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1、专题九：正弦定理、余弦定理教学目的：1.掌握正弦定理、余弦定理；2.使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题。教学重点：正弦定理、余弦定理的运用教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用一、引言在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理 二、讲解新课（一）三角形的面积公式：（1）；（2）。证明：如右图，。（）同理可证：。（二）正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比彼此相等，且都等于其外接圆的直径，即（为外接圆半径）。证明：（1）在直角三角形中，sinA=，sinB=
2、，sinC=1，即c=，c=，c=，=。（2）在斜三角形中， 证法一：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R，=。证法二：（向量法）过A作单位向量垂直于，由+=，两边同乘以单位向量的数量积得 (+)=，则+=，|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A)， =；同理，若过C作垂直于得： =，=。证法三：（等积法）在任意ABC当中，SABC=， 两边同除以即得：=。注意：正弦定理适用于任意三角形；正弦定理应用于解三角形（结合三角形的内角和定理）：1）“角角边”型：已知三角形的两角和任意一边，求其它两边和一角；2）“边边角”型：已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进
3、一步求出其它的边和角）；例1.（1）在中，已知，求；（2）在中，已知，求；（3）在中，已知，求；（4）在中，已知，求；（5）在中，已知，求；（6）在中，已知，解这个三角形。小结（一）：正弦定理解三角形的类型：（结合三角形的内角和定理） 1）“角角边”型：一解；2）“边边角”型：已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其它的边和角）；在中，已知边和角，用正弦定理解三角形的各种情况（见图示）：（1）若为锐角时：一解无解（2）若为直角或钝角时：。（过渡：在RtABC中(若C=90)有：，在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？）问题 对于任意一个三角形来
4、说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？推导 如图在中，、的长分别为、，即；同理可证 ，。（三）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 注：“边角边”型：这组定理适用于“已知两边及夹角求第三边和另两个角”。 注：“边边边”型：这组定理适用于“已知三边求三个角”。小结（二）：（1）在中，；（2）利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角；已知三边，求三个角。例2.（1）在中，已知，求角；（2）在中，已知，解这个三角形。（3）有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在中，
5、已知_，求角经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示为 试问条件补充完整应为( )A B C或 D以上答案都不对（四）解三角形与正余弦定理注意以下几点：（1）解三角形时要注意利用等关系转换角，且注意角的取值范围。（2）利用正、余弦定理进行边角互化，或统一成角的关系，或统一成边的关系，要视情况灵活掌握。（3）熟悉正、余弦定理的常见变形：正弦定理的变形：；余弦定理变形：在出现边的偶次及交叉项的齐次结构时，要联想到余弦定理。例3.（1）在中，“”是“”的_条件；（2）在中，求的值；（3）求证：的面积，其中为外接圆半径；（4）在中，角的对边分别为，且成等差数列。求证：；若，判断的形状；求角的取值范围。例4.（1）在中，求边的关系；（2）在中，求的值；（3）在中，角的对边分别为，已知且，判断的形状；（4）如图，内的点到角的两边的距离分别是5和2，求的长。（5）在中，若且，试判断的形状；：在中，设三角形的面积为，已知，求的值。（6）在中角的对边分别为，且满足。求角；若为的最小边，且，求的值。（7）ABC中,若,则= 。变式练习：（1）已知锐角三角形的边长分别是，求的取值范围；（2）已知钝角三角形的边长分别是，求的取值范围；（3）在中，求的取值范围。（4）已知ABC满足，则ABC必定为（ ）A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形D形状不确定第 8 页 共 8 页
