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1、1,第四章 流体动力学基础,2,流体动力学基础,雷诺输运定理,运动微分方程,伯努利方程及其应用,系统与控制体,动量方程,连续方程式,微分方程的求解,角动量方程,能量方程,引言,Introduction,4,流体动力学基础,流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础，与工程流体力学的各部分均有一定的关联，因而本章是整个课程的重点。 简单地说，就是三大守恒定律：质量，动量，能量守恒在流体力学中的体现形式,5,三大守恒定律,动
2、力学三大方程,推广到流体中,流体动力学基础,4-1 系统与控制体,System and Control Volume,7,系统(体系),流体动力学基础,工程热力学,闭口系统或开口系统,理论力学,质点、质点系和刚体,研究对象,均以确定不变的物质集合作为研究对象！,8,系统(质量体),在流体力学中，系统是指由确定的流体质点所组成的流体团。如图所示。 系统以外的一切统称为外界。 系统和外界分开的真实或假象的表面称为系统的边界。,定义：,流体动力学基础,Lagrange 方法！,9,(1) 一定质量的流体质点的合集 (2) 系统的边界随流体一起运动，系统的体积、边界面的形状和大小可以随时间变化。 (3
3、) 系统的边界处没有质量交换，即没有流 体流进或流出系统的边界。 (4) 在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力。 (5) 在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出系统的边界。,特点：,流体动力学基础,10,多数流体力学实际问题中，对个别流体质点或流体团的运动及其属性并不关心，而更关心流体对流场中的物体或空间中某体积的作用和影响。,系 统,拉格朗日观点,应采用欧拉观点处理上述问题！,流体动力学基础,11,控制体的边界面称为控制面。它总是封闭表面。,定义：相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的任何空间的体积称为控制体。,流体动力学基础,控制体(开系统),Euler 方法！,
4、12,控制面的几何外形和体积是相对流动情况和边界条件选定的 控制面相对于坐标系是固定的。 在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面。 在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内流体上的力(动量交换）。 在控制面上可以有能量交换，即可以有能量输入或输出控制面。,控制面的特点：,流体动力学基础,13,t时刻,t+t时刻,系统,控制体,流体动力学基础,14,定义：控制体内某物理量的总和随时间的增长率称为局部导数 定义：质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为随体导数,随体导数,局部导数,质量体,控制体,经典定理应用方便,研究实际问题方便,输运公式,流体动力学基础,随体导数和局部导数,1
5、5,流体动力学基础,4-2雷诺输运定理,Reynolds Transport Equation,17,回忆：物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导数。,=,+,流体质点的物质导数的欧拉变量表达式：,借助雷诺输运定理,如何用欧拉变量表达式来表示对系统体积分的物质导数？,流体动力学基础,18,定理：任意时刻，质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。,质量体,控制体,任一物理量,控制体表面外法向单位向量,雷诺输运定理,流体动力学基础,19,将拉格朗日法求
6、系统内物理量的时间变化率转换为按欧拉法去计算的公式,推导过程：,符号说明,B: t时刻该系统内流体所具有的某种物理量（如质量、动量等） : 单位质量流体所具有的物理量,系统所占有 的空间体积,控制体所占有 的空间体积,t时刻,t+t时刻,II,II+III,II,II+I,雷诺输运定理,流体动力学基础,20,流体动力学基础,V=II+III, V=II+I,t0, II II,21,流体动力学基础,22,流体动力学基础,第一项就是控制体内的当地时间变化率,第二项是t时间内，流体通过控制面随着流体流入而带进来的相应物理量除以t,第二项是t时间内，流体通过控制面随着流体流出而带出去的相应物理量除以
7、t,23,流体动力学基础,控制体内物理量的变化率,流进流出控制体的净流通量,物理量的总导数,Reynolds输运定理表明，某个瞬间时刻，以某个控制体作为体系的系统中，某物理量的总量，其随流导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率，加上从控制面上净输出的该物理量的通量。,24,推导：,流体动力学基础,另一种证明,25, 把一个有限体积内流体的质点导数转化为Euler描述下的控制体导数 提供了一个Lagrange描述的质点力学向Euler描述的流体力学转换的桥梁 系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。,雷诺输运
8、定理的作用,流体动力学基础,26, 在定常流动条件下，有 也就是说，系统内物理量的变化只与通过控制面的流动有关，而与控制内的流动无关。大大简化了研究内容。,流体动力学基础,4-3连续性方程,Continuity Equation,28,当流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定： 1. 若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；,流体动力学基础,连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。,前提：流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。,29,2. 如果流体是不可压缩的，则流出的流体
9、质量必然等于流入的流体质量。 上述结论可以用数学方程式来表达，称为连续性方程。,流体动力学基础,由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证：,30,雷诺输运公式可用于任何分布函数B，如密度分布、动量分布、能量分布等。 令1，由系统的质量不变可得连续性方程,积分形式的连续性方程,流体动力学基础,由流体系统满足质量守恒得，,31,系统质量变化率,流出控制体的质量流率,控制体内质量变化率,流体动力学基础,上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。,在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满足连续性假设，上式总是成立的,32,固定的控制体 对固定的CV，积分形式的
10、连续性方程可化为,运动的控制体 将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr,流体动力学基础,33,1、对于均质不可压流体： =const,可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！,连续方程的简化,连续方程简化为：,流体动力学基础,34,可适用于可压、不可压流体的定常流动！,连续方程简化为：,2、对于定常流动：,流体动力学基础,35,出、入口截面上的质流量大小为 设,流体动力学基础, 有多个出入口, 一般式,3、沿流管的定常流动,36,设出入口截面上的体积流量大小为 QVA,流体动力学基础,4、沿流管的不可压缩流动, 一般式, 有多个出入口,37,5、一维流,一维
11、定常流 不可压 为什么河道窄的地方水流湍急？ 为什么水管捏扁了速度快？,流体动力学基础,38,流体动力学基础,Ql+Q2=Q3,Ql=Q2+Q3,有汇流或分流的情况：,39,解题的一般方法和步骤 选取恰当的坐标系，使得在该坐标系中相对流动是定常的； 选取恰当的控制体： 控制体的界面上包括要求的未知量和尽可能多的已知量； 一般可选固体壁面或流面作为控制面，使得在其上输运量为零或可求。,积分型守恒方程的应用,流体动力学基础,40,解题的一般方法和步骤 在控制面上物理量均匀分布，易求积分。 动量方程是矢量方程，三个坐标方向三个方程。 完整写出控制体上受外力，外力具有代数正负，与坐标方向一致为正。,流
12、体动力学基础,41,【4.3-1】所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm, 平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1 求： Q2 及各管的平均速度,【解】取图中虚线所示控制体，有多个出入口。液按不可压缩流体处理 可得,Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5,Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 l / min,流体动力学基础,42,各管的平均速度
13、为,流体动力学基础,43,【例4.3-2】 思考题,要使注射器稳定地以300cm3/min注射，问推进速度Vp=? 已知 Ap= =500mm2 关键： 选控制体,流体动力学基础,44,利用Gauss 公式来证明,流体动力学基础,微分形式的连续方程,45,在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体，并建立合适的坐标系。,选取适当的微元控制体,分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况,分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。,列出守恒方程,整理、简化,如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。,微分形式的连续方程的推导二,流体动力
14、学基础,46,在流场的任意点处取微元六面体，如图所示。六面体中的质量随空间和时间变化。,流体动力学基础,微分形式的连续方程的推导二,47,（1）空间变化,对于x轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为 流出的质量为 X方向其质量增加为,流体动力学基础,48,同样y、z 轴方向的质量增加分别为,流体动力学基础,（2）时间变化,微元控制体内流体质量增长率：,49,（3）根据质量守恒定律 流体运动的连续方程式为：,流体动力学基础,50,物理意义： 空间上流入流出质量的增加量应该等于由于密度变化而引起的质量增加量。,流体动力学基础,连续方程两种形式：,51,简化 （1）定常压缩性流体， /t=0，则连续
15、方程变为,流体动力学基础,适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。,52,（2）非压缩性流体，常数，则连续方程变为 上式为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零；也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。,流体动力学基础,上式三项之和为流体的体积变形率(膨胀率或收缩率)，即单位时间内单位流体的膨胀量或缩小量。也就是说不可压缩流体的体积变形率为零，它的体积不会发生变化。,53,在柱坐标系中，连续方程式为 式中 ur, u, uz 是速度 u 在 r, , z 坐标上的分量。,流体动力学基础,在球坐标系中，连续方程式为,其它坐标系的连续方程,4-7 动量方程,Moment Equation,55,动量方程是动量定理（牛顿第二定律）在流体力学中的具体体现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系。对于积分形式的动量方程其优点在于不必知道流动范围内部的过程，而只需要知道边界面上的流动情况即可。,根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上的外力之和。,流体动力学基础,只适用于惯性系！,56,将雷诺输运定理应用于流体系统的动量定理公式中,流体动力学基础,动量方程,系统动量变化率,流出控
