数学人教版九年级下册数学思想复习——分论讨论思想

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1、专题一 数学思想方法,考点一 分类讨论思想 分类讨论思想常见的六种类型 1.方程:若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论. 2.等腰三角形:如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边,所给出的角是顶角还是底角分类解决.,3.直角三角形:在直角三角形中给出两边的长度,确定第三边时,若没有指明直角边和斜边,要注意分情况进行讨论(分类讨论),然后利用勾股定理即可求解. 4.相似三角形:如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系;若出现位似,则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论.,5.一次函数:已知一次函

2、数与坐标轴围成的三角形的面积,求k的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种情况讨论.,【例1】(2014益阳中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的P的圆心P的坐标为(-3,0),将P沿x轴正方向平移,使P与y轴相切,则平移的距离为 ( ) A.1 B.1或5 C.3 D.5,【思路点拨】分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况讨论,得出答案.

3、 【自主解答】选B.当P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当P位于y轴的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5,故选B.,【特别提醒】 (1)分类时每一部分互相独立. (2)一次分类必须是同一个标准. (3)分类讨论应该逐级进行,不能越级讨论. (4)分类必须周全,要做到不重不漏.,【对点训练】 1.(2014徐州中考)点A,B,C在同一条数轴上,其中点A,B表示的数分别为-3,1,若BC=2,则AC等于 ( ) A.3 B.2 C.3或5 D.2或6 【解析】选D.此题画图时会出现两种情况,即点C在线段AB内,点C在线段AB外,所以要分两种情况计算. 点A,B表示的数分别为-3,1,

4、AB=4.,第一种情况:在AB外, AC=4+2=6; 第二种情况,在AB内, AC=4-2=2.故选D.,2.(2013黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4,则 第三边的长为 ( ) A.5 B. C. D.5或 【解析】选D.(1)当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边 为 (2)当4为斜边时,由勾股定理得,第三边为 直角三角形的第三边为5或,3.(2014潍坊中考)等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值是 ( ) A.27 B.36 C.27或36 D.18 【解析】选B.若3是等腰三角形的底边,则关于x的一

5、元二次方程x2-12x+k=0有两个相等的实数根,(-12)2-4k=0,解得k=36;,若3是等腰三角形的腰,则3是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的一个解, 32-123+k=0,解得k=27. 当k=27时,方程x2-12x+27=0的解是3或9,3,3,9构不成三角形,k=27不合题意.,4.(2013贵阳中考)如图,M是RtABC的斜边BC上异于B,C的一定点,过点M作直线截ABC,使截得的三角形与ABC相似,这样的直线共有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,【解析】选C.如图,分别过点M作ABC三边的垂线l1,l2,l3,易证此时分别形成的三角形均与原三角形相

6、似,所以共3条.,5.(2013绥化中考)若关于x的方程 无解，则a的值是_. 【解题指南】分式方程无解，可从两个方面考虑：去分母后的整式方程无解；整式方程的解是原分式方程的增根,【解析】去分母整理得:(a-1)x=2, 当a-1=0时,得0x=2,该方程无解,则原方程也无解; 当原方程无解时,分母x-2=0,解得x=2, 将x=2代入整式方程(a-1)x=2,得2(a-1)=2, 解得a=2,即a=2时,原分式方程无解. 原方程无解,则a=1或2. 答案:1或2,6.(2013雅安中考)在平面直角坐标系中，已知点 点C在坐标轴上，且AC+BC=6， 写出满足条件的所有点C的坐标_.,【解析】

7、如图，当点C位于y轴上时，设C(0，b). 则 解得b=2或b=-2， 此时C(0，2)或C(0，-2). 当点C位于x轴上时，设C(a，0). 则 即2a=6或-2a=6， 解得a=3或a=-3，此时C(-3，0)或C(3，0). 综上所述，点C的坐标是(0，2)，(0，-2)，(-3，0)， (3，0). 答案：(0,2)，(0，-2)，(-3,0)，(3,0),考点二 数形结合思想 数形结合思想常见的四种类型 1.实数与数轴:实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直观明了.,2.在解方程(组)或不等式(组)中的应用:利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两

8、个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解. 3.在函数中的应用:借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法.,4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.,【例2】(2013兰州中考)已知反比例函数y1= 的图象与 一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，2) (1)求这两个函数的解析式. (2)观察图象，当x0时，直接 写出y1y2时自变量x的取值

9、范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求ABC的面积,【思路点拨】(1)先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式,再求出点B的坐标,利用待定系数法求一次函数的解析式. (2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直线在双曲线的下方,当x0时,直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. (3)过点B作BDAC,垂足为D,根据坐标与线段的转换可得出:AC,BD的长,然后根据三角形的面积公式即可求出答案.,【自主解答】(1)函数y1= 的图象过点A(1，4)，即 k=4，即 又点B(m，2)在 上，m=2， B(2，2)， 又一次函数y2=ax+b过A,B两点， 即 解得 y2

10、=2x+2 综上可得 y2=2x+2,(2)当x0时,要使y1y2,即函数y1的图象总在函数y2的图象上 方,0x1. (3)点C与点A关于x轴对称,C(1,-4). 过点B作BDAC,垂足为D,如图,则D(1,-2), 于是ABC的高BD=1-(-2)=3, 底为AC=4-(-4)=8. SABC=,【特别提醒】 (1)注意由数思形,由形想数,搞清数形关系,做好数形转化. (2)弄清反比例函数与一次函数的交点和ABC的底与高.,【对点训练】 1.(2014呼和浩特中考)实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是 ( ) A.acbc B.|a-b|=a-b C.-a-b-c

11、,【解析】选D.由图得a-bc,故C选项错误;因为a-b,所以-a-c-b-c,故D选项正确.,2.(2014陕西中考)把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的是( ) 【解析】选D. 解得,3.(2014咸宁中考)如图，双曲线y= 与直线y=kx+b相交 于点M，N，且点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为1根 据图象信息可得关于x的方程 =kx+b的解为( ) A3，1 B3，3 C1，1 D-1,3,【解析】选A.把点M的坐标(1，3)代入解析式 可得m=3，即反比例函数的解析式为 把y=-1代入 可得x=-3，N(-3，-1),M(1,3)和N(-3，-1) 的横坐标即为方程 的解，所以

12、选A.,4.(2014聊城中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一 部分,x=-1是对称轴,有下列判断:b-2a=0;4a-2b+cy2,其中 正确的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选B.对称轴为x=-1， b-2a=0； 当x=0时，y0，当x=-2时，y0，即4a-2b+c0； 当x=2时，4a+2b+c=0，即4a+4a+c=0, c=-8a.当x=-1时， a-b+c=a-2a-8a=-9a；(-3，y1)到对称轴的距离为2， 到对称轴的距离为 y1y2，故正确.,【知识归纳】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象性质 (1)开口向上a0;开口向下a0图

13、象与y轴的正半轴有交点;c=0图象过坐标 原点;c0图象与y轴的负半轴有交点. (3)根据对称轴x=- 和a符号确定b的符号以及a,b之间的 数量关系.,(4)根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号;根据x=-1时y的值来确定a-b+c的符号;x=2时y的值来确定4a+2b+c的符号;根据x=-2时y的值来确定4a-2b+c的符号. (5)b2-4ac0抛物线与x轴有两个交点;b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点;b2-4ac0抛物线与x轴没有交点.,5.(2013十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30 m/min的速度沿与地面成75角的方向飞行,25 mi

14、n后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30,则小山东西两侧A,B两点间的距离为 .,【解析】由题意得AC=3025=750(m)，B=30， 过点A作ADBC，垂足为D， ACB=75B=45， AD=ACsin 45， 在RtABD中，B=30， AB=2AD=2ACsin 45= 答案：,【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技巧 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直

15、角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.,6.(2014德州中考)图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家其中x表示时间，y表示张强离家的距离根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是( ) A体育场离张强家2.5 km B张强在体育场锻炼了15 min C体育场离早餐店4 km D张强从早餐店回家的平均速度是3 km/h,【解析】选C.横坐标表示时间的变化,纵坐标表示离家的距离.所以从图象上看:当时间从0开始到15min时,距离是从0扩大到2.5 km;随后距离不变了,说明他在某个地方停了下来,并且停留了15 min;接着距离又开始变小了,说明是向家的方向移动了;15 min后移动到距离家1.5 km的地方又停了下来;并且这一次停留了20 min;最后一段表示回家的过程,用时30 min.,【知识归纳】应用数形结合思想的解题策略 1.应用函数图象,求方程(组)或不等式(组)的解、解集问题:解题的关键是理解图象交点的含义,正确把握图象所反映的信息,涉及实际问题时,还要注意分析纵轴与横轴所代表的含义.,2.解决与动点有关的问题时,其关键是弄清在运动过程中某些特殊位置关系及其相对应的数量