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1、1,线性代数,东南大学数学系 周建华,2,目 录,第一部分 行列式 第二部分 矩阵 第三部分 向量 第四部分 线性方程组 第五部分 特征值、特征向量 第六部分 实对称矩阵和二次型 第七部分 向量空间 历年试题,3,第一部分,行 列 式,4,一 行列式的定义,的行列式定义为,矩阵,5,例,6,例,7,8,二 行列式的性质,不必会证明，但要会熟练运用 。,9,2. 上述性质的一些推论,(1). 如果行列式有一行的元素全为零，则其值为零； (2).如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为零； (3).如果行列式有两行的元素对应成比例，则其值为零.,10,3.行列式按行、列展开：,11,4.行列式乘法
2、定理：,12,5. 分块矩阵的行列式：,13,容易出现的错误,14,例,15,例,16,三 行列式的计算,1. 分类：按阶数大小分-低阶、高阶； 按元素分-数字、字母。,2. 典型方法： 化成低阶行列式； 化成三角形行列式。,17,例,18,例,19,例,20,例,21,例,22,例,其中，每个 均不为零。,23,例,24,例,25,例,26,第二部分,矩 阵,27,一 矩阵的代数运算,1. 运算规律,例,28,例,29,2. 应当注意的问题,例,问题,30,例,31,例,32,例,问题：什么时候成立？,33,二. 可逆矩阵,矩阵A可逆的条件,(1) A的行列式不为零（非退化）； (2) A秩
3、等于其阶数（满秩）； (3) 存在矩阵B，使得AB=E（可逆）； (4) A的特征值均不为零（非奇异）。,34,2. 逆矩阵的计算,利用伴随矩阵。 利用初等变换。,例,35,3. 重要性质，如,36,例,37,4 伴随矩阵,(1). 伴随矩阵的定义；,38,例,39,例,40,例,41,例,42,例,43,5 矩阵方程,例,化成标准形式的矩阵方程。,44,La premiere,45,三 分块矩阵,46,注：,47,几种常用的分块法：,48,例,49,例,50,51,例,52,53,例,54,例,55,例,56,四 矩阵的秩,57,例,58,例,59,例,60,例,61,2矩阵的等价标准形,6
4、2,例,63,3. 矩阵的运算与秩,64,例,65,例,66,例,67,例,68,4. 初等变换与初等矩阵,69,例,70,例,71,例,72,向 量,第三部分,73,一. 概念,线性组合和线性表示； 线性相关和线性无关； 极大无关组和秩,74,1.线性组合和线性表示,75,例,76,例,77,2.线性相关和线性无关,78,例,79,例,80,3.极大无关组和秩,81,重要结论:,82,例,83,La deusieme,84,二. 常用命题,注意命题的不同表达形式。,85,（2）重要命题,86,03年考研题（数学一, 选择题1, 4分）,本题得分率：61.9% 。,87,例,88,例,89,例
5、,90,（3）更多命题：,91,92,例,93,例,94,简化阶梯形矩阵,95,以给定向量组为列向量作一矩阵A,用初等行变换将A化成阶梯形矩阵B,找出B中的非零首元,A中与这些非零首元相对应的列就是所求向量组的极大无关组,向量组极大无关组的求法:,96,第四部分,线性方程组,97,一. 解的存在性、唯一性,98,二. 解的结构,齐次线性方程组,99,齐次线性方程组的解的结构,100,齐次线性方程组的基础解系,101,重要结论,102,例,103,2. 非齐次线性方程解的结构,104,例,105,例,106,例,三. 求解,107,例,108,例,109,例,110,例,五 平面、直线的相对位置
6、,111,解：,两直线不平行：,B的秩为3，故前两行不成比例。,112,其次，两直线在同一平面内：,113,例,114,115,La troisieme,116,第五部分,特征值 特征向量,117,例,118,119,120,例,121,例,122,例,123,124,125,例,126,例,127,例,128,二. 矩阵相似的必要条件,129,例,130,例,131,例,132,三. 可相似对角化问题,133,注2：,134,推论：没有重特征值的矩阵一定相 似于对角阵。,135,例,136,137,138,例,139,例,140,例,141,例,142,例,143,第六部分,实对称矩阵和二次
7、型,144,145,146,147,148,例,149,例,150,例,151,例,152,三. 二次型的矩阵,153,例,154,例,155,例,156,例,157,例,158,159,例,160,161,例,162,已知实矩阵,例,163,例,164,对于实称矩阵而言,例,相似的矩阵是否合同?,合同的矩阵是否相似?,165,La quatieme,166,五. 正定性,167,例,168,例,169,例,170,例,171,例,172,六. 二次型与二次曲面,173,例,174,例,175,例,176,第七部分,向量空间,177,178,例,179,例,180,例,181,例,182,18
8、3,184,185,例,186,例,187,例,188,189,190,例,191,例,192,例,193,三. 基变换和坐标变换,194,例,195,例,196,例,197,198,例,199,四. 向量空间的标准正交基,200,例,201,例,202,La cinqieme,203,历 年 考 题,204,03年考研题（数学一, 填空题, 4分）,本题得分率：45.4%。,205,03年考研题（数学一, 选择题1, 4分）,本题得分率：61.9% 。,206,03年考研题（数学一，选择题，分）,本题得分率：80.2%。,207,03年考研题（数学一，分）,本题得分率：36.7%。,208,
9、03年考研题（数学一，分）,本题得分率：25.8%。,209,04年考研题（数学一，填空题，分）,210,04年考研题（数学一，选择题，分）,211,04年考研题（数学一，选择题，分）,212,04年考研题（数学一，分）,本题得分率：36%。,213,04年考研题（数学一，分）,本题得分率：29%。,214,05年考研题（数学一、二，填空题，分）,215,05年考研题（数学一、二，选择题，分）,216,05年考研题（数学一、二，选择题，分）,217,05年考研题（数学一、二，分）,218,05年考研题（数学一，分）,219,05年考研题（数学二，分）,220,例,221,例,222,06年考研
10、题（数学一、二，填空题，分）,223,06年考研题（数学一、二，选择题，分）,224,06年考研题（数学一、二，选择题，分）,225,06年考研题（数学一、二，分）,226,06年考研题（数学一、二，分）,227,07年考研题（选择题1，4分）,228,07年考研题（选择题2，4分）,229,07年考研题（填空题，4分）,230,07年考研题（计算题1，11分）,231,07年考研题（计算题2，11分）,232,08年数学一试题（第20题）（10%）,233,08年数学一、二、三、四代数题（12%）,234,08年数学二、三、四第二道代数题（10%）,235,08年选择题一 （数学一、二、三、
11、四）,236,08年选择题二（数学一）,237,08年选择题三（数学二、三、四）,238,08年填空题（数学一）,239,08年填空题（数学二）,240,08年填空题（数学三）,241,08年填空题（数学四）,242,09年第一道大题（11%）,243,09年第二道大题（11%）,244,09年数学一、二、三选择题（2）（4%）,245,09年数学一选择题（1）（4%）,246,09年数学二、三选择题（1）（4%）,247,09年数学一填空题（4%）,2,248,09年数学二填空题（4%）,2,249,09年数学三填空题（4%）,2,250,例,251,10年数学一填空题（4%）,252,10
12、年数学二、三填空题（4%）,253,10年数学一选择题（1）（4%）,254,10年数学二、三选择题（1）（4%）,255,10年数学一、二、三选择题（2）（4%）,条件多余,256,10年数学一、二、三大题（1）（11%）,257,10年数学一大题（2）（11%）,本题超纲,258,10年数学二、三大题（2）（11%）,259,10年抽样统计（数学一）,260,10年抽样统计（数学二、三-第1大题）,261,10年抽样统计（数学二、三-第2大题）,262,11年数学一、二、三选择题（4%）,263,11年数学一、二选择题（4%）,264,11年数学三选择题（4%）,265,11年数学一填空题
13、（4%）,266,11年数学二填空题（4%）,267,11年数学三填空题（4%）,268,11年数学一、二、三大题（11%）,07-08-3期末考试考题,269,11年数学一、二、三大题（11%）,03-04-2期末考试试题,270,12年数学一、二、三选择题(1)（4%）,271,12年数学一、二、三选择题(2)（4%）,272,12年数学一填空题（4%）,273,12年数学二、三填空题（4%）,274,12年数学一、二、三大题（1）（11%）,275,12年数学一、二、三大题（2）（11%）,276,本次命题的特点,主要知识点：最基本； 主要方法：最基本； 基本难度：逐年降低； 侧重于计算
14、。,两道大题的层次感不强； 代数中的重要结论作为考生的必备知识； 评分标准有些主观。,277,考试中的现象,得分率会有所提高；,考生失分的现象： 计算错误； 第一大题参数的讨论不全面； 非齐次线性方程组的特解、导出组的基础解系、通解的求法以及它们间的关系没弄清楚； 第二大题矩阵的乘法算错（4*4矩阵？）； 第二大题计算矩阵的行列式：即使算对，但，不仅麻烦，而且还只得到了必要条件； 特征多项式算错（部分考生还带参数计算）； 没有将特征向量单位化； 标准形写成规范形（或者没有写标准形） 。,278,失分的原因,概念混淆，知识点掌握不全面； 基本功不扎实：计算错误； 不重视对参数的讨论； 没有理解第一小题的“桥梁”作用 ； 对试题的要求理解不充分； 对命题倾向没有思想准备。,279,应当注意的几个倾向：,每年必考的内容：线性方程组、特征值和特征向量； 带参数的问题：需要讨论； 与解析几何相结合（典型问题）； 应用题（典型问题）； 分块矩阵（典型的分块方式）； 有超纲嫌疑的几个方面。,280,一些建议：,要有信心，不放弃； 重视基础：重在基本概念、基本理论和基本方法，而不是解题技巧； 重视计算：要适量地完整地做一些题目，养成好的做题习惯； 考虑问题要全面； 复习要有重点，但不要押题； 利用好教材； 利用好往年的考题； 利用好“辅导班”。,
