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1、数形结合思想摘要数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种 “结合”寻找解题途径，使问题得到解决数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的的精确性来阐明形的某些属性数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键问题是代数问题与图形之间的互相转化这种思想方法在数学的各个分支有着广泛的应用，关键词：数形结合 思想 作用一、数形结合思想概述 1 数形结合思想方法中学 数 学 研究的对象是现实世界的数量关系(数)和空间形式(形)
2、，数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现。“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。数和形也可依一定条件相互转化，互相沟通。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。华罗庚教授对此有精辟概述:“数无形，少直观;形无数，难入微。”因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把图形的性质问题转化成数量关系的问
3、题来研究，数形结合才能真正发挥其作用。 2 数形结合思想的演变(1 )数 的 产生源于计数，是对具体物体的计数，而产生数的概念之后，用来表示“数”的工具却是一系列的“形”，在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表达抽象的数。中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，也是数形结合的典型范例。“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录，使用，计算。早在古希腊数学时期，毕达哥拉斯学派在研究数时，就常常把数同沙砾或画在平面上的点联系起来，按照沙砾或点子的形状将数进行分类，进而结合图形性质推出数的性质。（2）古 希 腊 亚 历山大时期的欧几里得，运用公理化方法写了千古流芳的著作几
4、何原本，使最早的数学发展以几何学为主要特征。这时期从几何的研究上去处理等价的代数问题是很自然的。如用线段代替数，两数乘积的意义是两边长等于两数的矩形面积，三数乘积是一体积。两数相加看成是一线段的延长，相减说成是从一线段割去另一线段之长。“若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两线段上的正方形加上以两段为边的矩形。”这一几何事实反应的代数问题就是(a+b)2= a2+2ab+b2。这种用几何来研究代数的方法对后来阿拉伯人的代数研究有着深远的影响，在解一元二次方程中发挥了很大的作用。另外，形的相互关系的比较、度量，促进了数的概念的发展，丰富了计算方法。(3) 数 轴 的 建 立使人类对形
5、与数的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算(特 别是有理数的运算)也可以几何化。在此基础上，笛卡尔把数轴(一维)扩展到平面直角坐标系(二维)，把有序数对P( x.Y )与平面上的点一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程的解集一一对应起来。于是，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成对应的代数研究，从而诞生了解析几何学科。笛卡尔创立了解析几何学，并在数学中引入了“变量”，完成了数学史上的一项划时代的变革。为此恩格斯给予了很高的评价:“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学
6、，有了变数，辩证法进入了数学，。”“解析几何模式”是知识之间、方法之间、知识与方法之间相互渗透的典范，是数形结合思想的完美体现。尽管笛卡尔的解析几何思想有着一定的局限性，但在当时是有突破性的，意义是非常重大的，它为几何学的研究提供了新的方法，使许多几何问题变得简单易解，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶段，使人们对形的认识由静态发展到动态。其次数形结合为代数研究提供了形象模型，拓展了代数学的研究领域，从而推动了数学发展的进程.。可见，数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾的统一是数学发展的内在因素。(4) 继 笛 卡尔之后，数与形更进一步密切结合。例如数学分析中，导数切线的斜率;积分曲边梯
7、形的面积:代数中，方程f(x)=0的根曲线y=f (x)与x轴的交点;矩阵的特征根放大系数(沿某方向拉长，伸长或压缩);矩阵的特征向量坐标轴变换后的主方向。近代数学中，从几何的角度看，代数和几何的结合产生了代数几何:分析和几何结合产生了微分几何;而代数几何和微分几又转过来为代数与分析(以及其它学科)提供几何背景，解释和研究课题，促进它们的发展，并使数学在实践中的应用更加广泛和深入。可见，数形结合也是今日数学发展的必然，数形结合贯穿于数学发展的全过程。二 数形结合的应用数形 结 合 思想是重要的数学思想之一。把数、式与图形结合起来，用代数的方法分析图形;用图形来直观地理解数、式中的关系，称做数形
8、结合。根据解决问题的需要，第一、可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究，第二、可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究，从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题思路和方法。数形结合的主要途径有三种:根据给出的“数”的特点，构造出与之向适应的几何图形，用几何方法解决代数问题。利用数字的方法解释几何中的问题。形与数的相互配合，即数形相互结合，使问题变得直观、简明。在我们现在 数 学教材中处处渗透着数形结合的思想，如:研究函数的性质，往往借助于函数的图象;研究不等关系往往借助于“数轴”;研究三角函数借助于单位圆;等等，这些都直接体现了数形结合的思想。数形结合，不仅是一种重要的
9、思维方法，也是一种重要的解题方法。数量关系如能有效地结合图形，往往会使抽象的问题直观化、复杂的问题简单化。巧妙地应用数形结合的思想方法来处理一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，达到优化解题的途径的目的。因此，它在中学数学中占有重要的地位。数形结合的解题方法具有直观性、灵活性的特点，学生不易把握，但它的应用又十分广泛。下面我们举例说明：第一：以形助数。即根据给出的“数”的特点，构造出与之向适应的几何图形，用几何方法解决代数问题。例 1 求 ctg10一4cos10的值。分析 : 此 题表达式虽然简单但似乎无从下手，注意到三角形中的边角关系，可构造如图1所示的ABC，使C二90，A=10，B
10、C=l，D为AC上一点，且使BDC=30，则BD二2且ABD=20 图1 在ABC中，由正弦定理，得AD sin 20 = BDsin10A D = BD sin20/sin10= 4cosl0又A C=ctg10ctgl0- 4 cosl0=AC一AD=CD=第二、以数助形，利用数字的方法解释几何中的问题。例2. 在 证 明问题中的运用 图2 如图2，F1F2P中，O是AB的中点，求证: F1P2 + F2P2 = 2(F1O2 + F2O2)分析 : 如果依据图形采用平面几何知识会感到无从下手，但是如果采用代数知识，建立坐标系这样就简便明了多了。依题意，以AB所在直线为X轴，在AB的中点处
11、相对于X轴做垂线，为Y轴，建立平面直角坐标系，并设：F1（-a 0） F2(a 0) P(b c)。依两点间的距离公式有F1P2=( b + a )2 + c2 , F1F22 = ( b a )2 + c2F1P2 + F1F22 = 2(a2 + b2 + c2 )PO2 = b2 + c2 F1O2 = a22(PO2 +F2O2)= 2(a2 + b2 + c2 )第三、即数形相互结合，使问题变得直观、简明。这种方法主要应用在题型很复杂，需要很多步才能完成的综合题之中，这里就不再举例。 通过上面的例题我们不难的出这样的结论：利用数形结合的思想可以使许多复杂的问题简单化，明了化，更加的容
12、易理解。三、数形结合思想在解题中的作用及意义1 降低思维难度，提供简捷的解题途径。例 3 比较 x2与x的大小。分析 : 若 用代数方法，学生感到茫然，若结合“形”来考虑则简单得多。设函数y=x气x，画出它的图象，如图3，通过观其形，可直接得出答案. 图3通过图形我们显然可以得到：当x0 或 x1时y0 既 x2 x 0x2 x当x=0 或 x=1时，y=0x2 = x当0 x 1 时，y 0 x2 x2 利用数形结合思想能使抽象变直观例如：集合 与 集 合间的关系，集合中的交、并、差、补运算等问题较抽象，如果利用数形结合，借助图形进行思考，可使各集合之间的相互关系直观明了，使抽象的集合运算建
13、立在直观的形象思维之上。函数 知 识 学习的关键在于抓住数形结合的思想，使抽象思维和形象思维结合起来，发挥直观对抽象的支柱作用，通过对图形的处理，化难为易，化抽象为直观。例 5、 已知 二次函数的图象的开口方向、对称轴的位置及其与Y轴的交点如图4所示，判断点(ac，-b+c)在第几象限。分析 : 由 图象可知a0，-b/(2a)0，c0，ac0，-b+c0，因此点(ac，-b+c)在第三象限。图43 公式、概念、定理与图形相结合，激 发 兴 趣，提高学习效率。抽象难以理解和记忆，若借助图形，可激发学习兴趣，从而有效地提高学习效率。如同角三角函数间的八个基本关系式，若采用正六边形记忆法，如图图5
14、四、建立数形关系的方法和步骤建立 数 形 关系的方法建立数形关系要用机理分析的方法，即是根据对数量对象特征性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机型的规律，建立的图形有明确的几何意义或现实意义。上面的三个示例都是属机理分析方法。建立 数 形 关系的步骤建立数形关系经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实现问题的性质、建立图形的目的等有关，从上面三个示例也可以看出这点。下面给出建立数形关系的一般步骤:题设特征的分析图形的建立用图形求解题设 特 征 的分析首先要了解问题的实际背景，明确建立图形的目的，搜集建立图形的各种信息，尽量弄清对象的特征。根据对象的特征和建图的目的，对问题进行必要的、合理的简化
15、，用精确的语言作出假设，可以说是建图的关键一步。例如示列一，把式子转化为坐标系中点的问题是关键的一步。一般 地 说 ，一个数量问题不经过简化假设就很难翻译成图形问题，即使可能，也很难求解，例如示例三，就是这种情况。假设作得不合理或过分简单，会导致建图失败或部分失败，于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使很难甚至无法继续下一步的工作，通常建图的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据的分析，也可以是二者的综合作假设时，既要运用与问题相关的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化，经验在这里也常起重要作用。构造 图 形 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的基本图形，构造各个量之间的图形关系。这里除需要一些相关的专题知识外，还常常需要较广阔的应用图形方面的知识，以开拓思路。相似类比法，即根据不同
