《数学人教版九年级上册一元二次方程求根公式的推导过程.2.2 公式法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学人教版九年级上册一元二次方程求根公式的推导过程.2.2 公式法(40页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、对于方程,(2)方程两边同除以a,得 .,(1)将常数项移到方程的左边,得 .,(3)方程两边同时加上_,得,左边写成完全平方式,右边通分,得,(4)开平方,用配方法解,公式的推导很重要,a0, 4a20,当b24ac0时,,公式的推导很重要,特别提醒 推导时必须写,一元二次方程,解的情况由,决定:,(1),当,时,,方程有两个 不相等的实数根;,(2),当,时,,方程有两个 相等的实数根;,(3),当,时,,方程没有实数根.,根的判别式,一元二次方程,的根由方程的系数a,b,c确定,将a,b,c代入式子,当,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实
2、数根,一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,,时,,例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2, b=5, c= -3, b2-4ac=52-42(-3)=49,1、把方程化成一般形式。 并写出a,b,c的值。 2、求出b2-4ac的值。, x = = =,即 x1= - 3 ,用公式法解一元二次方程的一般步骤:,求根公式 : X=,4、写出方程的解: x1=?, x2=?,3、代入求根公式 : X= (a0, b2-4ac0),(a0, b2-4ac0),x2=,填空:用公式法解方程 3x2+5x-2=0,解:a= ,b= ,c = . b2-4ac= =
3、 . x= = . = . 即 x1 = , x2 = .,3,5,-2,52-43(-2),49,-2,求根公式 : X=,1.用公式法解下列方程: (1) x2 +2x =5,(a0, b2-4ac0),细心填一填:,做一做,例2 用公式法解方程: x2 x - =0,解:方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0,x=,即 x1=2, x2= -,例3 用公式法解方程: x2 +3 = 2 x,解:移项,得 x2 -2 x+3 = 0,a=1,b=-2 ,c=3,b2-4ac=(-2 )2-413=0,x=,x1 = x2 =,=,=,=,=,当 时,一元二次方程有两个相等的实数根
4、。,b2-4ac=0,a=2,b= -3,c= -2.,b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25.,2.用公式法解下列方程:,(4)4x2-3x+2=0,当 时,一元二次方程没有实数根。,b2-4ac0,解:去括号,化简为一般式:,例4 解方程:,这里,方程没有实数解。,用公式法解一元二次方程的一般步骤:,3、代入求根公式 :,2、求出 的值,,1、把方程化成一般形式,并写出 的值。,4、写出方程的解:,特别注意:当 时,方程无实数解;,3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.,1、方程3 x2 +1=2 x中, b2-4ac= . 2、若关于x的方程x2-2nx+3n+
5、4=0 有两个相等的实数根,则n= .,动手试一试吧!,0,-1或4,1、 m取什么值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解,2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)。 当a,b,c 满足什么条件时,方程的两根为互为相反数?,本节课我有哪些收获?,我认为本节课的重点是什么?,想一想 记一记 问一问,我还有哪些疑点?,课下可要多交流呦!,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的根的判别式,通常用表示.,判别式定理,当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根,当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,当b2-4ac0时,方程没有
6、实数根,当b2-4ac0时,方程有两个实数根,若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac0,判别式逆定理,若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0,若方程没有实数根,则b2-4ac0,若方程有两个 实数根,则b2-4ac0,即一元二次方程:,当 时,方程有两个不相等的实数根;,当 时,方程有两个相等的实数根;,当 时,方程没有实数根。,当方程有两个相等的实数根, ;,当方程没有实数根, 。,记住了,别忘了!,一元二次方程根的判别式,要点、考点,1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的情况: (1)当0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当=0时,方程有两个相等的实数根; (3
7、)当0时,方程无实数根. (4)当0时,方程有两个实数根,2.根据根的情况,也可以逆推出的情况,这方面 的知识主要用来求字母取值范围等问题.,1.求判别式时,应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时,前提条件为 “方程是一元二次方程”,即二次项系数不为0.,应用1. 不解方程判断方程根的情况:,(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数),(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数),=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2,解:=4 k2-16k+16, 0方程有两个不等实根,解:=m2-4m+8,=m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4, 0方程
8、有实根,含有字母系数时,将配方后判断,根的判别式问题,1、不解方程,判断根的情况.,(1)2x2-4x-5=0;,(2)x2-(m+1)x+m=0.,=56,0,方程有两个不相等的实数根;,当m-1=0时,,0,方程有两个相等的实数根;,方程有两个不相等的实数根;,当m-10时,,解:,解:,(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根,则m的取值范围是 ( ) A 、 m 0 B 、 m 0 C 、 m 0 且m1 D m 0且m1,解:由题意,得 m-10 =(2m)2-4(m-1)m0 解之得,m0且m1,故应选D,D,应用2:根据方程根的情况判断某一字母取值
9、范围,(3) m为何值时,关于x的一元二次方程,m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根?,解:=(2m+1)2-4m2,=4m+1,若方程有两个不等实根,则 0,4m+1 0,m -1/4,对吗?,m - 1/4 且m0,注意二次项系数,2、根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围.,例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.,根的判别式问题,解:,一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.,k0,,又,= 4-12k,4-12k 0,,解得,当,方程有实数根.,且,k0 时,,问题三 求证:不论m取何值,关于x的一元二次方程9x2-(m+7)x+m-3=0都有两个不相
10、等的实数根,证明:=-(m+7)2-49(m-3) =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157,=(m-11)2+36,不论m取何值,均有(m-11)20 (m-11)2+360,即0 不论m取何值,方程都有两个不相等的实数根,小结:将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式,3、证明字母系数方程有实数根或无实数根,例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0 有两个不相等的实数根.,把判别式配方,根的判别式问题,解:,0,方程有两个不相等的实数根;,问题四:解含有字母系数的方程。,解:,当a=0时,-5x+1=0 x=1.,当a0时,方程为一元二次方程.,相信自己一定行
11、!,(2008年北京市)已知 :关于,的一元二次方程,(1)求证:方程有两个不相等的实数根;,课堂达标检测,【例5】 已知:a、b、c是ABC的三边,若方程 有两个等根,试判断ABC的形状.,解:利用 0,得出a=b=c. ABC为等边三角形.,典型例题解析,例6.一元二次方程 有两个实数根,则m的取值范围是 _,变,抢答:,2、选择题(请用最快的速度,把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内) (1) (2) (3) (4) (5) (6),有两个实数根的方程的序号是( ) 没有实数根的方程的序号是( ),任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根,a、c
12、异号,一元二次方程有两个不相等的实数根,求根公式 : X=,一、由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 若 b2-4ac0 得,这是收获的 时刻,让我 们共享学习 的成果,这是收获的 时刻,让我 们共享学习 的成果,二、用公式法解一元二次方程的一般步骤:,1、把方程化成一般形式。 并写出a,b,c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :,X=,(a0, b2-4ac0),4、写出方程的解: x1=?, x2=?,这是收获的 时刻,让我 们共享学习 的成果,四、计算一定要细心,尤其是计算b2-4ac的值和代入公式时,符号不要弄错。,三、当 b2-4ac=0时
13、,一元二次 方程有两个相等的实数根。,当 b2-4ac0时,一元二次 方程有两个不相等的实数根。,当 b2-4ac0时,一元二次 方程没有实数根。,1、一元二次方程的一般形式是什么? 2、解一元二次方程有哪四种方法?,知识回顾,凡形如 ax2+c=0 (a0, ac0) 或 a(x+p)2+q=0 (a0, aq0) 的一元二次方程都可用直接开平方法解.,配方法、公式法适用于所有一元二次方程; 先把方程的常数项移到方程的右边,再把左边配成一个完全平方式,如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解. 公式法是解一元二次方程的通法.,解一元二次方程的方法有哪几种?根据你学习的体会,
14、谈谈通常你是如何选择解法的,并与同学交流.,公式法是解一元二次方程的通法.,配方法、公式法适用于所有一元二次方程;,因式分解法适用于某些一元二次方程,开平方法适用于缺项的一元二次方程;,课时训练,1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根,D,2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根,A,3.下列一元一次方程中,有实数根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0,C,4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根,则下列结论正确的是 ( ) A.当k=1/2时,方程两根互为相反数 B.当k=0时,方程的根是x=-1 C.当k=1时,方程两根互为倒数 D.当k1/4时,方程有实数根,D,课时训练,5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且m0 C.m1