB（） （ ） （ ） （） 3 ()1( ) c P AP A 4 设设 12n AAA， ， ， 两两互不相容两两互不相容 ，则，则 1 1 ) n n ii i i PAP A （）（ 5 设两两互不相容的事件设两两互不相容的事件 12 AA， ， ， 1 i i A 则对于任意事件则对于任意事件B，有，有 1 ) i i P BP BA （ ）（ 1 设设E为随机试验为随机试
7、验， 为其样本空间为其样本空间，A、B 为任意两个事件为任意两个事件， 三三、条件概率条件概率 0）（AP ）（ ）（ ）（ AP ABP ABP| 为事件为事件A出现的情况下，事件出现的情况下，事件B的的条件概率条件概率，或，或 简称事件简称事件B关于事件关于事件A的的条件概率条件概率。 若 则称 1定义定义 假设假设 为任意为任意n个事件（个事件（ ），）， n AAA， 21 2n 0 21 ）（ n AAAP )|()|()( 21312121 AAAPAAPAPAAAP n ）（ ）（ 121 | nn AAAAP 若 则 2基本公式基本公式 定理定理1（乘法公式乘法公式） 定理定理
8、2（全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式） 设事件设事件 两两互不相容，两两互不相容， n BBB， 21 i n i B 1 0）（ i BP ni,21， 则（则（1）对任意事件）对任意事件A，有，有 )|)( 1 ii n i BAPBPAP（）（ （2）对任意事件）对任意事件A ，若，若 ，有，有 0）（AP )| )| )|( 1 ii n i ii i BAPBP BAPBP ABP （）（ （）（ 四、独立性 如果事件如果事件A，B满足满足 ）（）（）（BPAPABP 设设 是是n个事件，如果对于任意个事件，如果对于任意 和和 ，有，有 n AAA， 21 )2(ns s
9、niii s 21 1 ）（）（）（）（ ss iiiiii APAPAPAAAP 2121 则称事件则称事件 相互独立相互独立。 n AAA， 21 则称事件则称事件A，B相互独立相互独立。 1定义定义 美国有一对夫妻连续生了8个儿子。他们原本只想要4 个小孩，但是当前面4个小孩都是男孩时，他们想再生一 个女孩，直到连续生了7个男孩。后来他们的医生都保证 说，按照平均数定律，下次生女孩的概率是99。不幸的 是，第8次还是男孩。因为生孩子和扔硬币一样，连续8个 男孩的概率固然很小，但是在已经生了7个男孩之后，下 一个是女孩的概率仍然是50。 2独立性的性质独立性的性质 定理定理3 若事件若事件
10、A，B相互独立，则相互独立，则 ； ； 分别也相互独立。分别也相互独立。 定理定理4 设事件设事件 相互独立相互独立，若其中若其中 任意任意 个事件相应地换成它们的个事件相应地换成它们的 对立事件对立事件，则所得的则所得的n个事件仍然相互独立个事件仍然相互独立。 n AAA， 21 BA与BA与 BA与 (1)mmn 一一、一维随机变量的分布一维随机变量的分布 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布 1随机变量随机变量 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为 ，如果对于每一，如果对于每一 个个 都有唯一的一个实数都有唯一的一个实数 与之对应，这与之对应，这 种对应关系称为一个随机
11、变量，记作种对应关系称为一个随机变量，记作 或或X。 )(X )(X 2分布函数分布函数 随机变量随机变量X取值不超过取值不超过x的概率的概率 ， 称称 为为X的分布函数的分布函数（其中其中x为任意实数为任意实数），记为记为 即即 )(xXP )(xF)()(xXPxFx 分布函数分布函数F（x）具有下列性质：具有下列性质： 1 2 是非递减函数是非递减函数，即当即当 时时，有有 )(xF 1)(0xF x 21 xx )()( 21 xFxF 0)(lim xF x 1)(lim xF x 3 4 )()0(xFxF F（x）是右连续的，即）是右连续的，即 3分布密度分布密度 最常见的随机变
12、量是离散型和连续型两种最常见的随机变量是离散型和连续型两种。 离散型 随机变量 随机变量随机变量X的可能取值仅有有限的可能取值仅有有限 个或可列无穷多个个或可列无穷多个。（例子例子） 设设 是离散型随机变量是离散型随机变量X的的 所有可能的取值，所有可能的取值， 是是 的概率：的概率： ),2, 1(kxk k p k x kk pxXP)( ), 2 , 1(k 则称上式为则称上式为X的的概率分布概率分布或或分布率分布率 。且满足。且满足 0 k p1 1 k k p 离散型随机变量 离散型随机变量的一些例子 试验试验 随机变量随机变量 可能的取值可能的取值 抽查抽查100个个产品产品 一家
13、餐馆营业一天一家餐馆营业一天 电脑公司一个月的销售电脑公司一个月的销售 猜猜1010道选择题的答案道选择题的答案 取到次品的个数取到次品的个数 顾客数顾客数 销售量销售量 猜对的题数猜对的题数 0, 1, 2, , 100 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, . , 10 连续型 随机变量 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数为的分布函数为F（x）， 存在非负的函数存在非负的函数f（x）,使对任意的实数使对任意的实数x 有有 则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量，f（x）称为称为X的概率密的概率密 度度，且满足且满足 x dttfxF)()( 0)(xf1)( dxx
14、f 3分布密度分布密度 连续型随机变量 连续型随机变量的一些例子 试验试验 随机变量随机变量 可能的取值可能的取值 抽查一批电子元件抽查一批电子元件 新建一座住宅楼新建一座住宅楼 测量一个产品的测量一个产品的长度长度 使用寿命使用寿命(小时小时) 半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比 测量误差测量误差(cm) X 0 0 X 100 X 0 二二、随机变量的联合分布随机变量的联合分布 1联合分布函数联合分布函数 设设 是样本空间是样本空间 的的n个随机个随机 变量，变量， 为任意实数，则称为任意实数，则称 特别地 为随机变量的为随机变量的n维联合分布函数维联合分布函数 。 n XXX， 21 n xxx， 21 ),(),( 221121nnn xXxXxXPxxxF， ),()(yYxXPyxF， 即是即是X，Y的二维联合分布函数。的二维联合分布函数。 2二维分布密度二维分布密度 离散型离散型 设设（X，Y
